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数学九年级上册24.4 解直角三角形优秀随堂练习题
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这是一份数学九年级上册24.4 解直角三角形优秀随堂练习题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，M是AD的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则当A′C取得最小值时，则∠DCA′的正弦值为( )
A. 3B. 2114C. 2 7−2D. 35
2.小宇和小轲两位同学准备利用所学数学知识对勖艾亭的高度进行测量.他们在临时搭建的一个坡度为12：5的钢板斜坡上的F点测得亭顶A点的仰角为13°，F点到地面的垂直高度FG=1.8米，从钢板斜坡底的E点向前走16.2米到D点，测得亭前阶梯CD的长度为2.5米，坡度为3：4.C点到亭中心O点的距离为1米.根据测量结果，勖艾亭的高度AO大约为米．( )
(参考数据：sin13°≈0.22，cs13°≈0.97，tan13°≈0.23，A，B，C，D，E，F，G各点均在同一平面内)
A. 4.9B. 4.6C. 6.4D. 6.1
3.如图，△OAB是某大桥主塔的正面示意图，OA=OB=a(m)，∠OAB=70°，则桥面宽度AB(单位：m)是
( )
A. 12a⋅sin70∘B. 12a⋅cs70∘C. a·cs 70°D. 2a·cs 70°
4.如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆BC= 2a，AB=b，AB的最大仰角为α.当∠C=45°时，则点A到桌面的最大高度是( )
A. a+bcsα
B. a+bsinα
C. a+bcsα
D. a+bsinα
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10,4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE=43.若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为( )
A. y=3x
B. y=−34x+152
C. y=−2x+11
D. y=−2x+12
6.如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30∘，45∘，如果此时热气球的高度CD为100m，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点之间的距离是
( )
A. 200mB. 200 3mC. 220 3mD. 100( 3+1)m
7.某停车场入口栏杆如图，栏杆从水平位置AB绕点O旋转到CD的位置，已知AO=a，若栏杆的旋转角∠BOC=36°，则栏杆端点A上升的垂直高度DE的长为( )
A. asin36°
B. acs36°
C. asin36∘
D. atan36°
8.如图，平行四边形ABCD中，对角线为AC，且AC⊥CD，以点B为圆心，以适当长度为半径作弧，交AB、BC于点M、N两点，再分别以M、N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP分别交AC、AD于QE，若AB=1，BC= 2，则AQ的长度为( )
A. 2B. 32C. 2−1D. 5−12
9.如图，在给出网格中，小正方形的边长为1，点A，B，O都在格点上，则cs∠OAB=( )
A. 55B. 510C. 2 55D. 12
10.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30∘、45∘，如果此时热气球C处的高度CD为100m，点A、D、B在同一直线上，CD⊥AB，则A、B两点的距离是( )
A. 200mB. 200 3mC. 200( 3+1)mD. 100( 3+1)m
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度为1： 3，坝高BC=3m，则AB的长度为______ ．
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，若点O是△ABC的重心，则cs∠OBC= ______ ．
13.将一个三角形经过放大后得到另一个三角形，如果所得三角形在原三角形的外部，这两个三角形各对应边平行且距离都相等，那么我们把这样的两个三角形叫做“等距三角形”，它们对应边之间的距离叫做“等距”.如果两个等边三角形是“等距三角形”，它们的“等距”是1，那么它们周长的差是 ．
14.如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A(3,0)，B(0,4)，点C在x轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC=2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为______ ；点D的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.(本小题8.0分)
在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．(结果精确到0.1)
(参考数据sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cs67°≈0.39，tan67°≈2.36)
16.(本小题8.0分)
如图，小明与小颖在6×6的小正方形网格中画出格点△ABC(格点指小正方形的顶点)，小正方形的边长为1.此时，细心的小颖发现利用网格可以提出下列问题，请你帮助小明解答小颖提出的问题：
(1)求sinA和tanB的值；
(2)在网格中存在格点△ADE∽△ABC，且△ADE与△ABC不全等，同一位置的格点△ADE只算一个，则符合条件的格点△ADE一共有______ 个.
