苏教版 (2019)必修 第二册15.1 随机事件和样本空间导学案

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册15.1 随机事件和样本空间导学案，共5页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．tan 255°＝( )
A．－2－eq \r(3) B．－2＋eq \r(3)
C．2－eq \r(3) D．2＋eq \r(3)
D [tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝eq \f(tan 45°＋tan 30°,1－tan 45°tan 30°)＝eq \f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝2＋eq \r(3)．]
2．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β＝( )
A．2 B．eq \f(3,2) C．1 D．eq \f(1,2)
D [tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(2,1－tan αtan β)＝4，
∴1－tan αtan β＝eq \f(1,2)，tan αtan β＝eq \f(1,2)．]
3．已知A，B都是锐角，且tan A＝eq \f(1,3)，sin B＝eq \f(\r(5),5)，则A＋B＝( )
A．eq \f(π,4) B．eq \f(π,3) C．eq \f(π,2) D．eq \f(5π,6)
A [∵B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin B＝eq \f(\r(5),5)，∴cs B＝eq \f(2\r(5),5)．
∴tan B＝eq \f(1,2)．
∴tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝eq \f(\f(1,3)＋\f(1,2),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1．
又A，B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴A＋B∈(0，π)．∴A＋B＝eq \f(π,4)．]
4．已知tan α，tan β是方程x2＋6x＋7＝0的两个实根，则tan(α－β)＝( )
A．eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2),4) C．－eq \f(\r(2),4) D．±eq \f(\r(2),4)
D [由已知tan α＝－3＋eq \r(2)，tan β＝－3－eq \r(2)或tan α＝－3－eq \r(2)，tan β＝－3＋eq \r(2)，
∴tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝±eq \f(\r(2),4)．]
5．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3eq \r(3)，tan2B＝tan Atan C，则角B＝( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
C [因为A＋B＋C＝180°，
所以tan(A＋C)＝－tan B，
又tan A＋tan B＋tan C＝3eq \r(3)，
所以tan A＋tan C＝3eq \r(3)－tan B，
又tan2B＝tan Atan C，
所以由tan(A＋C)＝eq \f(tan A＋tan C,1－tan Atan C)得－tan B＝eq \f(3\r(3)－tan B,1－tan2B)，
所以－tan B(1－tan2B)＝3eq \r(3)－tan B，
所以tan3B＝3eq \r(3)，所以tan B＝eq \r(3)．
又0°二、填空题
6．eq \f(tan 55°－tan 385°,1－tan－305°tan－25°)＝________．
eq \f(\r(3),3) [原式＝eq \f(tan 55°－tan 25°,1－tan 305°tan 25°)＝eq \f(tan 55°－tan 25°,1＋tan 55°tan 25°)
＝tan(55°－25°)＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)．]
7．在△ABC中，若0钝角 [易知tan B>0，tan C>0，B，C为锐角．
eq \f(sin Bsin C,cs Bcs C)<1，∴cs Bcs C>sin Bsin C．
∴cs Bcs C－sin Bsin C>0，∴cs(B＋C)>0，即cs A＜0，故A为钝角．]
8．已知P(2，m)为角α终边上一点，且taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则sin α＝________．
－eq \f(\r(5),5) [∵P(2，m)为角α终边上一点，∴tan α＝eq \f(m,2)，
再根据taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋1,1－tan α)＝eq \f(\f(m,2)＋1,1－\f(m,2))＝eq \f(1,3)，∴m＝－1，∴P(2，－1)，
则sin α＝eq \f(－1,\r(22＋－12))＝eq \f(－1,\r(5))＝－eq \f(\r(5),5)．]
三、解答题
9．求下列各式的值：
(1)tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°；
(2)tan 70°－tan 10°－eq \r(3)tan 70°tan 10°．
[解] (1)因为tan(17°＋28°)＝eq \f(tan 17°＋tan 28°,1－tan 17°tan 28°)，
所以tan 17°＋tan 28°＝tan 45°(1－tan 17°tan 28°)
＝1－tan 17°tan 28°，
