华师大版九年级上册24.4 解直角三角形优秀课堂检测

24.4解直角三角形同步练习华师大版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，，若反比例函数经过点C，则k的值等于

A. 10 B. 24 C. 48 D. 50

2. 直线与y轴相交，所成的锐角的正切值为，则k的值为

A. 2 B.  C.  D. 无法确定

3. 如图，正方形ABCD中，，E为AB的中点，将沿DE翻折得到，延长EF交BC于G，，垂足为H，连接BF、以下结论：；≌；∽；；；其中正确的个数是

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

4. 如图，点A、B、C在半径为3的上，当时，锐角的正弦值为

A.
B.
C.
D.

5. 如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得，，则竹竿AB与AD的长度之比为

A.
B.
C.
D.

6. 如图，中，，点D在AC上，若，，则BD的长度为

A.
B.
C.
D. 4

7. 如图，在中，，，，则AC的长为

A.
B.
C.
D. 2

8. 在中，，若，，则斜边上的高等于

A. 5 B.  C.  D. 4

9. 如图，在四边形ABCD中，，，，把沿着AC翻折得到，若，则线段DE的长度

A.
B.
C.
D.

10. 如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点点A，B，C在同一直线上，再沿斜坡DE方向前行78米到E点点A，B，C，D，E在同一平面内，在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为，悬崖BC的高为米，斜坡DE的坡度或坡比：，则信号塔AB的高度约为
    参考数据：，，

A. 23米 B. 24米 C. 米 D. 25米

11. 比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是

A.  B.  C.  D.

12. 如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线”，相关的两边为“闪亮边”例如：图中的四边形ABCD中，，则，所以四边形ABCD是闪亮四边形，AC是闪亮对角线，AB、AD是对应的闪亮边如图，已知闪亮四边形ABCD中，AC是闪亮对角线，AD、CD是对应的闪亮边，且，，，，那么线段AD的长为          提示：

14. 某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为，后拉杆AE的倾斜角，篮板MN到立柱BC的水平距离，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为则篮球架横伸臂DG的长约为______结果保留一位小数，参考数据：，，

15. 如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，则长方形卡片的周长为______精确到参考数据：，，
16. 如图，小车从4米高的A处沿斜坡滑到B处，若斜坡坡度为：2，则斜坡AB的水平宽度BC为______米．

17. 如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是，沿斜坡走米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为，且斜坡AF的坡比为1：则小明从点A走到点D的过程中，他上升的高度为______米；大树BC的高度为______米结果保留根号

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为时，感觉最舒适如图侧面示意图为图；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图，点B、O、C在同一直线上，，，．
    
    求OC的长；
    如图，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持，求点到AC的距离．结果保留根号
    
    
    
    
    
    
     
19. 位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
    
    某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为测角仪的高度为．
    求观星台最高点A距离地面的高度结果精确到参考数据：，，，；
    “景点简介”显示，观星台的高度为请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
    
    
    
    
    
    
     
20. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
    构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如：在计算时，可构造如图所示的图形在中，，，设，延长CB至点D，使得，连结AD，易知，，所以
    任务：
    
    请根据上面的步骤，完成的计算
    类比这种方法，画出图形，并计算的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边长与腰长的比叫做顶角的正对如图，在中，，顶角A的正对记作sadA，这时容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
    根据顶角的正对的定义，解决下列问题：
     

的值为   

A.

B.1

C.

D.2
对于，的正对sadA的取值范围是          
已知，其中为锐角，试求的值．






 

22. 如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角为求这两座建筑物AB，CD的高度．结果保留小数点后一位，，
     

23. 如图所示，某建筑物楼顶有信号塔EF，卓玛同学为了探究信号塔EF的高度，从建筑物一层A点沿直线AD出发，到达C点时刚好能看到信号塔的最高点F，测得仰角，AC长7米．接着卓玛再从C点出发，继续沿AD方向走了8米后到达B点，此时刚好能看到信号塔的最低点E，测得仰角不计卓玛同学的身高求信号塔EF的高度结果保留根号．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：过点C作，垂足为D，菱形OABC，
，
在中，
，
，，
点代入反比例函数的关系式得：，
故选：C．
由菱形的性质可得四边相等，通过作垂线，构造直角三角形，解直角三角形求出点C的坐标，进而确定k的值，做出选择即可．
考查菱形的性质，直角三角形的边角关系，以及反比例函数图象上点的坐标特征，求出点C的坐标是解决问题的关键．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：由直线的解析式可知直线与y轴的交点为，与x轴的交点为，
直线与y轴相交所成锐角的正切值为，
即，
解得．
故选：C．
首先确定直线与y轴和x轴的交点，然后利用直线与y轴相交所成锐角的正切值为这一条件求出k的值．
本题考查了一次图象上点的坐标特征，解直角三角形等，求得直线与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
 

3.【答案】D
 

【解析】解：正方形ABCD中，，E为AB的中点，
，，，
沿DE翻折得到，
，，，，
，，
，
，
，
，故正确；
，
，
在和中，，
≌，故正确；
，，
，，
，
∽，故正确；
≌，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
，故正确；
∽，且，

设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：舍去或，
，故正确；
故选：D．
根据正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理依次对各个选项进行判断、计算，即可得出答案．
本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数等知识，本题综合性较强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
 

4.【答案】B
 

【解析】解：过点A作直径AD，连接CD，

，
，，
，
故选：B．
过点A作直径AD，连接CD，可得出，则，答案得出．
本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
 

5.【答案】B
 

【解析】

【试题解析】

【分析】
本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．
【解答】
解：在中，，
在中，，
：：，
故选：B．

