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初中数学苏科版八年级上册第二章 轴对称图形综合与测试随堂练习题
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这是一份初中数学苏科版八年级上册第二章 轴对称图形综合与测试随堂练习题，共11页。
2021-2022学年苏科版八年级数学上《第2章轴对称图形》达标测试
（时间：100分钟 满分：120分）
一．选择题(每小题2分 共30分)
1．下列瑜伽动作中，可以看成轴对称图形的是( )
2．如图，将长方形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD按箭头方向向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片展开，则展开图是( )
3 ．如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC＝CD，则∠BAD的度数是( )
A．50° B．45° C．40° D．35°
第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图
4．如图，点P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA，OB的对称点P1，P2，连接OP，OP1，OP2，则下列结论正确的是( )
A．OP1⊥OP2 B．OP1＝OP2 C．OP1⊥OP2且OP1＝OP2 D．OP1≠OP2
5．如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．如图，P为锐角三角形ABC内一点，P关于AB，AC的对称点分别为点D，点E.则△DAE 一定是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定
7．如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E，D，若AC＝6，BC＝10，AB＝8，则DE的长度为( )
A．14 B．16 C．18 D．20
8．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC＝( )
A．100° B．115° C．125° D．130°
第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
9．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处．已知BC＝12，∠B＝30°，则DE的长是( )
A．6 B．4 C．3 D．2
10．如图所示，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为( )
A．6 B．12 C．32 D．64
11．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( )
A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠A D．∠EBC＝∠ABE
12．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为( )
A．24° B．48° C．72° D．66°
13．如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
14．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE的周长等于AB＋AC.其中正确的是( )
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
第14题图 第15题图 第16题图 第17题图
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE＋AC＝AB；⑤A、D两点一定在线段EC的垂直平分线上，其中正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题(每小题2分 共20分)
16．如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请你补全字母，写出这个单词所指的物品__．
17．如图，在线段AB上取一点C(非中点)，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于点F，连接BD交CE与于点G，AE和BD交于点H，则下列结论正确的是____(填序号)．①AE＝DB；②不另外添加线，图中全等三角形只有1对；③若连接FG，则△CFG是等边三角形；④若连接CH，则CH平分∠FHG.
18．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行________海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．
第18题图 第19题图 第20题图
19．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D(不与B，C重合)是BC上任意一点，将此三角形纸片按如图的方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为_____(用含a的式子表示)．
20．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC.则∠PCQ的度数为_______．
21．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…，若∠A＝80°，则∠BnBn＋1Bn＋2的度数为________度．(用含n的代数式表示，n≥1，n为整数)
第21题图 第22题图 第24题图 第24题图 第25题图
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有________个．
23．如图，等边△ABC的边长P为BC上一点，若△APD=60°，则图中相等的角(60°的角除外)是 ．
24．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC= ．
25．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长为 ．
三．解答题（70分）
26．(6分)尺规作图：如图，已知△ABC.(保留作图痕迹，不写作法)
(1)作BC边上的中线AD；(2)在中线AD上求作一点E，使得点E到AB、BC的距离相等．
27．(6分)如图，AC是某座大桥的一部分，DC部分因受台风侵袭已垮塌，为了修补这座大桥，需要对DC的长进行测量，测量人员在没有垮塌的桥上选取两点A和D，在C处对岸立着的桥墩上选取一点B(BC⊥AC)，然后测得∠A＝30°，∠ADB＝120°，AD＝60 m．求DC的长．
28．(6分)如图，已知DE⊥AB，垂足为点E，DF⊥AC，垂足为点F，BD＝CD，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
29．(6分)已知：如图，△BCE，△ACD分别是以BE，AD为斜边的直角三角形，且BE＝AD，△CDE是等边三角形．求证：△ABC是等边三角形．
30.(6分)如图所示，已知△ABC和△BDE均为等边三角形．
求证：BD＋CD＝AD.
31．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数
32．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点(与点A分别在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交AB于点E，连接AD交BC于点F.
