湘教版九年级上册4.1 正弦和余弦综合训练题

这是一份湘教版九年级上册4.1 正弦和余弦综合训练题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，下列不能表示cs A的是( )
A.eq \f(AB,AC) B.eq \f(AD,AB) C.eq \f(CD,BC) D.eq \f(BD,BC)

第1题图 第2题图 第3题图 第5题图
2.如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示csα的值，错误的是( )
A.eq \f(BD,BC) B.eq \f(BC,AB) C.eq \f(AD,AC) D.eq \f(CD,AC)
3.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，BC＝10，cs∠DCA＝eq \f(4,5)，则AB的值是 ( )
A．9 B．8 C．6 D．3
4.在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则csA的值等于( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(\r(7),4) C.eq \f(4,5)或eq \f(\r(7),4) D.eq \f(4,5)或eq \f(2\r(7),7)
5.【中考·湖州】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则csB的值是( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
6.【2020·柳州】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则csB＝( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(\r(7),4) D.eq \f(3,4)

第6题图 第7题图 第12题图
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝2AC，则csA的值是( )
A.eq \r(3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),3)
8.【中考·广东】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么csα的值是( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(3,5)，则csB的值等于( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
10.已知α，β都是锐角，如果sinα＝csβ，那么α与β之间满足的关系是( )
A．α＝β B．α＋β＝90° C．α－β＝90° D．β－α＝90°
11.已知锐角三角形ABC中，|2csA－1|＋(1－2cs2B)2＝0，则∠C＝( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
12.【2020·安徽】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，csA＝eq \f(4,5)，则BD的长度为( )
A.eq \f(9,4) B.eq \f(12,5) C.eq \f(15,4) D．4
二、填空题
13.cs30°＝______________，cs45°＝____________，cs60°＝____________．
14.【中考·绵阳改编】在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10eq \r(2)，AC＝5eq \r(5)，则BC的长是________．
15.【中考·白色】计算：eq \r(12)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1)－(3－π)0－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－4cs 30°))＝________．
16.【中考·贵港】计算：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－3))＋(eq \r(5)＋π)0－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(－2)－2cs60°＝________．
17.【中考·杭州】在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则csC＝____________．
18.如图，已知每个小正方形的边长为1，点A，B，C是小正方形的顶点，则cs∠BAC的值为______．
三、解答题
19.计算．
(1)【2020·岳阳】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1)＋2cs60°－(4－π)0＋|－eq \r(3)|；
(2)2cs245°＋cs260°－3cs230°＋2sin30°.
(3)【2021·张家界】
(4)【2021·泸州】计算：.
(5)2sin30°＋cs60°－cs245°；
(6)eq \f(sin 45°＋cs 30°,3－2cs 60°)－sin60°(1－sin30°)．
20.【2020·哈尔滨】先化简，再求值：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,x＋1)))÷eq \f(x2－1,2x＋2)，其中x＝4cs30°－1.
21.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是(6，y)，且OP与x轴的正半轴的夹角α的余弦值是eq \f(3,5)，求角α的正弦值．
22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，CD⊥AB于D，AC＝12，试求：
(1)sinA的值；
(2)cs∠ACD的值；
(3)CD的长．
23.如图所示，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO＝5，sin∠BOA＝eq \f(3,5).
求：(1)点B的坐标；(2)cs∠BAO的值．
24.(1)如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的余弦值的变化规律；
(2)根据你探索到的规律，试比较19°，36°，52°，65°，85°这些锐角的余弦值的大小；
(3)比较大小．(填“>”“<”或“＝”)
若∠α＝45°，则sinα________csα；
若∠α<45°，则sinα________csα；
若∠α>45°，则sinα________csα；
(4)利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小．
sin10°，cs30°，sin50°，cs70°.
参考答案
一、选择题
1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，下列不能表示cs A的是( C )
A.eq \f(AB,AC) B.eq \f(AD,AB) C.eq \f(CD,BC) D.eq \f(BD,BC)
【点拨】∵∠A＋∠ABD＝90°，∠CBD＋∠ABD＝90°，∴∠A＝∠CBD，∴cs A＝cs∠CBD＝eq \f(AB,AC)＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(BD,BC).

