华师大版九年级上册24.4 解直角三角形测试题

      初中数学华师大版九年级上学期 第24章 24.4 解直角三角形

一、单选题（共4题）

1.某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（   ） 

A. 米                      B. 米                      C. 米                      D. 米

2.小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处.看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为(已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7.sin65°≈0.9.cos65°≈0.4，tan65°≈2.1)(    ) 

A. 3.2米                                   B. 3.9米                                   C. 4.7米                                   D. 5.4米

3.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内）.已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（    ）

A. asinx+bsinx                  B. acosx+bcosx                  C. asinx+bcosx.                  D. acosx+bsinx

4.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（     ） 

A.                                          B.                                          C.                                          D. 

二、填空题（共3题）

5.如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC2-BC2= AB2  ， 则tanC=________。 

6.如图，在△ABC中，sinB= ，tanC= ，AB=3，则AC的长为________ . 

7.如图，在△ABC中，BC＝ ，∠C＝45°，AB＝ AC，则AC的长为________. 

三、解答题（共3题）

8.如图，在A处的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B.求A，B间的距离.（ ≈1.73， ≈1.4，结果保留一位小数）. 

9.图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图，已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC=70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）

10.如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°。求这两座建筑物AB,CD的高度。（结果保留小数点后一位 ） 

四、综合题（共2题）

11.如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上。

（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC=150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE.   

（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD=165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少?增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据: ≈1.41， ≈1.73）   

12.为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图.小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）.然后,小明沿坡度i=1:1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行.

（1）求点F到直线CE的距离(结果保留根号);   

（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°,求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米， ≈1.41， ≈1.73）.   

答案解析部分

一、单选题

1. B  

解：∵简易房为轴对称图像，故BC边上的高平分底边，

∴有  故答案为：B。

【分析】由轴对称关系，作高，解直角三角形即可。

2. C  

解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，

设DF=x，
在Rt△ODF中
∵tan65°=，
∴OF=xtan65°=2.1x  
∴BD=3+x，
在Rt△OBF中
∵tan35°=，
∴OF=（3+x）tan35°=0.7（3+x），
∴2.1x=0.7（3+x），
∴x=1.5，
∴OF=1.5×2.1=3.15，
∴OE=3.15+1.5=4.654.7
故答案为：C
【分析】过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，将实际问题转化到直角三角形中，设DF=x，可用含x的代数式表示出BD的长，再利用解直角三角形，在Rt△OBF和Rt△ODF中，分别求出OF的长，然后建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到OF的长，由AB=EF，继而可求出OE的长。

3. D  

解：作AG⊥OC交OC于点G，交BC于点H，如图，

∵四边形ABCD为矩形，AD=b，

∴∠ABH=90°，AD=BC=b，

∵OB⊥OC，

∴∠O=90°，

又∵∠HCG+∠GHC=90°，∠AHB+∠BAH=90°，∠GHC=∠AHB，∠BC0=x，

∴∠HCG=∠BAH=x，

在Rt△ABH中，

∵cos∠BAH=cosx= ，AB=a，

∴AH= ，

∵tan∠BAH=tanx= ，

∴BH=a·tanx，

∴CH=BC-BH=b-a·tanx，

在Rt△CGH中，

∵sin∠HCG=sinx= ，

∴GH=（b-a·tanx）·sinx=bsinx-atanxsinx，

∴AG=AH+HG= +bsinx-atanxsinx，

= +bsinx- ，

=bsinx+acosx.

故答案为：D.

【分析】作AG⊥OC交OC于点G，交BC于点H，由矩形性质得∠ABH=90°，AD=BC=b，根据等角的余角相等得∠HCG=∠BAH=x，在Rt△ABH中，根据锐角三角函数余弦定义cosx= 得AH= ，根据锐角三角函数正切定义tanx= 得BH=a·tanx，从而可得CH长，在Rt△CGH中，根据锐角三角函数正弦定义sinx= 得GH=bsinx-atanxsinx，由AG=AH+HG计算即可得出答案.

4. D  

如图作CD⊥AB，AD=3，CD=4，

由勾股定理得： .
则 .
故答案为：D
【分析】要求三角函数值，先构造直角三角形，为此作CD⊥AB，AD、CD长可读出，AC可由勾股定理求得，最后求三角函数值即可。

二、填空题

5.

过点B作BD⊥AC于点D，

∴∠ADB=90°

∵∠A=45°，

∴sin45°=

∴AB2=2BD2  ， BD=AD

∴BC2=BD2+CD2

∵

∴

∴ ，

整理得：

在Rt△BDC中，

故答案为：

【分析】过点B作BD⊥AC于点D，易证△ABD是等腰直角三角形和△BDC是直角三角形，利用勾股定理，可证AB2=2BD2  ， BD=AD，BC2=BD2+CD2  ， 再结合已知条件，可得到 ，整理就可得到 ，然后利用锐角三角函数的定义，就可求出结果。

6.