(1)求证：AD垂直平分BC；
(2)如图①，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；
(3)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的数量关系，并证明你的结论．
33．(10分)如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，点E是AB的中点，CE⊥BD.(1)求证：BE＝AD；(2)求证：AC垂直平分ED；(3)△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．
34.(10分)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点P是AC边上的一动点，由点A向点C运动(与点A，C不重合)，点Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(点Q不与点B重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D.
(1)当∠BQD＝30°时，求AP的长；
(2)在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由．
35．（12分）(1)操作发现：如图①，D是等边三角形ABC的边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方作等边三角形DCF，连接AF.写出线段AF与BD之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)类比猜想：如图②，当动点D运动至等边三角形ABC的边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？
(3)深入探究：
Ⅰ.如图③，当动点D在等边三角形ABC的边BA上运动时(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论；
Ⅱ.如图④，当动点D在等边三角形ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出新的结论，并证明你得出的结论．
教师样卷
一．选择题(每小题2分 共30分)
1．下列瑜伽动作中，可以看成轴对称图形的是( A )
2．如图，将长方形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD按箭头方向向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片展开，则展开图是(D)
3 ．如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC＝CD，则∠BAD的度数是( B )
A．50° B．45° C．40° D．35°
第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图
4．如图，点P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA，OB的对称点P1，P2，连接OP，OP1，OP2，则下列结论正确的是( B )
A．OP1⊥OP2 B．OP1＝OP2 C．OP1⊥OP2且OP1＝OP2 D．OP1≠OP2
5．如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为( C )
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．如图，P为锐角三角形ABC内一点，P关于AB，AC的对称点分别为点D，点E.则△DAE 一定是( A )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定
7．如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E，D，若AC＝6，BC＝10，AB＝8，则DE的长度为( A )
A．14 B．16 C．18 D．20
8．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC＝( B )
A．100° B．115° C．125° D．130°
第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
9．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处．已知BC＝12，∠B＝30°，则DE的长是( B )
A．6 B．4 C．3 D．2
10．如图所示，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为( C )
A．6 B．12 C．32 D．64
11．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( C )
A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠A D．∠EBC＝∠ABE
12．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为( B )
A．24° B．48° C．72° D．66°
13．如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是( C )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
14．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE的周长等于AB＋AC.其中正确的是( C )
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
第14题图 第15题图 第16题图 第17题图
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE＋AC＝AB；⑤A、D两点一定在线段EC的垂直平分线上，其中正确的有( C )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题(每小题2分 共20分)
16．如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请你补全字母，写出这个单词所指的物品__书__．
17．如图，在线段AB上取一点C(非中点)，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于点F，连接BD交CE与于点G，AE和BD交于点H，则下列结论正确的是__①③④__(填序号)．①AE＝DB；②不另外添加线，图中全等三角形只有1对；③若连接FG，则△CFG是等边三角形；④若连接CH，则CH平分∠FHG.
18．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行____4____海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．
第18题图 第19题图 第20题图
19．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D(不与B，C重合)是BC上任意一点，将此三角形纸片按如图的方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为___3a___(用含a的式子表示)．
20．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC.则∠PCQ的度数为___度_____．
21．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…，若∠A＝80°，则∠BnBn＋1Bn＋2的度数为____.____度．(用含n的代数式表示，n≥1，n为整数)
第21题图 第22题图 第24题图 第24题图 第25题图
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有____6____个．
23．如图，等边△ABC的边长P为BC上一点，若△APD=60°，则图中相等的角(60°的角除外)是 ∠BAP=∠CPD ∠APB=∠PDC ．
24．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC= 45o ．
25．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长为 6 ．
三．解答题（70分）
26．(6分)尺规作图：如图，已知△ABC.(保留作图痕迹，不写作法)
(1)作BC边上的中线AD；(2)在中线AD上求作一点E，使得点E到AB、BC的距离相等．
解：(1)作线段BC的垂直平分线交BC于点D.连接AD，如图．
(2)作∠ABC的平分线BO交AD于点E，如图．
27．(6分)如图，AC是某座大桥的一部分，DC部分因受台风侵袭已垮塌，为了修补这座大桥，需要对DC的长进行测量，测量人员在没有垮塌的桥上选取两点A和D，在C处对岸立着的桥墩上选取一点B(BC⊥AC)，然后测得∠A＝30°，∠ADB＝120°，AD＝60 m．求DC的长．
解：在△ADB中，由已知条件知∠ABD＝180°－120°－30°＝30°，所以∠A＝∠ABD，所以△ADB是等腰三角形，所以BD＝AD＝60 m.在Rt△DCB中，∠CDB＝180°－120°＝60°，又因为BC⊥AC，所以∠DBC＝90°－60°＝30°，所以DC＝BD＝×60＝30 m.
