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数学九年级上册4.1 正弦和余弦习题
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这是一份数学九年级上册4.1 正弦和余弦习题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1.【2020·湘潭改编】2sin45°的值等于( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
2.已知∠A为锐角，且sin(A－10°)＝eq \f(\r(3),2)，那么∠A等于( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
3.计算1－2sin245°的结果是( )
A．－1 B．0 C.eq \f(1,2) D．1
4.如果在△ABC中，sinA＝sinB＝eq \f(\r(2),2)，则下列最确切的结论是( )
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
5.把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1＝eq \f(\r(2),2)，则∠2的度数为( )
A．120° B．135° C．145° D．150°
6.点M(－sin 60°，sin 30°)关于x轴对称的点的坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝eq \r(2)，则∠A的度数为 ( )
A．30° B．45° C．50° D．60°
8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，则sinB＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D．1
8.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sin A＝eq \f(\r(2),2)，sin B＝eq \f(\r(3),2)，则∠C等于( )
A．75° B．90° C．105° D．45°
9.在锐角三角形ABC中，2sin A－eq \r(3)＝0, 2sin2B＝1.则sin(∠C－45°)等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),3)
10.在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sinA－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)－sinB))eq \s\up12(2)＝0，那么∠C的度数为( )
A．75° B．90° C．105° D．120°
12.若∠A为锐角，且sinA＝0.7，则( )
A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45° C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90°
二、填空题
13.sin30°＝________，sin45°＝________，sin60°＝________．
14.计算：(sin30°－1)0－4eq \r(6)sin45°sin60°＝________.
15.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则sinA＝________.
16.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=3,则sinA2= .
17.如图正方形网格中，sin∠BAC的值为________.
18.已知2sin2α－3eq \r(3)sinα＋3＝0中，∠α为锐角，则∠α＝________.
三、解答题
19.计算下列各题．
(1)【2020·北京】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－1)＋eq \r(18)＋|－2|－6sin45°；
(2)【中考·北京】|－eq \r(3)|－(4－π)0＋2sin60°＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(－1).
(3)【中考·贵港】eq \r(4)－(eq \r(3)－3)0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－2)－4sin30°.
(4)(2021－π)0＋|eq \r(2)－1|－2sin45°＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－1).
(5)【桂林中考】(－2017)0－sin30°＋eq \r(8)－2－1；
(6)【河池中考】eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－1))－2sin45°＋eq \r(8)－20.
20.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10eq \r(2)，AB＝20.求∠A的度数．
21.已知△ABC的两个锐角∠A，∠B的正弦值是方程2x2－2eq \r(2)x＋1＝0的两个根，求证：△ABC是直角三角形
22.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5eq \r(2)，点E在AB上，∠AED＝45°，DE＝6，CE＝7.求AE的长及sin∠BCE的值．
23.如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin2A1＋sin2B1＝______；sin2A2＋sin2B2＝______；sin2A3＋sin2B3＝______.
(1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°,都有sin2A＋sin2B＝______；
(2)如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
(3)已知：∠A＋∠B＝90°，且sin A＝eq \f(5,13)，求sin B的值．
24.(1)填空：观察sin30°＝eq \f(1,2)，sin45°＝eq \f(\r(2),2)，sin60°＝eq \f(\r(3),2).
发现锐角α从30°→45°→60°变化时，它们的正弦值也在发生相应的变化，为了进一步探究变化规律，可以通过计算器计算一些锐角的正弦值：sin 10°≈0.173 6，sin 20°≈0.342 0，sin 40°≈0.642 8，sin 50°≈0.766 0，sin 70°≈0.939 7……通过比较锐角度数与相应的正弦值，我们猜想锐角α逐渐增大，对应的正弦值将__________．
(2)如图，在圆A中，点B1，B2，B3，C在圆上，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值变化的规律．
(3)根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小．
①
②
③
④
参考答案
一、选择题
1.【2020·湘潭改编】2sin 45°的值等于( B )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
2.已知∠A为锐角，且sin(A－10°)＝eq \f(\r(3),2)，那么∠A等于( C )
A．50° B．60° C．70° D．80°
3.计算1－2sin245°的结果是( B )
A．－1 B．0 C.eq \f(1,2) D．1
4.如果在△ABC中，sinA＝sinB＝eq \f(\r(2),2)，则下列最确切的结论是( C )
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
5.把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1＝eq \f(\r(2),2)，则∠2的度数为( B )
A．120° B．135° C．145° D．150°
6.点M(－sin 60°，sin 30°)关于x轴对称的点的坐标是( B )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))
【点拨】∵－sin 60°＝－eq \f(\r(3),2)，
sin 30°＝eq \f(1,2)，∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，
∴点M关于x轴对称的点的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2))).
