数学必修 第二册10.3 几个三角恒等式导学案

这是一份数学必修 第二册10.3 几个三角恒等式导学案，共5页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若A＋B＝120°，则sin A＋sin B的最大值是( )
A．1 B．eq \r(2) C．eq \r(3) D．eq \f(\r(6),2)
C [sin A＋sin B＝2sineq \f(A＋B,2)cseq \f(A－B,2)
＝eq \r(3)cseq \f(A－B,2)≤eq \r(3)，∴最大值为eq \r(3)．]
2．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的最大值是( )
A．eq \f(1,2) B．1 C．eq \r(2) D．eq \r(3)
B [y＝2sin xcseq \f(π,3)＝sin x≤1，∴最大值为1．]
3．eq \f(sin 35°－sin 25°,cs 35°－cs 25°)＝( )
A．eq \f(\r(3),3) B．－eq \f(\r(3),3) C．eq \r(3) D．－eq \r(3)
D [原式＝eq \f(2sin 5°cs 30°,－2sin 30°sin 5°)＝－eq \f(cs 30°,sin 30°)＝－eq \r(3)．]
4．设π<α<3π，cs α＝m，cseq \f(α,2)＝n，cseq \f(α,4)＝p，下列各式中正确的是( )
A．n＝－ eq \r(\f(1＋m,2)) B．n＝ eq \r(\f(1＋m,2))
C．p＝ eq \r(\f(1＋n,2)) D．p＝－ eq \r(\f(1＋n,2))
A [∵eq \f(π,2)即n＝－eq \r(\f(1＋m,2))，此外由于eq \f(π,4)因此cs eq \f(α,4)的符号不能确定．]
5．若α是第三象限角且sin(α＋β)cs β－sin βcs(α＋β)＝－eq \f(5,13)，则taneq \f(α,2)＝( )
A．－5 B．5 C．－eq \f(1,5) D．eq \f(1,5)
A [易知sin α＝－eq \f(5,13)，α为第三象限角，
∴cs α＝－eq \f(12,13)．
∴tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs \f(α,2))＝eq \f(2sin \f(α,2)cs \f(α,2),2cs2\f(α,2))
＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(－\f(5,13),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13))))＝－5．]
二、填空题
6．若cs(α＋β)cs(α－β)＝eq \f(1,3)，则cs2α－sin2β＝________．
eq \f(1,3) [cs(α＋β)cs(α－β)＝eq \f(1,2)(cs 2α＋cs 2β)
＝eq \f(1,2)[(2cs2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cs2α－sin2β．
∴cs2α－sin2β＝eq \f(1,3)．]
7．若cs2α－cs2β＝m，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________．
－m [sin(α＋β)sin(α－β)＝－eq \f(1,2)(cs 2α－cs 2β)＝－eq \f(1,2)(2cs2α－1－2cs2β＋1)＝cs2β－cs2α＝－m．]
8．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))cs x的最小值是________．
－eq \f(3,4) [y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))cs x＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－\f(1,2)))＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－eq \f(1,4)，
当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝－1时，y取得最小值为－eq \f(3,4)．]
三、解答题
9．求函数f(x)＝sin xeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin x－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))))的最小正周期与最值．
[解] f(x)＝sin xeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin x－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))))
＝sin x·2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))
＝－sin xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))
＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))))
＝－eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(1,4)．
∴最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π．
∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))∈[－1，1]，
∴f(x)max＝eq \f(3,4)，f(x)min＝－eq \f(1,4)．
10．已知3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))，求证：sin 2α＝1．
[证明] ∵3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))，
∴eq \f(3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12))))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12))))，