28．(6分)如图，已知DE⊥AB，垂足为点E，DF⊥AC，垂足为点F，BD＝CD，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴DE＝DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.
29．(6分)已知：如图，△BCE，△ACD分别是以BE，AD为斜边的直角三角形，且BE＝AD，△CDE是等边三角形．求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵△CDE是等边三角形，∴EC＝CD，∠1＝60°.∵BE，AD都是斜边，∴∠BCE＝∠ACD＝90°.在Rt△BCE和Rt△ACD中，EC＝DC, BE＝AD，∴Rt△BCE≌Rt△ACD (HL)，∴BC＝AC.∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠2＝90°，∴∠3＝∠1＝60°，∴ △ABC是等边三角形．
30.(6分)如图所示，已知△ABC和△BDE均为等边三角形．
求证：BD＋CD＝AD.
证明：∵△ABC和△BDE均为等边三角形，∴AB＝BC，BE＝BD＝DE，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABE＋∠EBC＝∠CBD＋∠EBC.即：∠ABE＝∠CBD.在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD(SAS)．∴AE＝CD.又∵BD＝DE，∴AD＝AE＋ED＝CD＋BD，即BD＋CD＝AD.
31．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数
【答案】(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形．
(2)解：由(1)可知△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝40°，∠B＝∠C，∴∠B＝(180°－40°)＝70°，
32．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点(与点A分别在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交AB于点E，连接AD交BC于点F.
(1)求证：AD垂直平分BC；
(2)如图①，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；
(3)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明：∵AB＝AC，DB＝DC，∴点A，D均在线段BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC.(2)证明：由(1)得，AD⊥BC.又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.∵DE∥AC，∴∠CAF＝∠ADE，∴∠BAF＝∠ADE，∴DE＝AE.(3)解：DE＝BE＋AC.证明如下：由(2)得∠BAF＝∠CAF.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAF，∴∠BAF＝∠EDA，∴EA＝ED.[来源:Z|xx|k.Com]∵EA＝EB＋BA＝EB＋AC，∴DE＝BE＋AC.
33．(10分)如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，点E是AB的中点，CE⊥BD.(1)求证：BE＝AD；(2)求证：AC垂直平分ED；(3)△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．
【答案】(1)证明：∵AB＝BC，∠EBC＝∠DAB＝90 °，可证得∠ABD＝∠BCE，
∴Rt△BAD≌Rt△CBE(ASA)，∴BE＝AD.(2)证明：∵点E是AB的中点，∴AE＝BE＝AD.
又∵△ABC是等腰三角形，∴∠BAC＝45 °＝∠DAC，∴AC⊥DE且AC平分DE，∴AC垂直平分DE.(3)解：由(2)可知：CD＝CE.由△BAD≌△CBE得BD＝CE，∴BD＝CD，∴△DBC是等腰三角形．
34.(10分)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点P是AC边上的一动点，由点A向点C运动(与点A，C不重合)，点Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(点Q不与点B重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D.
(1)当∠BQD＝30°时，求AP的长；
(2)在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由．
解：(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB＝60°.∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°.设AP＝x，则PC＝6－x，QB＝x，∴QC＝QB＋BC＝6＋x.∵在Rt△QCP中，∠CQD＝30°，
∴PC＝QC，即6－x＝(6＋x)，解得x＝2，∴AP＝2；
(2)当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交线段AB的延长线于点F.∵PE⊥AB于点E，∴∠DFQ＝∠AEP＝90°.∵点P，Q速度相同，∴AP＝BQ.