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝eq \r(2)，则∠A的度数为 ( B )
A．30° B．45° C．50° D．60°
8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，则sinB＝( B )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D．1
【点拨】∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，
∴sinB＝sin45°＝eq \f(\r(2),2).
8.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sin A＝eq \f(\r(2),2)，sin B＝eq \f(\r(3),2)，则∠C等于( A )
A．75° B．90° C．105° D．45°
【点拨】∵sin A＝eq \f(\r(2),2)，sin B＝eq \f(\r(3),2)，∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°－45°－60°＝75°.
9.在锐角三角形ABC中，2sin A－eq \r(3)＝0, 2sin2B＝1.则sin(∠C－45°)等于( A )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),3)
【点拨】∵2sin A－eq \r(3)＝0，2sin2B＝1，∴sin A＝eq \f(\r(3),2)，sin B＝eq \f(\r(2),2)(负值已舍去)．∴∠A＝60°，∠B＝45°，则∠C＝75°.
∴sin (∠C－45°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
10.在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sinA－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)－sinB))eq \s\up12(2)＝0，那么∠C的度数为( C )
A．75° B．90° C．105° D．120°
【点拨】依题意得sin A－eq \f(1,2)＝0，eq \f(\r(2),2)－sinB＝0，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝105°.
12.若∠A为锐角，且sinA＝0.7，则( B )
A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45° C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90°
二、填空题
13.sin30°＝________，sin45°＝________，sin60°＝________．
【答案】eq \f(1,2)；eq \f(\r(2),2)；eq \f(\r(3),2)
14.计算：(sin30°－1)0－4eq \r(6)sin45°sin60°＝________.
【答案】－5
15.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则sinA＝________.
【答案】eq \f(1,2)
16.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=3,则sinA2= .
【答案】eq \f(1,2)
17.如图正方形网格中，sin∠BAC的值为________.
【答案】eq \f(\r(2),2)
18.已知2sin2α－3eq \r(3)sinα＋3＝0中，∠α为锐角，则∠α＝________.
【点拨】∵2sin2α－3eq \r(3)sinα＋3＝0，∴a＝2，b＝－3eq \r(3)，c＝3.∴Δ＝b2－4ac＝(－3eq \r(3))2－4×2×3＝3＞0.∴sin α＝eq \r(3)(不符合题意，舍去)或sin α＝eq \f(\r(3),2).∵∠α为锐角，∴∠α＝60°.
【答案】60°
三、解答题
19.计算下列各题．
(1)【2020·北京】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－1)＋eq \r(18)＋|－2|－6sin45°；
解：原式＝3＋3eq \r(2)＋2－6×eq \f(\r(2),2)＝3＋3eq \r(2)＋2－3eq \r(2)＝5.
(2)【中考·北京】|－eq \r(3)|－(4－π)0＋2sin60°＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(－1).
解：原式＝eq \r(3)－1＋2×eq \f(\r(3),2)＋4＝2eq \r(3)＋3.
(3)【中考·贵港】eq \r(4)－(eq \r(3)－3)0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－2)－4sin30°.
解：原式＝2－1＋4－4×eq \f(1,2)＝2－1＋4－2＝3.
(4)(2021－π)0＋|eq \r(2)－1|－2sin45°＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－1).
解：原式＝1＋eq \r(2)－1－2×eq \f(\r(2),2)＋3＝3.
(5)【桂林中考】(－2017)0－sin30°＋eq \r(8)－2－1；
解：原式＝1－eq \f(1,2)＋2eq \r(2)－eq \f(1,2)＝2eq \r(2).
(6)【河池中考】eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－1))－2sin45°＋eq \r(8)－20.