所以tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°＝1．
(2)因为tan 60°＝tan(70°－10°)
＝eq \f(tan 70°－tan 10°,1＋tan 70°tan 10°)，
所以tan 70°－tan 10°＝eq \r(3)＋eq \r(3)tan 70°tan 10°，
所以tan 70°－tan 10°－eq \r(3)tan 70°tan 10°＝eq \r(3)．
10．若△ABC的三内角满足：2B＝A＋C，且A＜B＜C，tan Atan C＝2＋eq \r(3)，求角A，B，C的大小．
[解] 由题意知：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＋B＋C＝180°，,2B＝A＋C，))
解之得：B＝60°且A＋C＝120°，
∴tan(A＋C)＝tan 120°＝－eq \r(3)＝eq \f(tan A＋tan C,1－tan Atan C)，
又∵tan Atan C＝2＋eq \r(3)，
∴tan A＋tan C＝tan(A＋C)·(1－tan Atan C)
＝tan 120°(1－2－eq \r(3))
＝－eq \r(3)(－1－eq \r(3))＝3＋eq \r(3)．
∴tan A，tan C可作为一元二次方程
x2－(3＋eq \r(3))x＋(2＋eq \r(3))＝0的两根，
又∵0＜A＜B＜C＜π，
∴tan A＝1，tan C＝2＋eq \r(3)．
即A＝45°，C＝75°．
所以A，B，C的大小分别为45°，60°，75°．
11．设向量a＝(cs α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))等于( )
A．－eq \f(1,3) B．eq \f(1,3) C．－3 D．3
B [a·b＝2cs α－sin α＝0，得tan α＝2．
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(tan α－tan\f(π,4),1＋tan αtan\f(π,4))＝eq \f(1,3)．]
12．(多选题)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，下列各式正确的是( )
A．A＋B＝2C B．tan(A＋B)＝－eq \r(3)
C．tan A＝tan B D．cs B＝eq \r(3)sin A
CD [在△ABC中，C＝120°，
所以A＋B＝60°，
所以tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝eq \f(\f(2\r(3),3),1－tan Atan B)＝eq \r(3)，解得tan Atan B＝eq \f(1,3)．
由于tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，tan Atan B＝eq \f(1,3)．
所以tan A和tan B为方程x2－eq \f(2\r(3),3)x＋eq \f(1,3)＝0的两个根，
所以tan A＝tan B＝eq \f(\r(3),3)．
所以cs B＝eq \r(3)sin A．故A、B错误，C、D正确．故选CD．]
13．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)
钝角 [由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan A＋tan B＝\f(5,3)，,tan A·tan B＝\f(1,3)，))
∴tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan A·tan B)＝eq \f(\f(5,3),1－\f(1,3))＝eq \f(5,2)，
在△ABC中，tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－eq \f(5,2)<0，∴C是钝角，∴△ABC是钝角三角形．]
14．已知锐角α，β满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则tan(α＋β)＝________，α＋β＝________．
－1 eq \f(3π,4) [∵(tan α－1)(tan β－1)＝tan αtan β－(tan α＋tan β)＋1＝2，
∴tan αtan β－(tan α＋tan β)＝1，
即1－tan αtan β＝－(tan α＋tan β)．
∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝－1，
又α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴α＋β∈(0，π)，∴由tan(α＋β)＝－1可知α＋β＝eq \f(3π,4)．]
15．是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝eq \f(2π,3)和②tan eq \f(α,2)·tan β＝2－eq \r(3) 同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
[解] 由①得eq \f(α,2)＋β＝eq \f(π,3)，∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))＝eq \f(tan\f(α,2)＋tan β,1－tan\f(α,2)tan β)＝eq \r(3)．
将②代入上式得tan eq \f(α,2)＋tan β＝3－eq \r(3)．
因此，tan eq \f(α,2)与tan β是一元二次方程x2－(3－eq \r(3))x＋2－eq \r(3)＝0的两根．解得x1＝1，x2＝2－eq \r(3)．
若tan eq \f(α,2)＝1，由于0＜eq \f(α,2)＜eq \f(π,4)，
∴这样的α不存在．
故只能是tan eq \f(α,2)＝2－eq \r(3)，tan β＝1．
由于α，β均为锐角，
∴α＝eq \f(π,6)，β＝eq \f(π,4)．
故存在锐角α＝eq \f(π,6)，β＝eq \f(π,4)使①②同时成立．