17.(本小题8.0分)
热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部俯角为60°，热气球A处与地面距离为420米，求这栋楼的高度．
18.(本小题8.0分)
如图，从空中C点测得两建筑物A，B底部的俯角分别为37°和53°.如果测得C与B之间的距离为152m，且点A，B，D在同一直线上.(结果取整数)
(Ⅰ)求C点距地面的高度CD的值；
(Ⅱ)求建筑物A，B间的距离．
(参考值：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈34，sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈43)
19.(本小题8.0分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，AC=4，OE=2.求OD的长及tan∠EDO的值．
20.(本小题8.0分)
如图所示，为了知道楼房CP外墙上一广告屏的高度GH是多少，某数学活动小组利用测角仪和米尺等工具进行如下操作：在A处测得∠GDF=30°，在B处测得∠HEF=50°，点A、B、C共线，AC⊥CP于点C，DF⊥CP于点F，AB为20米，BC=30米，测角仪的高度(AD、BE)为1.3米，根据测量数据，请求出GH的值.(结果精确到0.1米，参考数据： 3≈1.73，sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：如图，过M作MF⊥CD交CD的延长线于F，
∵菱形ABCD中，AB=BC=4，∠A=60°，
∴AD=BC=CD=AB=4，∠ADC=∠ABC=180°−∠A=120°，
∴∠MDF=60°，
∵M是AD边的中点，
∴AM=DM=12AD=2，
由折叠的性质可得MA′=MA=2，
∵A′C≥MC−MA′，
∴当A′在MC上时，A′C取得最小值，
∵∠FMD=90°−∠MDF=30°，
∴FD=12MD=1，
∴FM= DM2−DF2= 3，CF=CD+CF=5，
∴在Rt△MFC中，CM= FM2+CF2=2 7，
∴sin∠DCA′=MFCM= 32 7= 2114，
故选：B．
过M作MF⊥CD交CD的延长线于F，根据MA′=MA为定值，可知当A′在MC上时，A′C取得最小值，结合勾股定理，问题随之得解．
本题考查了菱形的性质、折叠问题、勾股定理和解直角三角形等知识点，找出A′所在位置是解答本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：由题意可知，∠AFM=13°，CD=的坡比是3：4，EF的坡比是12：5，FG=1.8，DE=16.2，MF//NG，ON⊥NG，CH⊥NG，FG⊥NG，OC=NH=1(米)，
∴四边形MNGF是矩形，
∴FM=NG，
在Rt△CDH中，设CH=3x，DH=4x，
∴CD=2.5，
∴(3x)2+(4x)2=2.52，
∴x=0.5，
∴DH=2(米)，CH=1.5(米)，
在Rt△EFG中，FGEG=125，FG=1.8，
∴1.8EG=125，
∴EG=0.75(米)，
∴FM=GN=EG+DE+DH+NH=19.95(米)，
在Rt△AMF中，tan∠AFM=AMFM=tan13°，
∴AM≈19.95×0.23=4.5885(米)，
∴AO=AM+MO=AM+(FG−CH)≈4.9(米)，
故选：A．
由题意可知四边形MNGF是矩形，在Rt△CDH中，根据勾股定理求得DH=2(米)，在Rt△EFG中，根据条件可求得EG=0.75(米)，进而求出FM=19.95(米)，在Rt△AMF中，根据三角函数的定义求出AM=4.6(米)，进而可求出AO．
本题主要考查了解直角三角形的应用，找出适当的直角三角形是解决问题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：过点O作OC⊥AB于点C，
∵OA=OB，
∴AC=BC=12AB，
在Rt△OAC中，
OA=a，∠OAB=70°，
∵cs∠OAB=ACOA，
∴AC=OAcs∠OAB=a⋅cs70°，
∴AB=2AC=2a⋅cs70°，
故选：D．
过点O作OC⊥AB于点C，在Rt△OAC中，利用三角函数求出AC，再利用等腰三角形性质即可求出AB．
本题考查解直角三角形的应用，解答时涉及等腰三角形性质，解题的关键是构造直角三角形，熟记三角函数定义．
4.【答案】D
【解析】解：如图，过点A作AF⊥BE于F，过点B作BG⊥CD于G，
在Rt△ABF中，AF=AB⋅sinα=bsinα，
在Rt△BCG中，BG=BC⋅sin45°= 2a× 22=a，
∴点A到桌面的最大高度=BG+AF=a+bsinα，
故选：D．
过点A作AF⊥BE于F，过点B作BG⊥CD于G，利用解直角三角形可得AF=bsinα，BG=a，根据点A到桌面的最大高度=BG+AF，即可求得答案
本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形解决问题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
分别求出矩形OABC和菱形ABEF的中心的坐标，利用待定系数法求经过两中心的直线解析式即可得出结论．
【解答】
解：如图所示，连接OB，AC，设它们交于点M，连接AE，BF，设它们交于点N，作直线MN，则直线MN即为符合条件的直线l．