解：原式＝1－2×eq \f( \r(2),2)＋2eq \r(2)－1＝eq \r(2).
20.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10eq \r(2)，AB＝20.求∠A的度数．
解：∵在直角三角形BDC中，∠BDC＝45°，BD＝10eq \r(2)，
∴BC＝BD·sin∠BDC＝10eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝10.
∵∠C＝90°，AB＝20，
∴sin A＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(10,20)＝eq \f(1,2)，
∴∠A＝30°.
21.已知△ABC的两个锐角∠A，∠B的正弦值是方程2x2－2eq \r(2)x＋1＝0的两个根，求证：△ABC是直角三角形
证明：∵2x2－2eq \r(2)x＋1＝0，∴x1＝x2＝eq \f(\r(2),2)，
即sinA＝sinB＝eq \f(\r(2),2)，∴∠A＝∠B＝45°
∴∠A＋∠B＝90°
∴△ABC是直角三角形
22.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5eq \r(2)，点E在AB上，∠AED＝45°，DE＝6，CE＝7.求AE的长及sin∠BCE的值．
解：在Rt△ADE中，∠A＝90°，
∠AED＝45°，∴∠ADE＝45°.
∵sin ∠ADE＝eq \f(AE,DE)，
∴AE＝DE·sin ∠ADE＝6×sin 45°＝3 eq \r(2).
∵BE＝AB－AE，
∴BE＝5eq \r(2)－3 eq \r(2)＝2 eq \r(2).
在Rt△BCE中，sin∠BCE＝eq \f(BE,CE)＝eq \f(2 \r(2),7).
23.如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin2A1＋sin2B1＝______；sin2A2＋sin2B2＝______；sin2A3＋sin2B3＝______.
【答案】1；1；1
(1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°,都有sin2A＋sin2B＝______；
(2)如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
(3)已知：∠A＋∠B＝90°，且sin A＝eq \f(5,13)，求sin B的值．
(1)解：由图可知：sin2A1＋sin2B1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)＝1；
sin2A2＋sin2B2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(2))))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(2))))eq \s\up12(2)＝1；
sin2A3＋sin2B3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(2)＝1.
观察上述等式，可猜想：sin2A＋sin2B＝1.
(2)证明：在Rt△ABC中，∠C＝90°.
∵sin A＝eq \f(a,c)，sin B＝eq \f(b,c)，
∴sin2A＋sin2B＝eq \f(a2＋b2,c2).
∵∠C＝90°，
∴a2＋b2＝c2，∴sin2A＋sin2B＝1.
(3)解：∵sin A＝eq \f(5,13)，sin2A＋sin2B＝1，
∴sinB＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,13)))\s\up12(2))＝eq \f(12,13).
24.(1)填空：观察sin30°＝eq \f(1,2)，sin45°＝eq \f(\r(2),2)，sin60°＝eq \f(\r(3),2).
发现锐角α从30°→45°→60°变化时，它们的正弦值也在发生相应的变化，为了进一步探究变化规律，可以通过计算器计算一些锐角的正弦值：sin 10°≈0.173 6，sin 20°≈0.342 0，sin 40°≈0.642 8，sin 50°≈0.766 0，sin 70°≈0.939 7……通过比较锐角度数与相应的正弦值，我们猜想锐角α逐渐增大，对应的正弦值将__________．
【答案】逐渐增大
(2)如图，在圆A中，点B1，B2，B3，C在圆上，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值变化的规律．
解：如图，过点B1作B1C1⊥AC于点C1，
过点B2作B2C2⊥AC于点C2，过点B3作B3C3⊥AC于点C3，
显然有B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC1＞∠B2AC2＞∠B3AC3.
∵sin∠B1AC1＝eq \f(B1C1,AB1)，sin∠B2AC2＝eq \f(B2C2,AB2)，sin∠B3AC3＝eq \f(B3C3,AB3)，
且AB1＝AB2＝AB3，
∴eq \f(B1C1,AB1)＞eq \f(B2C2,AB2)＞eq \f(B3C3,AB3)，
即sin∠B1AC1＞sin∠B2AC2＞sin∠B3AC3，
∴正弦值随锐角度数的增大而增大．
(3)根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小．
解：sin88°＞sin62°＞sin50°＞sin34°＞sin18°.
