初中数学华师大版九年级上册24.4 解直角三角形单元测试当堂达标检测题

这是一份初中数学华师大版九年级上册24.4 解直角三角形单元测试当堂达标检测题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，AC＝2 eq \r(3)，则BC＝( )
A．2 eq \r(6) B．2 C．4 eq \r(3) D．6
2．用计算器求cs 15°的值，正确的按键顺序是( )
A.eq \x(cs)eq \x(1)eq \x(5)eq \x(＝) B.eq \x(SHIFT)eq \x(cs)eq \x(1)eq \x(5)eq \x(＝)
C.eq \x(SHIFT)eq \x(1)eq \x(5)eq \x(＝) D.eq \x(15)eq \x(cs)eq \x(＝)
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，D为AC的中点，BD＝2，则BC的长为( )
A.eq \r(3) B．2 eq \r(3) C．2 D．4
(第3题) (第4题)
4．如图，一架3 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上，M为AB的中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，OM的长度将( )
A．变大 B．变小 C．不变 D．先变大后变小
5. 如图是我们经常看到的一种折叠桌子的示意图，它是由下面的支架AD，BC与桌面构成的，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20 eq \r(3) cm，∠COD＝60°，则点A到地面(CD所在的平面)的距离是( )
(第5题)
A．30 eq \r(3) cm B．60 eq \r(3) cm C．40 eq \r(3) cm D．60 cm
6．在△ABC中，∠B，∠C都是锐角，tan B＝1，cs C＝eq \f(\r(2),2)，则对△ABC的形状最确切的判断是( )
A．锐角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
7．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且有c2＋4b2－4bc＝0，则sin A＋cs A的值为( )
A.eq \f(\r(3)－1,2) B.eq \f(1＋\r(3),2) C.eq \f(1＋\r(2),2) D.eq \f(\r(3)＋\r(2),2)
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点F是AB的中点，连结CF，将线段CF沿射线BC方向平移到ED，且点D在AC上，则线段CF在平移过程中扫过的区域(四边形CFDE)的周长和面积分别是( )
(第8题)
A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16
二、填空题(每题3分，共18分)
9．如果α是锐角，sin α＝cs 30°，那么α为________．
10．将一把直尺与一把三角尺按如图所示的方式放置，若sin∠1＝eq \f(\r(2),2)，则∠2的度数为________．
(第10题) (第11题)
(第12题) (第14题)
11．如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则cs ∠BAC的值为______．
12．如图，一束光线照在坡度i＝1 eq \r(3)的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是________度．
13．若三角形两边长分别为6和8，这两边的夹角为60°，则其面积为________．
14．如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，AP＝______________．
三、解答题(15，16题每题8分，17～19题每题10分，20题12分，共58分)
15．计算：
(1)eq \f(tan260°＋2cs 45°,2sin260°－cs 60°)； (2)2tan 30°＋tan 45°－4cs 30°.
16．(1)在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8，求AB和AC的长；
(2)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝eq \r(6)，AC＝3 eq \r(2)，解这个直角三角形．
17．如图，某人为了测量小山顶上的塔DE的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进48 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为37°，求塔DE的高度.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(结果保留根号，参考数据：sin 37°≈\f(3,5)，cs 37°≈\f(4,5)，tan 37°≈\f(3,4)))
(第17题)
18．如图①，某款线上教学设备由底座、支撑臂AB、连杆BC、悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝18 cm，BC＝40 cm，CD＝44 cm，固定∠ABC＝148°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果．
(1)当悬臂CD与桌面l平行时，∠BCD＝________°；
(2)问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？
(3)已知摄像头点D到桌面l的距离为30 cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？(参考数据：sin 58°≈0.85，cs 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)
(第18题)
19．为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170 m处，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，BD长为100 m，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向．
(1)求步道DE的长度；
(2)点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D，他走哪条路较近？请说明理由．(结果精确到个位，参考数据：sin 58°≈0.85，cs 58°≈0.53，tan 58°≈1.60，eq \r(3)≈1.73)
(第19题)
20．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA＝8，OC＝4，点P为对角线AC上一动点，过点P作PQ⊥PB，PQ交x轴于点Q.
(1)tan ∠ACB＝________；
(2)在点P从点C运动到点A的过程中，eq \f(PQ,PB)的值是否发生变化？如果发生变化，请求出其变化范围；如果不发生变化，请求出其值；
(3)若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，请直接写出PC的长．
(第20题)
答案
一、1.B 2.A 3.C 4.C 5.D 6.B 7.B
8．C 点拨：由平移的性质可知DF∥CE，DF＝CE，
∴四边形CFDE是平行四边形．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝eq \r(AB2－BC2)＝eq \r(102－62)＝8.
∵点F是AB的中点，∴CF＝AF＝eq \f(1,2)AB＝5.
∵DF∥CE，∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AF,AB)＝eq \f(1,2)，∠CDF＝180°－∠ACB＝90°，∴点D是AC的中点，CD＝eq \f(1,2)AC＝4，
∴DF是△ABC的中位线，∴DF＝eq \f(1,2)BC＝3.
∴四边形CFDE的周长为2(DF＋CF)＝2×(3＋5)＝16，
四边形CFDE的面积为DF·CD＝3×4＝12.
二、9.60° 10.135° 11.eq \f(\r(2),2) 12.30 13.12 eq \r(3)
14．3或3 eq \r(3)或3 eq \r(7)
三、15.解：(1)原式＝eq \f(（\r(3)）2＋2×\f(\r(2),2),2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)－\f(1,2))＝eq \f(3＋\r(2),\f(3,2)－\f(1,2))＝3＋eq \r(2).