∵四边形OABC是矩形，
∴OM=BM．
∵点B的坐标为(10,4)，
∴M(5,2)，AB=10，BC=4．
∵四边形ABEF为菱形，
∴BE=AB=10．
过点E作EG⊥AB于点G，
在Rt△BEG中，∵tan∠ABE=43，
，
设EG=4k，则BG=3k，
，
∴5k=10，
∴k=2，
∴EG=8，BG=6，
∴AG=AB−BG=10−6=4．
∴E(4,12)．
∵点B的坐标为(10,4)，AB//x轴，
∴A(0,4)．
∵点N为AE的中点，
∴N(2,8)．
设直线l的解析式为y=ax+b，
将点M，N的坐标代入，得
解得：
∴直线l的解析式为y=−2x+12．
故选：D．
【点评】
本题主要考查了矩形和菱形的性质，中点坐标的特征，锐角三角函数，待定系数法求一次函数解析式等知识，找出直线MN和点M，N的坐标是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查解直角三角形的应用．
根据平行线的性质可得∠A=∠ACE=30°，∠B=∠BCF=45°，再分别解直角三角形求出AD和BD即可．
【解答】
解：∵AB//EF，
∴∠A=∠ACE=30°，∠B=∠BCF=45°，
又∵CD=100m，
∴AC=200m，BD=CD=100m，
∴AD=100 3m，
∴AB=100( 3+1)m．
7.【答案】A
【解析】解：如图：过点D作DE⊥AO，垂足为E，
由题意得：OA=OD=a，∠BOC=∠AOD=36°，
在Rt△DOE中，DE=OD⋅sin36°=asin36°，
∴栏杆端点A上升的垂直高度DE的长为asin36°，
故选：A．
过点D作DE⊥AO，垂足为E，根据题意可得：OA=OD=a，∠BOC=∠AOD=36°，然后在Rt△DOE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】【解析】由作图痕迹可知BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，
又∵AD//BC，∴∠AEB=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE∴AB=AE=1，
在Rt△ABC中，cs∠ABC= 22，
∴∠ABC=45∘，
∴AB=AC=1，
∵AD//BC，∴AE:BC=AQ:QC，
设AQ=x得x1−x=1 2，
解得：x= 2−1，故选：C．
9.【答案】C
【解析】解：过点O作OE⊥AB于E．
∵OA= 22+42=2 5，
∴cs∠OAB=AEAO=42 5=2 55，
故选：C．
过点O作OE⊥AB于E.利用勾股定理求出OA，可得结论．
本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°可求出∠BCD与∠ACD的度数，再求出AD与BD的长，根据AB=AD+BD即可得出结论．
【解答】
解：∵从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，
∴∠BCD=90°−45°=45°，∠ACD=90°−30°=60°，
∵CD⊥AB，CD=100m，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD=100m，
在Rt△ACD中，
∵CD=100m，∠ACD=60°，
∴AD=CD⋅tan60°=100× 3=100 3m，
∴AB=AD+BD=100 3+100=100( 3+1)m．
11.【答案】6m
【解析】解：∵迎水坡AB的坡比为1： 3，
∴BCAC=1 3，即3AC=1 3，
解得，AC=3 3，
由勾股定理得，AB= BC2+AC2=6(m)，
故答案为：6m．
根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．
12.【答案】 22
【解析】解：如图，连接BO并延长交AC于E，
∵点O是△ABC的重心，
∴AC=2AE=2CE．
∵AC=2BC，
∴BC=CE，
∵∠C=90°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴∠CBE=45°，cs∠OBC=cs45°= 22．
故答案为： 22．
连接BO并延长交AC于E，根据重心的定义可知AC=2CE，可证△BCE为等腰直角三角形，最后根据锐角三角函数的定义进行求解．
本题考查了锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的判定与性质和三角形重心的知识点，解答本题的关键是掌握重心的定义和锐角特殊角的三角函数值．
13.【答案】6 3
【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质、解直角三角形，画出图形，利用等边三角形的性质得出直角三角形的较小的锐角是30°，那么它对边等于斜边的一半，然后解直角三角形即可得出答案．
【解答】
解：如图，
由题意可得四边形ABED是矩形，
∴AD=BE，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，∠ACB=30°，
∴BC=ABtan30°= 3，
同理FE= 3，
所以这两个等边三角形的周长差为：3(BC+EF)=6 3，
故答案为6 3．