①
②
③
④
一、选择题
1.【2020·湘潭改编】2sin45°的值等于( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
2.已知∠A为锐角，且sin(A－10°)＝eq \f(\r(3),2)，那么∠A等于( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
3.计算1－2sin245°的结果是( )
A．－1 B．0 C.eq \f(1,2) D．1
4.如果在△ABC中，sinA＝sinB＝eq \f(\r(2),2)，则下列最确切的结论是( )
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
5.把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1＝eq \f(\r(2),2)，则∠2的度数为( )
A．120° B．135° C．145° D．150°
6.点M(－sin 60°，sin 30°)关于x轴对称的点的坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝eq \r(2)，则∠A的度数为 ( )
A．30° B．45° C．50° D．60°
8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，则sinB＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D．1
8.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sin A＝eq \f(\r(2),2)，sin B＝eq \f(\r(3),2)，则∠C等于( )
A．75° B．90° C．105° D．45°
9.在锐角三角形ABC中，2sin A－eq \r(3)＝0, 2sin2B＝1.则sin(∠C－45°)等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),3)
10.在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sinA－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)－sinB))eq \s\up12(2)＝0，那么∠C的度数为( )
A．75° B．90° C．105° D．120°
12.若∠A为锐角，且sinA＝0.7，则( )
A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45° C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90°
二、填空题
13.sin30°＝________，sin45°＝________，sin60°＝________．
14.计算：(sin30°－1)0－4eq \r(6)sin45°sin60°＝________.
15.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则sinA＝________.
16.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=3,则sinA2= .
17.如图正方形网格中，sin∠BAC的值为________.
18.已知2sin2α－3eq \r(3)sinα＋3＝0中，∠α为锐角，则∠α＝________.
三、解答题
19.计算下列各题．
(1)【2020·北京】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－1)＋eq \r(18)＋|－2|－6sin45°；
(2)【中考·北京】|－eq \r(3)|－(4－π)0＋2sin60°＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(－1).
(3)【中考·贵港】eq \r(4)－(eq \r(3)－3)0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－2)－4sin30°.
(4)(2021－π)0＋|eq \r(2)－1|－2sin45°＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－1).
(5)【桂林中考】(－2017)0－sin30°＋eq \r(8)－2－1；
(6)【河池中考】eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－1))－2sin45°＋eq \r(8)－20.
20.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10eq \r(2)，AB＝20.求∠A的度数．
21.已知△ABC的两个锐角∠A，∠B的正弦值是方程2x2－2eq \r(2)x＋1＝0的两个根，求证：△ABC是直角三角形
22.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5eq \r(2)，点E在AB上，∠AED＝45°，DE＝6，CE＝7.求AE的长及sin∠BCE的值．
23.如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin2A1＋sin2B1＝______；sin2A2＋sin2B2＝______；sin2A3＋sin2B3＝______.
(1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°,都有sin2A＋sin2B＝______；
(2)如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
(3)已知：∠A＋∠B＝90°，且sin A＝eq \f(5,13)，求sin B的值．
24.(1)填空：观察sin30°＝eq \f(1,2)，sin45°＝eq \f(\r(2),2)，sin60°＝eq \f(\r(3),2).
发现锐角α从30°→45°→60°变化时，它们的正弦值也在发生相应的变化，为了进一步探究变化规律，可以通过计算器计算一些锐角的正弦值：sin 10°≈0.173 6，sin 20°≈0.342 0，sin 40°≈0.642 8，sin 50°≈0.766 0，sin 70°≈0.939 7……通过比较锐角度数与相应的正弦值，我们猜想锐角α逐渐增大，对应的正弦值将__________．
(2)如图，在圆A中，点B1，B2，B3，C在圆上，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值变化的规律．
(3)根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小．
①
②
③
④
参考答案
一、选择题
1.【2020·湘潭改编】2sin 45°的值等于( B )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
2.已知∠A为锐角，且sin(A－10°)＝eq \f(\r(3),2)，那么∠A等于( C )
A．50° B．60° C．70° D．80°
3.计算1－2sin245°的结果是( B )
A．－1 B．0 C.eq \f(1,2) D．1
4.如果在△ABC中，sinA＝sinB＝eq \f(\r(2),2)，则下列最确切的结论是( C )
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
5.把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1＝eq \f(\r(2),2)，则∠2的度数为( B )
A．120° B．135° C．145° D．150°
6.点M(－sin 60°，sin 30°)关于x轴对称的点的坐标是( B )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))
【点拨】∵－sin 60°＝－eq \f(\r(3),2)，
sin 30°＝eq \f(1,2)，∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，
∴点M关于x轴对称的点的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2))).
