初中数学华师大版九年级上册24.4 解直角三角形练习题

数学九年级上学期《24.4解直角三角形》同步练习

一．选择题（共11小题）

1．如图，四边形ABCD中，∠ABC=Rt∠．已知∠A=α，外角∠DCE=β，BC=a，CD=b，则下列结论错误的是（　　）

A．∠ADC=90°﹣α+β    B．点D到BE的距离为b•sinβ

C．AD=     D．点D到AB的距离为a+bcosβ

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=，那么AB的长是（　　）

A．3    B．    C．    D．

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，若AC=6cm，则BC的长度为（　　）

A．8cm    B．7cm    C．6cm                 D．5cm

4．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为（　　）

A．2    B．    C．    D．

5．已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（　　）

A．    B．2    C．3    D．6

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=α，那么BC的长为（　　）

A．m•tanα•cosα  B．m•cotα•cosα  C．  D．

7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AB上一点，且AD：DB=3：2，过点D作DE⊥AC于E，连结BE，则tan∠CEB的值等于（　　）

A．    B．2    C．    D．

8．一个三角形的边长分别为a，a，b，另一个三角形的边长分别为b，b，a，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（　　）

A．   B．   C．   D．

9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=4，E为BC中点，AE平分∠BAD，连接DE，则sin∠ADE的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

10．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，OE⊥AC于O交BC于E，连接AE．若AB=1，AD=，则AE=（　　）

A．    B．   C．   D．2

11．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（　　）

A．50    B．51    C．50+1    D．101

二．填空题（共6小题）

12．在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB=，则∠ABC的大小为　   　度．

13．已知等腰△ABC，AB=AC，BH为腰AC上的高，BH=3，tan∠ABH=，则CH的长为　   　．

14．已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5，12），那么OP与x轴正半轴所夹角的余弦值为　   　．

15．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=，tan∠BA3C=，计算tan∠BA4C=　   　，…按此规律，写出tan∠BAnC=　   　（用含n的代数式表示）．

16．已知△ABC中，满足+=，AB=10．则AC+BC=　   　

17．在△ABC中，AB=AC，若BD⊥直线AC于点D，若cos∠BAD=，BD=2，则BC为　   　．

三．解答题（共8小题）

18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC边的中点，BD=2，tanB=

（1）求AD和AB的长；

（2）求sin∠BAD的值．

19．如图，四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD是锐角．

（1）若BD=BC，证明：sin∠BCD=．

（2）若AB=BC=4，AD+CD=6，求的值．

（3）若BD=CD，AB=6，BC=8，求sin∠BCD的值．

（注：本题可根据需要自己画图并解答）

20．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，sinA=，点D在AB边上，且∠BDC=45°，BC=5．

（1）求AD长；

（2）求∠ACD的正弦值．

21．在数学活动课上，老师带领学生去测量操场上树立的旗杆的高度，老师为同学们准备了如下工具：①高为m米的测角仪，②长为n米的竹竿，③足够长的皮尺．请你选用以上的工具，设计一个可以通过测量，求出国旗杆高度的方案（不用计算和说明，画出图形并标记可以测量的长度或者角度即可，可测量的角度选用α，β，γ标记，可测量的长度选用a，b，c，d标记，测角仪和竹竿可以用线段表示）．

（1）你选用的工具为：　   　；（填序号即可）

（2）画出图形．

22．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：．

（1）求加固后坝底增加的宽度AF；

（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）

23．每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB（假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC=15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC=60°，AD=4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）

24．小明与班级数学兴趣小组的同学在学校操场上测得旗杆BC在地面上的影长AB为12米，同一时刻，测得小明在地面的影长为2.4米，小明的身高为1.6米．

（1）求旗杆BC的高度；

（2）兴趣小组活动一段时间后，小明站在A，B两点之间的D处（A，D，B三点在一条直线上），测得旗杆BC的顶端C的仰角为α，且tanα=0.8，求此时小明与旗杆之间的距离．