6.【答案】C
 

【解析】解：，，，
，
，
．
，
，
故选：C．
在中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在中由三角函数求得BD．
本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：过A作于D，则，
，，
，，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
故选：B．
过A作于D，则，根据已知求出，，求出AD、CD的长，根据勾股定理求出AC即可．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：如图所示，，CD即为斜边上的高，
在中，，，，
，即，
根据勾股定理得：，
，
，
故选：B．
如图所示，，CD即为斜边上的高，利用锐角三角函数定义求出BC的长，利用勾股定理求出AC的长，利用面积法求出CD即可．
此题属于解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：方法一：如图，延长ED交AC于点M，过点M作于点N，

设，
，
，
，
，，，
，
由翻折可知：
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
由翻折可知：，
，
是的角平分线，
，
，
解得．
方法二：
如图，过点D作，
由折叠可知：，
，

，
设，则，
由折叠性质可知，，
，
，
，
，
由翻折可知：，
，
，
解得，
，，
在直角三角形EDM中，，
解得．
故选：B．
方法一，延长ED交AC于点M，过点M作于点N，设，根据已知条件和翻折的性质可求m的值，再证明CD是的角平分线，可得，进而可得ED的长．方法二，过点D作，首先得到度，度，再根据平行线的性质可得到，设，由折叠性质可知，，在直角三角形EDM中，根据勾股定理即可得DE的长．
本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 

10.【答案】D
 

【解析】解：过点E作交DC的延长线于点F，过点E作于点M，

斜坡DE的坡度或坡比：，米，
设，则．
在中，
，即，
解得，
米，米，
米．
，，，
四边形EFCM是矩形，
米，米．
在中，
，
米，
米．
米．
故选：D．
过点E作交DC的延长线于点F，过点E作于点M，根据斜坡DE的坡度或坡比：可设，则，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EF与DF的长，故可得出CF的长．由矩形的判定定理得出四边形EFCM是矩形，故可得出，，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

11.【答案】A
 

【解析】解：在中，，
则，，，
因此选项A正确，选项B、C、D不正确；
故选：A．
根据直角三角形的边角关系，即锐角三角函数逐个进行判断即可．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
 

12.【答案】C
 

【解析】解：如图，取格点E，连接CE．

由题意：，，，
，
故选：C．
如图，取格点E，连接构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可．
本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

13.【答案】
 

【解析】解：如图，作于H．
，
，
又，，
，
由题意得，
，
，
，
，
是等边三角形，
．

14.【答案】
 

【解析】解：作于K．

四边形DKHG是矩形，
，
在中．，
，
故答案为．
作于得到矩形DKGH，求出HK即可解决问题；
本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

15.【答案】200
 

【解析】解：作于点E，于点F．如图所示：
，
，
．
根据题意，得，．
在中，，
，
在中，，
，
矩形ABCD的周长．
作于点E，于点F，求的度数，在中，可以求得AB的值，在中，可以求得AD的值，即可计算矩形ABCD的周长．
本题考查了矩形的性质、解直角三角形；熟练掌握矩形的性质和三角函数定义是解题的关键．
 

16.【答案】8
 

【解析】解：坡度为：2，，
．
故答案为：8．
根据坡度定义直接解答即可．
本题考查了解直角三角形的应用--坡度坡角问题，熟悉坡度坡角的定义是解题的关键．
 

17.【答案】 
 

【解析】解：如图，过点D作于K，于H，
则四边形DHCK为矩形．
故DK，，
在直角三角形AHD中，
，米，
米，米，
米，
设米，
在直角三角形ABC中，米，
米，米，
在直角三角形BDK中，，
即，
解得：，
米．
答：大树的高度为米
过点D作于K，于H，设BC为x米，根据矩形的性质得出，，再利用锐角三角函数的性质求x的值即可．
本题考查了仰角、坡角的定义，解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，在中，，．
；
如图，过点作，垂足为D，过点O作，垂足为E，
由题意得，，
当显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持，看可得，
，
，
在中，，
又，
，
即：点到AC的距离为．
 

【解析】解即可求出OC的长；
求出，在中求出，进而求出．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是常用的方法．
 

19.【答案】解：过A作于D，延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
设，
，
，
，
，
，
答：观星台最高点A距离地面的高度约为；
“景点简介”显示，观星台的高度为，
本次测量结果的误差为，
减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
过A作于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到，，求得，设，得到，解直角三角形即可得到结论；
建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
 

20.【答案】 解：，即 的值是．

如图，在中，，，
延长CB到点D，使得，
连结AD，易知，
设，则，
故 CD，
，
即 的值是．

【解析】见答案
 

21.【答案】解： 当顶角为时，等腰三角形的底角都为，
则该三角形为等边三角形，则，
故选B．

当接近于时，sadA接近于0，
当接近于时，等腰三角形的底边长接近于腰长的二倍，
故sadA接近于2．
于是sadA的取值范围是．

如图，在中，，．
在AB上取点D，使，作，H为垂足，
令，，则 ，
在中，，，
，
，
，

于是在中，，，
由顶角的正对的定义可得，
即．

【解析】见答案
 

22.【答案】解：延长CD，交AE于点E，可得，

在中，，，
，
在中，，，
，
则．
答：这两座建筑物AB，CD的高度分别为和．
 

【解析】延长CD，交过A点的水平线AE于点E，可得，在直角三角形ABC中，由题意确定出AB的长，进而确定出EC的长，在直角三角形AED中，由题意求出ED的长，由求出DC的长即可
此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
 

23.【答案】解：在中，，米，
米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
答：信号塔EF的高度为米．
 

【解析】在中，根据三角函数的定义得到米，在中，根据三角函数的定义得到米，于是得到结论．
本题考查了解直角三角形仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形；难点是充分找到并运用题中相等的线段．