解：过A作AD⊥BC，

  在Rt△ABD中，sinB= ，AB=3，

  ∴AD=AB·sinB=1，

在Rt△ACD中，tanC= ，

∴ ，即CD=

根据勾股定理得：AC= 。

故答案为： 。

【分析】过A作AD⊥BC， 在Rt△ABD中，根据正弦函数的定义，由AD=AB·sinB算出AD，在Rt△ACD中，根据正切函数的定义得出， 根据方程就可算出CD，最后根据勾股定理算出AC的长。

7. 2  

过A作AD⊥BC，∠C=45°，设AC=x, 在Rt△ADC中 , , ,则 ,
在△ABD中， , 则 ,解得：x=2 .

【分析】设AC为x,作垂直利用勾股定理和已知条件把各边用x来表示，统一量，以BC边依托列含x的方程，解出x, 即是AC边的长。

三、解答题

8. 解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，  

则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，如图所示.

在Rt△BCD中，sin∠BCD＝ ，cos∠BCD＝ ，

∴BD＝BC•sin∠BCD＝20×3× ≈42，CD＝BC•cos∠BCD＝20×3× ≈42；

在Rt△ACD中，tan∠ACD＝ ，

∴AD＝CD•tan∠ACD＝42× ≈72.2.

∴AB＝AD+BD＝72.2+42＝114.2.

∴A，B间的距离约为114.2海里.

【分析】 过点C作CD⊥AB，垂足为点D， 则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，如图所示.，根据锐角三角函数的定义及特殊锐角三角函数值，在Rt△BCD中 ，由BD＝BC•sin∠BCD ， CD＝BC•cos∠BCD 分别算出BD、CD的长， 在Rt△ACD中 ，由AD＝CD•tan∠ACD算出AD的长，进而根据AB=AD+BD即可算出答案。

9. 解：将滑板车看作AB、BC两条直线，作AD垂直于BC，

A离地面高度即AD的长度加上轮胎半径，则Sin∠B=Sin∠70°= ≈0.94，所以AD≈86.5厘米，则A离地面高度为86.5+5=92.5厘米

【分析】作AD⊥BC，在Rt△ADB中，根据锐角三角函数正弦定义可求得AD长，由AD+轮胎半径即为把手A离地面的高度.

10. 解： 解：过点D作DE⊥AB于点E

在Rt△ADE中，∠ADE=45°，
∴AE=DE=BC=40米，
在Rt△ABC中,∠ACB=60°，
则AB=BCtan60°==40×1.732≈69.3
∴CD=BE=AB-AE=−30≈29.3
答：两个建筑物AB的高为69.3米，CD的高为29.3米
  

【分析】根据已知条件可知△ADE是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可知DE=AE，再在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AB的长，然后由CD=BE=AB-AE可求出CD的长。

四、综合题

11. （1）解:过点B作BO⊥DE，垂足为O， 

则四边形ABOE是矩形，∠OBD=150°-90°=60°，

∴DO=BD·sin 60°=40×sin 60°=20 ，

∴OE= DO+OE=DO+AB=20 +5≈39.6 cm.

（2）解:下降了。 

如图2，过点D作DF⊥l于点F，

过点C作CP⊥DF于点P，

过点B作BG⊥DF于点G，

被点C作CH⊥BG于点H，

则四边形PCHG为矩形，

∵∠CBH=60°，∴∠BCH=30°，

又∵∠BCD=165，∴∠DCP=45°，

∴CH=BCsin 60°=10 ，DP=CDsin 45°=10 .

∴DF=DP+PG+GF=DP+CH+AB

=10 +10 +5.

∴下降高度，DE-DF=20 +5-10 -10 -5

=10 -10

≈3.2cm.

【分析】（1）过点B作BO⊥DE于点O，将要解决的问题转化到直角三角形中，易证四边形ABOE是矩形，利用矩形的性质，可得到OB=AE，AB=OE，利用解直角三角形求出DO，再根据DE=DO+OE求出DE的长。
（2）过点B作BG⊥DF，过点C作CH⊥BG，CP⊥DF，将此问题转化到直角三角形和矩形中，根据已知条件分别求出∠BCH、∠DCP的度数，然后在两个直角三角形，利用解直角三角形求出CH、DP的长，从而可求出DF，然后求出下降的高度即DE-DF的值即可。

12. （1）解：过点F作FG⊥EC于G， 

依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90o

∴四边形DEFG是矩形

∴FG＝DE

在Rt△CDE中，

DE＝CE·tan∠DCE

=6×tan30o=2 （米）

∴点F到地面的距离为2 米

（2）解：∵斜坡CFi＝1：1.5 

∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2 ×1.5＝3

∴FD＝EG＝3 +6

在Rt△BCE中，

BE＝CE·tan∠BCE=6×tan60o＝6

∴AB=AD+DE-BE

=3 +6+2 -6 =6- ≈4.3(米)

答：宣传牌的高度约为4.3米。

【分析】（1）根据平行线间的垂直线段相等，点F到直线CE的距离转化成D到直线CE的距离，Rt△DCE的CE边和∠DCE已知，用三角函数可求DE的长度，即F到直线CE的距离转化成D到直线CE的距离。
（2）要求广告牌的高度AB，只要求出AD和BE的长，因为 AB=AD+DE-BE 。欲求AD的长，只要求FD的长，FD=EC+CG，EC已知，只要求CG，现知FG的长和FC的坡度，则CG可求。回求FD和AD。在△BCE中，现知CE和∠BCE，用三角函数可求BE。最后代入AB的关系式即可求。