25．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：

（1）港口A与小岛C之间的距离；

（2）甲轮船后来的速度．

参考答案

一．选择题

1．C．

2．A．

3．A．

4．B．

5．C．

6．C．

7．D．

8．B．

9．B．

10．C．

11．C．

二．填空题（共6小题）

12．30或150．

13．3或

14．

15．；．

16．14．

17．2或2．

三．解答题

18．解：（1）∵D是BC的中点，BD=2，

∴BD=DC=2，BC=4，

在Rt△ACB中，由 tanB==，

∴=，

∴AC=3，

由勾股定理得：AD===，

AB===5；

（2）过点D作DE⊥AB于E，

∴∠C=∠DEB=90°，

又∠B=∠B，

∴△DEB∽△ACB，

∴=，

∴DE=，

∴sin∠BAD===．

19．解：（1）如图1中，过点B作AD的垂线BE交DA的延长线于点E，

∵∠ABC=∠ADC=90°，

∴∠ADC+∠ABC=180°，

∴四边形ABCD四点共圆，

∴∠BDE=∠ACB，∠EAB=∠BCD，

∵∠BED=∠ABC=90°，

∴△BED∽△ABC，

∴==sin∠EAB=sin∠BCD；

（2）如图2中，过点B作BF⊥BD交DC的延长线于F．

∵∠ABC=∠DBF=90°，∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°，∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠BAD=180°﹣∠BCD=∠BCF，

∵∠BCF=∠BAD，BC=BA，

∴△DAB≌△CBF，

∴BD=BF，AD=CF，

∵∠DBF=90°，

∴△BDF是等腰直角三角形，

∴BD=DF，

∵AD+CD=6，

∴CF+CD=DF=6，

∴BD=3，AC==4，

∴==．

（3）当BD=CD时，如图3中，过点B作MN∥DC，过点C作CN⊥MN，垂足为N，延长DA交MN于点M，则四边形DCNM是矩形，△ABM∽△BCN，

∴===，

设AM=6y，BN=8y，BM=6x，CN=8x，

在Rt△BDM中，BD==10x，

∵BD=DC，

∴10x=6x+8y，

∴x=2y，

在Rt△ABM中，AB==6y，

∴sin∠BCD=sin∠MAB===．

20．解：（1）∵∠B=90°，∠BDC=45°，

∴BC=BD=5，

∵sinA=，

∴AB=12，

∴AD=AB﹣BD=12﹣5=7；

（2）过A作AE⊥CE交CD延长线于点E，

∵△ADE是等腰直角三角形，

∴AE=DE=，

则sin∠ACD=．

21．解：（1）选用的工具为：①③；

故答案为：①③；

（2）如图所示：可以量出AM，AC，AB的长，以及α，β的度数，即可得出DC，NC的长．

22．

解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H．

∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，

∴DH平行且等于EG．                        

故四边形EGHD是矩形．                  

∴ED=GH．                          

在Rt△ADH中，

AH=DH÷tan∠DAH=10÷tan45°=10（米）．     

在Rt△FGE中，

i==，

∴FG=EG=10（米）．        

∴AF=FG+GH﹣AH=10+3﹣10=10﹣7（米）；

（2）加宽部分的体积V=S梯形AFED×坝长

=×（3+10﹣7）×10×500

=25000﹣10000（立方米）．                                   

答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为（10﹣7）米；

（2）完成这项工程需要土石（25000﹣10000）立方米．

23．解：过点A作AE⊥CD于点E，

∵∠BAC=15°，

∴∠DAC=90°﹣15°=75°，

∵∠ADC=60°，

∴在Rt△AED中，

∵cos60°===，

∴DE=2，

∵sin60°===，

∴AE=2，

∴∠EAD=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，

在Rt△AEC中，

∵∠CAE=∠CAD﹣∠DAE=75°﹣30°=45°，

∴∠C=90°﹣∠CAE=90°﹣45°=45°，

∴AE=CE=2，

∴sin45°===，

∴AC=2，

∴AB=2+2+2≈2×2.4+2×1.7+2=10.2≈10米．

答：这棵大树AB原来的高度是10米．

24．解：（1）依题意有：

=，即=，

解得BC=8．

故旗杆BC的高度是8米；

（2）如图，

在Rt△CFE中，tan∠CEF===0.8，

解得EF=8，

则BD=8．

故此时小明与旗杆之间的距离是8米．

25．解：（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：

由题意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，

在Rt△ABD中，

∵AB=30海里，∠BAC=30°，

∴BD=15海里，AD=ABcos30°=15海里，

在Rt△BCD中，

∵BD=15海里，∠BCD=45°，

∴CD=15海里，BC=15海里，

∴AC=AD+CD=15+15海里，

即A、C间的距离为（15+15）海里．

（2）∵AC=15+15（海里），

轮船乙从A到C的时间为=+1，

由B到C的时间为+1﹣1=，

∵BC=15海里，

∴轮船甲从B到C的速度为=5（海里/小时）．