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°.在△APE和△BQF中，∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，∴∠APE＝∠BQF.∴在△APE和△BQF中，∴△APE≌△BQF (AAS)，∴PE＝QF，又∠DEP＝∠DFQ＝90°，∠EDP＝∠FDQ，∴△DPE≌△DQF，∴DE＝DF，∴DE＝EF.∵AE＝BF，∴EF＝AB，∴DE＝AB.又∵等边△ABC的边长为6，∴DE＝3，∴当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．
35．（12分）(1)操作发现：如图①，D是等边三角形ABC的边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方作等边三角形DCF，连接AF.写出线段AF与BD之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)类比猜想：如图②，当动点D运动至等边三角形ABC的边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？
(3)深入探究：
Ⅰ.如图③，当动点D在等边三角形ABC的边BA上运动时(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论；
Ⅱ.如图④，当动点D在等边三角形ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出新的结论，并证明你得出的结论．
解：(1)AF＝BD.证明如下：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠BCA＝60°.
同理，DC＝CF，∠DCF＝60°.∴∠BCA－∠DCA＝∠DCF－∠DCA，即∠BCD＝∠ACF.
在△BCD和△ACF中，[来源:学*科*网Z*X*X*K]∴△BCD≌△ACF(SAS)，∴BD＝AF.(2)AF＝BD仍然成立．(3)Ⅰ.AF＋BF′＝AB.证明如下：由(1)知，BD＝AF.同(1)中证明△BCD≌△ACF类似，可证得△BCF′≌△ACD，∴BF′＝AD，∴AF＋BF′＝BD＋AD＝AB.
Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF＝AB＋BF′.证明如下：由题意得∠BCF′＝∠ACD.在△BCF′和△ACD中，，∴△BCF′≌△ACD(SAS)，∴BF′＝AD.又由(2)知，AF＝BD，∴AF＝BD＝AB＋AD＝AB＋BF′.
2021-2022学年苏科版八年级数学上《第2章轴对称图形》达标测试
（时间：100分钟 满分：120分）
一．选择题(每小题2分 共30分)
1．下列瑜伽动作中，可以看成轴对称图形的是( )
2．如图，将长方形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD按箭头方向向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片展开，则展开图是( )
3 ．如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC＝CD，则∠BAD的度数是( )
A．50° B．45° C．40° D．35°
第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图
4．如图，点P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA，OB的对称点P1，P2，连接OP，OP1，OP2，则下列结论正确的是( )
A．OP1⊥OP2 B．OP1＝OP2 C．OP1⊥OP2且OP1＝OP2 D．OP1≠OP2
5．如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．如图，P为锐角三角形ABC内一点，P关于AB，AC的对称点分别为点D，点E.则△DAE 一定是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定
7．如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E，D，若AC＝6，BC＝10，AB＝8，则DE的长度为( )
A．14 B．16 C．18 D．20
8．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC＝( )
A．100° B．115° C．125° D．130°
第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
9．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处．已知BC＝12，∠B＝30°，则DE的长是( )
A．6 B．4 C．3 D．2
10．如图所示，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为( )
A．6 B．12 C．32 D．64
11．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( )
A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠A D．∠EBC＝∠ABE
12．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为( )
A．24° B．48° C．72° D．66°
13．如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
14．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE的周长等于AB＋AC.其中正确的是( )
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
第14题图 第15题图 第16题图 第17题图
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE＋AC＝AB；⑤A、D两点一定在线段EC的垂直平分线上，其中正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题(每小题2分 共20分)
16．如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请你补全字母，写出这个单词所指的物品__．
17．如图，在线段AB上取一点C(非中点)，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于点F，连接BD交CE与于点G，AE和BD交于点H，则下列结论正确的是____(填序号)．①AE＝DB；②不另外添加线，图中全等三角形只有1对；③若连接FG，则△CFG是等边三角形；④若连接CH，则CH平分∠FHG.