第1题图 第2题图 第3题图 第5题图
2.如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示csα的值，错误的是( C )
A.eq \f(BD,BC) B.eq \f(BC,AB) C.eq \f(AD,AC) D.eq \f(CD,AC)
3.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，BC＝10，cs∠DCA＝eq \f(4,5)，则AB的值是 ( C )
A．9 B．8 C．6 D．3
4.在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则csA的值等于( C )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(\r(7),4) C.eq \f(4,5)或eq \f(\r(7),4) D.eq \f(4,5)或eq \f(2\r(7),7)
5.【中考·湖州】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cs B的值是( A )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
6.【2020·柳州】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则csB＝( C )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(\r(7),4) D.eq \f(3,4)

第6题图 第7题图 第12题图
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝2AC，则csA的值是( B )
A.eq \r(3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),3)
8.【中考·广东】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cs α的值是( D )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(3,5)，则csB的值等于( A )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
【点拨】在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则csB＝sinA.
10.已知α，β都是锐角，如果sinα＝csβ，那么α与β之间满足的关系是( B )
A．α＝β B．α＋β＝90° C．α－β＝90° D．β－α＝90°
11.已知锐角三角形ABC中，|2csA－1|＋(1－2cs2B)2＝0，则∠C＝( D )
A．30° B．45° C．60° D．75°
【点拨】∵在锐角三角形ABC中，|2cs A－1|＋(1－2cs2B)2＝0，∴csA＝eq \f(1,2)，csB＝eq \f(\r(2),2)(负值已舍去)，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝75°.
12.【2020·安徽】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，csA＝eq \f(4,5)，则BD的长度为( C )
A.eq \f(9,4) B.eq \f(12,5) C.eq \f(15,4) D．4
【点拨】在Rt△ABC中，∵AC＝4，csA＝eq \f(4,5)，
∴AB＝5，根据勾股定理得BC＝eq \r(52－42)＝3，
∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴eq \f(CB,CA)＝eq \f(BD,AB)，即eq \f(3,4)＝eq \f(BD,5)，∴BD＝eq \f(15,4).
二、填空题
13.cs30°＝______________，cs45°＝____________，cs60°＝____________．
【答案】eq \f(\r(3),2)；eq \f(\r(2),2)；eq \f(1,2)
14.【中考·绵阳改编】在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10eq \r(2)，AC＝5eq \r(5)，则BC的长是________．
【答案】15或5
15.【中考·白色】计算：eq \r(12)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1)－(3－π)0－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－4cs 30°))＝________．
【答案】2
16.【中考·贵港】计算：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－3))＋(eq \r(5)＋π)0－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(－2)－2cs60°＝________．
【答案】－1
17.【中考·杭州】在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则csC＝____________．
【点拨】若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝eq \r(（2x）2－x2)＝eq \r(3)x，所以cs C＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(\r(3),2)；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝eq \r(（2x）2＋x2)＝eq \r(5)x，所以cs C＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(2 \r(5),5).综上所述，cs C的值为eq \f(\r(3),2)或eq \f(2 \r(5),5).
【答案】eq \f(\r(3),2)或eq \f(2 \r(5),5)
18.如图，已知每个小正方形的边长为1，点A，B，C是小正方形的顶点，则cs∠BAC的值为______．
【点拨】如图，连接BC，由勾股定理得AB＝BC＝eq \r(5)，AC＝eq \r(10)，∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∴cs∠BAC＝eq \f(\r(2),2).本题易错点是没有先连接BC并判断△ABC是直角三角形，而直接运用cs∠BAC＝eq \f(AB,AC)得出结论．
【答案】eq \f(\r(2),2)
三、解答题
19.计算．
(1)【2020·岳阳】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1)＋2 cs 60°－(4－π)0＋|－eq \r(3)|；
解：原式＝2＋2×eq \f(1,2)－1＋eq \r(3)＝2＋1－1＋eq \r(3)＝2＋eq \r(3).
(2)2cs245°＋cs260°－3cs230°＋2sin30°.
原式＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)－3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)＋2×eq \f(1,2)＝1＋eq \f(1,4)－eq \f(9,4)＋1＝－1＋1＝0.
(3)【2021·张家界】
【答案】
【解析】
解：