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝eq \r(2)，则∠A的度数为 ( B )
A．30° B．45° C．50° D．60°
8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，则sinB＝( B )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D．1
【点拨】∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，
∴sinB＝sin45°＝eq \f(\r(2),2).
8.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sin A＝eq \f(\r(2),2)，sin B＝eq \f(\r(3),2)，则∠C等于( A )
A．75° B．90° C．105° D．45°
【点拨】∵sin A＝eq \f(\r(2),2)，sin B＝eq \f(\r(3),2)，∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°－45°－60°＝75°.
9.在锐角三角形ABC中，2sin A－eq \r(3)＝0, 2sin2B＝1.则sin(∠C－45°)等于( A )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),3)
【点拨】∵2sin A－eq \r(3)＝0，2sin2B＝1，∴sin A＝eq \f(\r(3),2)，sin B＝eq \f(\r(2),2)(负值已舍去)．∴∠A＝60°，∠B＝45°，则∠C＝75°.
∴sin (∠C－45°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
10.在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sinA－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)－sinB))eq \s\up12(2)＝0，那么∠C的度数为( C )
A．75° B．90° C．105° D．120°
【点拨】依题意得sin A－eq \f(1,2)＝0，eq \f(\r(2),2)－sinB＝0，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝105°.
12.若∠A为锐角，且sinA＝0.7，则( B )
A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45° C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90°
二、填空题
13.sin30°＝________，sin45°＝________，sin60°＝________．
【答案】eq \f(1,2)；eq \f(\r(2),2)；eq \f(\r(3),2)
14.计算：(sin30°－1)0－4eq \r(6)sin45°sin60°＝________.
【答案】－5
15.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则sinA＝________.
【答案】eq \f(1,2)
16.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=3,则sinA2= .
【答案】eq \f(1,2)
17.如图正方形网格中，sin∠BAC的值为________.
【答案】eq \f(\r(2),2)
18.已知2sin2α－3eq \r(3)sinα＋3＝0中，∠α为锐角，则∠α＝________.
【点拨】∵2sin2α－3eq \r(3)sinα＋3＝0，∴a＝2，b＝－3eq \r(3)，c＝3.∴Δ＝b2－4ac＝(－3eq \r(3))2－4×2×3＝3＞0.∴sin α＝eq \r(3)(不符合题意，舍去)或sin α＝eq \f(\r(3),2).∵∠α为锐角，∴∠α＝60°.
【答案】60°
三、解答题
19.计算下列各题．
(1)【2020·北京】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－1)＋eq \r(18)＋|－2|－6sin45°；
解：原式＝3＋3eq \r(2)＋2－6×eq \f(\r(2),2)＝3＋3eq \r(2)＋2－3eq \r(2)＝5.
(2)【中考·北京】|－eq \r(3)|－(4－π)0＋2sin60°＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(－1).
解：原式＝eq \r(3)－1＋2×eq \f(\r(3),2)＋4＝2eq \r(3)＋3.
(3)【中考·贵港】eq \r(4)－(eq \r(3)－3)0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－2)－4sin30°.
解：原式＝2－1＋4－4×eq \f(1,2)＝2－1＋4－2＝3.
(4)(2021－π)0＋|eq \r(2)－1|－2sin45°＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－1).
解：原式＝1＋eq \r(2)－1－2×eq \f(\r(2),2)＋3＝3.
(5)【桂林中考】(－2017)0－sin30°＋eq \r(8)－2－1；
解：原式＝1－eq \f(1,2)＋2eq \r(2)－eq \f(1,2)＝2eq \r(2).
(6)【河池中考】eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－1))－2sin45°＋eq \r(8)－20.
解：原式＝1－2×eq \f( \r(2),2)＋2eq \r(2)－1＝eq \r(2).