18．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行________海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．
第18题图 第19题图 第20题图
19．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D(不与B，C重合)是BC上任意一点，将此三角形纸片按如图的方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为_____(用含a的式子表示)．
20．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC.则∠PCQ的度数为_______．
21．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…，若∠A＝80°，则∠BnBn＋1Bn＋2的度数为________度．(用含n的代数式表示，n≥1，n为整数)
第21题图 第22题图 第24题图 第24题图 第25题图
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有________个．
23．如图，等边△ABC的边长P为BC上一点，若△APD=60°，则图中相等的角(60°的角除外)是 ．
24．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC= ．
25．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长为 ．
三．解答题（70分）
26．(6分)尺规作图：如图，已知△ABC.(保留作图痕迹，不写作法)
(1)作BC边上的中线AD；(2)在中线AD上求作一点E，使得点E到AB、BC的距离相等．
27．(6分)如图，AC是某座大桥的一部分，DC部分因受台风侵袭已垮塌，为了修补这座大桥，需要对DC的长进行测量，测量人员在没有垮塌的桥上选取两点A和D，在C处对岸立着的桥墩上选取一点B(BC⊥AC)，然后测得∠A＝30°，∠ADB＝120°，AD＝60 m．求DC的长．
28．(6分)如图，已知DE⊥AB，垂足为点E，DF⊥AC，垂足为点F，BD＝CD，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
29．(6分)已知：如图，△BCE，△ACD分别是以BE，AD为斜边的直角三角形，且BE＝AD，△CDE是等边三角形．求证：△ABC是等边三角形．
30.(6分)如图所示，已知△ABC和△BDE均为等边三角形．
求证：BD＋CD＝AD.
31．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数
32．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点(与点A分别在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交AB于点E，连接AD交BC于点F.
(1)求证：AD垂直平分BC；
(2)如图①，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；
(3)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的数量关系，并证明你的结论．
33．(10分)如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，点E是AB的中点，CE⊥BD.(1)求证：BE＝AD；(2)求证：AC垂直平分ED；(3)△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．
34.(10分)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点P是AC边上的一动点，由点A向点C运动(与点A，C不重合)，点Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(点Q不与点B重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D.
(1)当∠BQD＝30°时，求AP的长；
(2)在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由．
35．（12分）(1)操作发现：如图①，D是等边三角形ABC的边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方作等边三角形DCF，连接AF.写出线段AF与BD之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)类比猜想：如图②，当动点D运动至等边三角形ABC的边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？
(3)深入探究：
Ⅰ.如图③，当动点D在等边三角形ABC的边BA上运动时(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论；
Ⅱ.如图④，当动点D在等边三角形ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出新的结论，并证明你得出的结论．
教师样卷
一．选择题(每小题2分 共30分)
1．下列瑜伽动作中，可以看成轴对称图形的是( A )
2．如图，将长方形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD按箭头方向向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片展开，则展开图是(D)
3 ．如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC＝CD，则∠BAD的度数是( B )
A．50° B．45° C．40° D．35°
第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图
4．如图，点P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA，OB的对称点P1，P2，连接OP，OP1，OP2，则下列结论正确的是( B )
A．OP1⊥OP2 B．OP1＝OP2 C．OP1⊥OP2且OP1＝OP2 D．OP1≠OP2
5．如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为( C )
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．如图，P为锐角三角形ABC内一点，P关于AB，AC的对称点分别为点D，点E.则△DAE 一定是( A )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定
7．如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E，D，若AC＝6，BC＝10，AB＝8，则DE的长度为( A )
A．14 B．16 C．18 D．20
8．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC＝( B )
A．100° B．115° C．125° D．130°
第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
9．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处．已知BC＝12，∠B＝30°，则DE的长是( B )
A．6 B．4 C．3 D．2
10．如图所示，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为( C )
A．6 B．12 C．32 D．64
11．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( C )
A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠A D．∠EBC＝∠ABE
12．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为( B )
A．24° B．48° C．72° D．66°
13．如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是( C )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
14．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE的周长等于AB＋AC.其中正确的是( C )
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
第14题图 第15题图 第16题图 第17题图
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE＋AC＝AB；⑤A、D两点一定在线段EC的垂直平分线上，其中正确的有( C )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题(每小题2分 共20分)
16．如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请你补全字母，写出这个单词所指的物品__书__．
17．如图，在线段AB上取一点C(非中点)，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于点F，连接BD交CE与于点G，AE和BD交于点H，则下列结论正确的是__①③④__(填序号)．①AE＝DB；②不另外添加线，图中全等三角形只有1对；③若连接FG，则△CFG是等边三角形；④若连接CH，则CH平分∠FHG.