．
(4)【2021·泸州】计算：.
【答案】12．
【分析】根据零指数幂，负整指数幂，去括号法则，特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可．
解：原式＝1+4+4+2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)
＝1+4+4+3
＝12
(5)2sin 30°＋cs 60°－cs245°；
解：原式＝2sin 30°＋cs 60°－cs245°
＝2×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)
＝1＋eq \f(1,2)－eq \f(1,2)
＝1.
(6)eq \f(sin 45°＋cs 30°,3－2cs 60°)－sin 60°(1－sin 30°)．
解：原式＝eq \f(\f(\r(2),2)＋\f(\r(3),2),3－2×\f(1,2))－eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝eq \f(\f(\r(2)＋\r(3),2),2)－eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),4).
20.【2020·哈尔滨】先化简，再求值：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,x＋1)))÷eq \f(x2－1,2x＋2)，其中x＝4cs 30°－1.
解：原式＝eq \f(x＋1－2,x＋1)÷eq \f(（x－1）（x＋1）,2（x＋1）)
＝eq \f(x－1,x＋1)·eq \f(2（x＋1）,（x－1）（x＋1）)＝eq \f(2,x＋1).
∵x＝4 cs 30°－1＝4×eq \f(\r(3),2)－1＝2 eq \r(3)－1，
∴原式＝eq \f(2,2 \r(3)－1＋1)＝eq \f(2,2 \r(3))＝eq \f(\r(3),3).
21.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是(6，y)，且OP与x轴的正半轴的夹角α的余弦值是eq \f(3,5)，求角α的正弦值．
解：如图，过点P作PC⊥x轴于C.
∵角α的余弦值是eq \f(3,5)，∴eq \f(OC,OP)＝eq \f(3,5).
又∵OC＝6,
∴OP＝10，根据勾股定理得PC＝8.
∴sinα＝eq \f(PC,OP)＝eq \f(4,5).
22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，CD⊥AB于D，AC＝12，试求：
(1)sin A的值；
解：在Rt△ABC中，由BC＝5，AC＝12，得AB＝13，
sin A＝eq \f(5,13).
(2)cs∠ACD的值；
解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝90°，
∴cs∠ACD＝sinA＝eq \f(5,13).
(3)CD的长．
∵sin A＝eq \f(CD,AC)，
∴CD＝AC·sin A＝12×eq \f(5,13)＝eq \f(60,13).
23.如图所示，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO＝5，sin∠BOA＝eq \f(3,5).
求：(1)点B的坐标；(2)cs∠BAO的值．
解：(1)作BH⊥OA，垂足为H，在Rt△OHB中，
∵BO＝5，sin∠BOA＝eq \f(3,5)，
∴BH＝3，∴OH＝4，
∴点B的坐标为(4，3)．
(2)∵OA＝10，OH＝4，∴AH＝6.
在Rt△AHB中，∵BH＝3，
∴AB＝3eq \r(5)，
∴cs∠BAO＝eq \f(AH,AB)＝eq \f(2\r(5),5).
24.(1)如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的余弦值的变化规律；
解：在图中，cs∠B1AC＝eq \f(AC,AB1)，cs∠B2AC＝eq \f(AC,AB2)，
cs∠B3AC＝eq \f(AC,AB3).
∵AB3即cs∠B1AC＜cs∠B2AC＜cs∠B3AC.
∴余弦值随锐角度数的增大而减小．
(2)根据你探索到的规律，试比较19°，36°，52°，65°，85°这些锐角的余弦值的大小；
解：cs85°＜cs65°＜cs52°＜cs36°＜cs19°.
(3)比较大小．(填“>”“<”或“＝”)
若∠α＝45°，则sinα________csα；
若∠α<45°，则sinα________csα；
若∠α>45°，则sinα________csα；
【答案】＝ ＜ ＞
(4)利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小．
sin10°，cs30°，sin50°，cs70°.
解：cs30°＞sin50°＞cs70°＞sin10°.