∴3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))，
∴eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin 2α－sin\f(π,6)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin 2α＋sin\f(π,6)))，
∴3sin 2α－eq \f(3,2)＝sin 2α＋eq \f(1,2)，∴sin 2α＝1．
11．sin220°＋cs280°＋eq \r(3)sin 20°cs 80°的值是( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．1
A [原式＝eq \f(1－cs 40°,2)＋eq \f(1＋cs 160°,2)＋eq \f(\r(3),2)(sin 100°－sin 60°)＝1－eq \f(1,2)(cs 40°＋cs 20°)＋eq \f(\r(3),2)cs 10°－eq \f(3,4)＝1－cs 30°cs 10°＋eq \f(\r(3),2)cs 10°－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4)．]
12．(多选题)下列各式与tan α相等的是( )
A．eq \r(\f(1－cs 2α,1＋cs 2α))
B．eq \f(sin α,1＋cs α)
C．eq \r(\f(1＋csπ＋2α,2))·eq \f(1,cs α)(α∈(0，π))
D．eq \f(1－cs 2α,sin 2α)
CD [A不符合，eq \r(\f(1－cs 2α,1＋cs 2α))＝eq \r(\f(2sin2α,2cs2α))＝eq \r(tan2α)＝|tan α|；
B不符合，eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(2sin \f(α,2)cs \f(α,2),2cs2 \f(α,2))＝tan eq \f(α,2)；
C符合，因为α∈(0，π)，所以原式＝eq \r(\f(1－cs 2α,2))·eq \f(1,cs α)＝eq \f(sin α,cs α)＝tan α；
D符合，eq \f(1－cs 2α,sin 2α)＝eq \f(2sin2α,2sin αcs α)＝tan α．]
13．如图，实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等，设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1，2，3)，则cseq \f(α1,3)cseq \f(α2＋α3,3)－sineq \f(α1,3)sineq \f(α2＋α3,3)＝________．
－eq \f(1,2) [设三段圆弧交于A，B，D三点，连接PA，PB，PD(图略)，则∠APB＋∠APD＋∠BPD＝2π，从而α1＋α2＋α3＝4π，所以cseq \f(α1,3)cseq \f(α2＋α3,3)－sineq \f(α1,3)sineq \f(α2＋α3,3)＝cseq \f(α1＋α2＋α3,3)＝cseq \f(4π,3)＝－eq \f(1,2)．]
14．若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))＝eq \f(\r(3),4)，则cs 2θ＝________，sin θ＋cs θ＝________．
eq \f(\r(3),2) －eq \f(\r(2),2) [cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,2)＋cs 2θ))＝eq \f(1,2)cs 2θ＝eq \f(\r(3),4)，
∴cs 2θ＝eq \f(\r(3),2)．
又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，
∴2θ＝eq \f(11π,6)，即θ＝eq \f(11π,12)，
∴sin θ＋cs θ＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \r(2)sin eq \f(7π,6)＝eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－eq \f(\r(2),2)．]
15．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为eq \f(π,3)的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
[解] 在直角三角形OBC中，OB＝cs α，BC＝sin α．
在直角三角形OAD中，eq \f(DA,OA)＝tan 60°＝eq \r(3)．
∴OA＝eq \f(\r(3),3)DA＝eq \f(\r(3),3)sin α，
∴AB＝OB－OA＝cs α－eq \f(\r(3),3)sin α．
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AB·BC＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α－\f(\r(3),3)sin α))sin α
＝sin αcs α－eq \f(\r(3),3)sin2α
＝eq \f(1,2)sin 2α－eq \f(\r(3),6)(1－cs 2α)
＝eq \f(1,2)sin 2α＋eq \f(\r(3),6)cs 2α－eq \f(\r(3),6)
＝eq \f(1,\r(3))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 2α＋\f(1,2)cs 2α))－eq \f(\r(3),6)
＝eq \f(1,\r(3))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,6)))－eq \f(\r(3),6)．
∵0<α∴eq \f(π,6)＜2α＋eq \f(π,6)＜eq \f(5π,6)，
∴当2α＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即α＝eq \f(π,6)时，S取最大值eq \f(\r(3),6)．
∴当α＝eq \f(π,6)时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为eq \f(\r(3),6)．