18．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行____4____海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．
第18题图 第19题图 第20题图
19．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D(不与B，C重合)是BC上任意一点，将此三角形纸片按如图的方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为___3a___(用含a的式子表示)．
20．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC.则∠PCQ的度数为___度_____．
21．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…，若∠A＝80°，则∠BnBn＋1Bn＋2的度数为____.____度．(用含n的代数式表示，n≥1，n为整数)
第21题图 第22题图 第24题图 第24题图 第25题图
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有____6____个．
23．如图，等边△ABC的边长P为BC上一点，若△APD=60°，则图中相等的角(60°的角除外)是 ∠BAP=∠CPD ∠APB=∠PDC ．
24．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC= 45o ．
25．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长为 6 ．
三．解答题（70分）
26．(6分)尺规作图：如图，已知△ABC.(保留作图痕迹，不写作法)
(1)作BC边上的中线AD；(2)在中线AD上求作一点E，使得点E到AB、BC的距离相等．
解：(1)作线段BC的垂直平分线交BC于点D.连接AD，如图．
(2)作∠ABC的平分线BO交AD于点E，如图．
27．(6分)如图，AC是某座大桥的一部分，DC部分因受台风侵袭已垮塌，为了修补这座大桥，需要对DC的长进行测量，测量人员在没有垮塌的桥上选取两点A和D，在C处对岸立着的桥墩上选取一点B(BC⊥AC)，然后测得∠A＝30°，∠ADB＝120°，AD＝60 m．求DC的长．
解：在△ADB中，由已知条件知∠ABD＝180°－120°－30°＝30°，所以∠A＝∠ABD，所以△ADB是等腰三角形，所以BD＝AD＝60 m.在Rt△DCB中，∠CDB＝180°－120°＝60°，又因为BC⊥AC，所以∠DBC＝90°－60°＝30°，所以DC＝BD＝×60＝30 m.
28．(6分)如图，已知DE⊥AB，垂足为点E，DF⊥AC，垂足为点F，BD＝CD，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴DE＝DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.
29．(6分)已知：如图，△BCE，△ACD分别是以BE，AD为斜边的直角三角形，且BE＝AD，△CDE是等边三角形．求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵△CDE是等边三角形，∴EC＝CD，∠1＝60°.∵BE，AD都是斜边，∴∠BCE＝∠ACD＝90°.在Rt△BCE和Rt△ACD中，EC＝DC, BE＝AD，∴Rt△BCE≌Rt△ACD (HL)，∴BC＝AC.∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠2＝90°，∴∠3＝∠1＝60°，∴ △ABC是等边三角形．
30.(6分)如图所示，已知△ABC和△BDE均为等边三角形．
求证：BD＋CD＝AD.
证明：∵△ABC和△BDE均为等边三角形，∴AB＝BC，BE＝BD＝DE，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABE＋∠EBC＝∠CBD＋∠EBC.即：∠ABE＝∠CBD.在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD(SAS)．∴AE＝CD.又∵BD＝DE，∴AD＝AE＋ED＝CD＋BD，即BD＋CD＝AD.
31．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数
【答案】(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形．
(2)解：由(1)可知△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝40°，∠B＝∠C，∴∠B＝(180°－40°)＝70°，
32．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点(与点A分别在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交AB于点E，连接AD交BC于点F.