(2)原式＝2×eq \f(\r(3),3)＋1－4×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(2 \r(3),3)＋1－2 eq \r(3)
＝1－eq \f(4 \r(3),3).
16．解：(1)在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8，
∴AB＝eq \f(BC,sin 60°)＝eq \f(8,\f(\r(3),2))＝eq \f(16 \r(3),3)，AC＝eq \f(BC,tan 60°)＝eq \f(8,\r(3))＝eq \f(8 \r(3),3).
(2)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝eq \r(6)，AC＝3 eq \r(2)，
∴tan A＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(\r(6),3 \r(2))＝eq \f(\r(3),3)，∴∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝2 eq \r(6)，∠B＝90°－∠A＝60°.
17．解：由题意知∠BCD＝90°，∠EBC＝37°，∠A＝45°，∠DBC＝60°.设BC＝x m，在Rt△BCE中，EC＝BC·tan ∠EBC＝BC·tan 37°≈eq \f(3,4)x m，在Rt△BCD中，DC＝BC·tan ∠DBC＝BC·tan 60°＝eq \r(3)x m．∵∠A＝45°，∴易得AC＝CD，∴x＋48＝eq \r(3)x，解得x＝24＋24 eq \r(3)，∴EC≈(18＋18 eq \r(3))m，DC＝(72＋24 eq \r(3))m，
∴DE＝DC－EC≈(72＋24 eq \r(3))－(18＋18 eq \r(3))
＝54＋6 eq \r(3)(m)．
答：塔DE的高度约为(54＋6 eq \r(3))m.
18．解：(1)58
(2)如图，过点C作CF⊥l，垂足为点F，过点B作BN⊥CF，垂足为点N，则易得四边形ABNF是矩形，
∴FN＝AB＝18 cm，∠ABN＝90°.
∵∠ABC＝148°，∴∠CBN＝∠ABC－∠ABN＝148°－90°＝58°，在Rt△CBN中，BC＝40 cm，
∴CN＝40·sin 58°≈40×0.85＝34(cm)，
∴CF＝CN＋FN≈34＋18＝52(cm)，
∴悬臂端点C到桌面l的距离约为52 cm.
(第18题)
(3)如图，过点D作DE⊥l，垂足为点E，过点D作DM⊥CF，垂足为点M，则易得四边形DEFM是矩形，
∴MF＝DE.由题意得DE＝30 cm，∴MF＝30 cm，
∴CM＝CF－MF≈52－30＝22(cm)，
在Rt△CDM中，CD＝44 cm，CM≈22 cm，
∴cs ∠DCM＝eq \f(CM,CD)≈eq \f(1,2)，∴∠DCM≈60°.
在Rt△CBN中，∵∠CBN＝58°，∴∠BCN＝32°，
∴∠BCD＝∠DCM－∠BCN≈60°－32°＝28°.∴此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为28°.
19．解：(1)如图，过点D作DF⊥AE，交AE的延长线于点F.
(第19题)
由题易得四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝170 m，
在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，∴DE＝eq \f(DF,sin 58°)≈eq \f(170,0.85)＝200(m)，∴步道DE的长度约为200 m.
(2)从点A出发，经过点B到达点D的路较近．
理由：在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，DF＝170 m，
∴EF＝eq \f(DF,tan 58°)≈eq \f(170,1.60)＝106.25(m)．
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°－30°＝60°，AC＝170 m，
∴BC＝AC·tan 60°＝170 eq \r(3) m，
AB＝eq \f(AC,cs 60°)＝eq \f(170,\f(1,2))＝340(m)．
∵BD＝100 m，
∴CD＝BC＋BD＝(170 eq \r(3)＋100)m.
∵四边形ACDF是矩形，
∴AF＝CD＝(170 eq \r(3)＋100)m，
∴AE＝AF－EF≈170 eq \r(3)＋100－106.25≈288(m)．
因此，某人从点A出发，经过点B到达点D的路程为AB＋BD＝340＋100＝440(m)，从点A出发，经过点E到达点D的路程为AE＋DE≈288＋200＝488(m)．
∵440＜488，
∴从点A出发，经过点B到达点D的路较近．
20．解：(1)eq \f(1,2)
(2)eq \f(PQ,PB)的值不发生变化．
过点P作PF⊥OA于点F，反向延长PF交BC于点E，∴PE⊥BC，∴易得四边形OFEC是矩形，
∴EF＝OC＝4.设PE＝a，则PF＝EF－PE＝4－a.
在Rt△CEP中，tan∠ACB＝eq \f(PE,CE)＝eq \f(1,2)，
∴CE＝2PE＝2a.
∴BE＝BC－CE＝8－2a＝2(4－a)．
∵PQ⊥PB，
∴∠BPE＋∠FPQ＝90°.
∵∠BPE＋∠EBP＝90°，
∴∠FPQ＝∠EBP.
∵∠PFQ＝∠BEP＝90°，
∴△PFQ∽△BEP，
∴eq \f(PQ,PB)＝eq \f(PF,BE).
又∵PF＝4－a，BE＝2(4－a)，∴eq \f(PQ,PB)＝eq \f(4－a,2（4－a）)＝eq \f(1,2).
(3)PC＝eq \f(12 \r(5),5).
题序
1
2
3
4
5
6
7
8
答案