20.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10eq \r(2)，AB＝20.求∠A的度数．
解：∵在直角三角形BDC中，∠BDC＝45°，BD＝10eq \r(2)，
∴BC＝BD·sin∠BDC＝10eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝10.
∵∠C＝90°，AB＝20，
∴sin A＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(10,20)＝eq \f(1,2)，
∴∠A＝30°.
21.已知△ABC的两个锐角∠A，∠B的正弦值是方程2x2－2eq \r(2)x＋1＝0的两个根，求证：△ABC是直角三角形
证明：∵2x2－2eq \r(2)x＋1＝0，∴x1＝x2＝eq \f(\r(2),2)，
即sinA＝sinB＝eq \f(\r(2),2)，∴∠A＝∠B＝45°
∴∠A＋∠B＝90°
∴△ABC是直角三角形
22.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5eq \r(2)，点E在AB上，∠AED＝45°，DE＝6，CE＝7.求AE的长及sin∠BCE的值．
解：在Rt△ADE中，∠A＝90°，
∠AED＝45°，∴∠ADE＝45°.
∵sin ∠ADE＝eq \f(AE,DE)，
∴AE＝DE·sin ∠ADE＝6×sin 45°＝3 eq \r(2).
∵BE＝AB－AE，
∴BE＝5eq \r(2)－3 eq \r(2)＝2 eq \r(2).
在Rt△BCE中，sin∠BCE＝eq \f(BE,CE)＝eq \f(2 \r(2),7).
23.如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin2A1＋sin2B1＝______；sin2A2＋sin2B2＝______；sin2A3＋sin2B3＝______.
【答案】1；1；1
(1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°,都有sin2A＋sin2B＝______；
(2)如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
(3)已知：∠A＋∠B＝90°，且sin A＝eq \f(5,13)，求sin B的值．
(1)解：由图可知：sin2A1＋sin2B1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)＝1；
sin2A2＋sin2B2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(2))))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(2))))eq \s\up12(2)＝1；
sin2A3＋sin2B3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(2)＝1.
观察上述等式，可猜想：sin2A＋sin2B＝1.
(2)证明：在Rt△ABC中，∠C＝90°.
∵sin A＝eq \f(a,c)，sin B＝eq \f(b,c)，
∴sin2A＋sin2B＝eq \f(a2＋b2,c2).
∵∠C＝90°，
∴a2＋b2＝c2，∴sin2A＋sin2B＝1.
(3)解：∵sin A＝eq \f(5,13)，sin2A＋sin2B＝1，
∴sinB＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,13)))\s\up12(2))＝eq \f(12,13).
24.(1)填空：观察sin30°＝eq \f(1,2)，sin45°＝eq \f(\r(2),2)，sin60°＝eq \f(\r(3),2).
发现锐角α从30°→45°→60°变化时，它们的正弦值也在发生相应的变化，为了进一步探究变化规律，可以通过计算器计算一些锐角的正弦值：sin 10°≈0.173 6，sin 20°≈0.342 0，sin 40°≈0.642 8，sin 50°≈0.766 0，sin 70°≈0.939 7……通过比较锐角度数与相应的正弦值，我们猜想锐角α逐渐增大，对应的正弦值将__________．
【答案】逐渐增大
(2)如图，在圆A中，点B1，B2，B3，C在圆上，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值变化的规律．
解：如图，过点B1作B1C1⊥AC于点C1，
过点B2作B2C2⊥AC于点C2，过点B3作B3C3⊥AC于点C3，
显然有B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC1＞∠B2AC2＞∠B3AC3.
∵sin∠B1AC1＝eq \f(B1C1,AB1)，sin∠B2AC2＝eq \f(B2C2,AB2)，sin∠B3AC3＝eq \f(B3C3,AB3)，
且AB1＝AB2＝AB3，
∴eq \f(B1C1,AB1)＞eq \f(B2C2,AB2)＞eq \f(B3C3,AB3)，
即sin∠B1AC1＞sin∠B2AC2＞sin∠B3AC3，
∴正弦值随锐角度数的增大而增大．
(3)根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小．
解：sin88°＞sin62°＞sin50°＞sin34°＞sin18°.
①
②
③
④
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