(1)求证：AD垂直平分BC；
(2)如图①，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；
(3)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明：∵AB＝AC，DB＝DC，∴点A，D均在线段BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC.(2)证明：由(1)得，AD⊥BC.又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.∵DE∥AC，∴∠CAF＝∠ADE，∴∠BAF＝∠ADE，∴DE＝AE.(3)解：DE＝BE＋AC.证明如下：由(2)得∠BAF＝∠CAF.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAF，∴∠BAF＝∠EDA，∴EA＝ED.[来源:Z|xx|k.Com]∵EA＝EB＋BA＝EB＋AC，∴DE＝BE＋AC.
33．(10分)如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，点E是AB的中点，CE⊥BD.(1)求证：BE＝AD；(2)求证：AC垂直平分ED；(3)△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．
【答案】(1)证明：∵AB＝BC，∠EBC＝∠DAB＝90 °，可证得∠ABD＝∠BCE，
∴Rt△BAD≌Rt△CBE(ASA)，∴BE＝AD.(2)证明：∵点E是AB的中点，∴AE＝BE＝AD.
又∵△ABC是等腰三角形，∴∠BAC＝45 °＝∠DAC，∴AC⊥DE且AC平分DE，∴AC垂直平分DE.(3)解：由(2)可知：CD＝CE.由△BAD≌△CBE得BD＝CE，∴BD＝CD，∴△DBC是等腰三角形．
34.(10分)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点P是AC边上的一动点，由点A向点C运动(与点A，C不重合)，点Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(点Q不与点B重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D.
(1)当∠BQD＝30°时，求AP的长；
(2)在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由．
解：(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB＝60°.∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°.设AP＝x，则PC＝6－x，QB＝x，∴QC＝QB＋BC＝6＋x.∵在Rt△QCP中，∠CQD＝30°，
∴PC＝QC，即6－x＝(6＋x)，解得x＝2，∴AP＝2；
(2)当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交线段AB的延长线于点F.∵PE⊥AB于点E，∴∠DFQ＝∠AEP＝90°.∵点P，Q速度相同，∴AP＝BQ.
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°.在△APE和△BQF中，∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，∴∠APE＝∠BQF.∴在△APE和△BQF中，∴△APE≌△BQF (AAS)，∴PE＝QF，又∠DEP＝∠DFQ＝90°，∠EDP＝∠FDQ，∴△DPE≌△DQF，∴DE＝DF，∴DE＝EF.∵AE＝BF，∴EF＝AB，∴DE＝AB.又∵等边△ABC的边长为6，∴DE＝3，∴当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．
35．（12分）(1)操作发现：如图①，D是等边三角形ABC的边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方作等边三角形DCF，连接AF.写出线段AF与BD之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)类比猜想：如图②，当动点D运动至等边三角形ABC的边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？
(3)深入探究：
Ⅰ.如图③，当动点D在等边三角形ABC的边BA上运动时(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论；
Ⅱ.如图④，当动点D在等边三角形ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出新的结论，并证明你得出的结论．
解：(1)AF＝BD.证明如下：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠BCA＝60°.
同理，DC＝CF，∠DCF＝60°.∴∠BCA－∠DCA＝∠DCF－∠DCA，即∠BCD＝∠ACF.
在△BCD和△ACF中，[来源:学*科*网Z*X*X*K]∴△BCD≌△ACF(SAS)，∴BD＝AF.(2)AF＝BD仍然成立．(3)Ⅰ.AF＋BF′＝AB.证明如下：由(1)知，BD＝AF.同(1)中证明△BCD≌△ACF类似，可证得△BCF′≌△ACD，∴BF′＝AD，∴AF＋BF′＝BD＋AD＝AB.
Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF＝AB＋BF′.证明如下：由题意得∠BCF′＝∠ACD.在△BCF′和△ACD中，，∴△BCF′≌△ACD(SAS)，∴BF′＝AD.又由(2)知，AF＝BD，∴AF＝BD＝AB＋AD＝AB＋BF′.
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