14.【答案】(−2,0) (−1−2 3,2+ 3)或(−1+2 3,2− 3)
【解析】解：过点C作CE⊥AB于E，如图：
∵点A(3,0)，B(0,4)，
由两点间的距离公式得：AB= (3−0)2+(0−4)2=5，
设BE=t，
∵tan∠ABC=2，
在Rt△BCE中，tan∠ABC=CEBE，
∴CEt=2，
∴CE=2t，
由勾股定理得：BC= BE2+CE2= 5t，
∵CE⊥AB，OB⊥AC，AC=OC+OA=3+OC，
∴S△ABC=12AC⋅OB=12AB⋅CE，
即：5×2t=4×(3+OC)，
∴OC=52t−3，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC2−OB2=OC2，
即( 5t)2−42=(52t−3)2，
整理得：t2−12t+20=0，
解得：t1=2，t2=10(不合题意，舍去)，
∴t=2，此时OC=52t−3=2，
∴点C的坐标为(−2,0)，
设点D的坐标为(m,n)，
由两点间的距离公式得：BC2=(−2−0)2+(0−4)2=20，BD2=(m−0)2+(n−4)2，CD2=(m+2)2+(n−0)2，
∵△BCD为等边三角形，
∵BD=CD=BC，
∴(m−0)2+(n−4)2=20(m+2)2+(n−0)2=20，
整理得：m2+n2−8n=4①m2+n2+4m=16②，
②−①得：4m+8n=12，
∴m=3−2n，
将m=3−2n代入①得：(3−2n)2+n2−8n=4，
整理得：n2−4n+1=0，
解得：n=2± 3，
当n=2+ 3时，m=3−2n=−1−2 3，
当n=2− 3时，m=3−2n=−1+2 3，
∴点D的坐标为(−1−2 3,2+ 3)或(−1+2 3,2− 3)．
故答案为：(−2,0)；(−1−2 3,2+ 3)或(−1+2 3,2− 3)．
过点C作CE⊥AB于E，先求处AB=5，再设BE=t，由tan∠ABC=2得CE=2t，进而得BC= 5t，由三角形的面积公式得S△ABC=12AC⋅OB=12AB⋅CE，即5×2t=4×(3+OC)，则OC=52t−3，然后在Rt△BOC中由勾股定理得( 5t)2−42=(52t−3)2，由此解出t1=2，t2=10(不合题意，舍去)，此时OC=52t−3=2，故此可得点C的坐标；设点D的坐标为(m,n)，由两点间的距离公式得：BC2=20，BD2=(m−0)2+(n−4)2，CD2=(m+2)2+(n−0)2，由△BCD为等边三角形得(m−0)2+(n−4)2=20(m+2)2+(n−0)2=20，整理：m2+n2−8n=4①m2+n2+4m=16②，②−①整理得m=3−2n，将m=3−2n代入①整理得n2−4n+1=0，解得n=2± 3，进而再求出m即可得点D的坐标．
此题主要考查了点的坐标，锐角三角函数，等边三角形的性质，三角形的面积公式，理解题意，熟练掌握正切函数的定义，灵活运用勾股定理及两点间的距离公式构造方程组是解答此题的关键
15.【答案】解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，
由题意得，EC=20，∠AEM=67°，∠AFN=40°，CB=DB=EM=FN，AB=60，
∴AM=AB−MB=60−20=40，
在Rt△AEM中，
∵tan∠AEM=AMEM，
∴EM=AMtan∠AEM=40tan67∘≈16.9，
在Rt△AFN中，
∵tan∠AFN=ANFN，
∴AN=tan40°×16.9≈14.2，
∴FD=NB=AB−AN=60−14.2=45.8，
答：2号楼的高度约为45.8米．
【解析】本题考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是常用的方法，掌握边角关系是正确解答的关键．
通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，分别求出EM，AN，进而计算出2号楼的高度DF即可．
16.【答案】6
【解析】解：(1)如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥AC于点N．
∵AB=AC= 22+42=2 5，AM⊥CB，
∴BM=CM= 2，AM=3 2，
∵12⋅BC⋅AM=12⋅AC⋅BN，
∴BN= 2×3 22 5=3 55，
∴sin∠BACA=BNAB=3 552 5=310，tan∠ABC=AMBM=3；
(2)所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个．
故答案为：6．
(1)过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥AC于点N.利用面积法求出BN，再根据三角函数的定义求解即可；
(2)根据网格画出使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)的格点三角形即可．
本题考查作图−应用与设计作图，勾股定理，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17.【答案】解：过A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=30°，AD=420米，
∴CD=AD⋅tan30°=420× 33=140 3(米)，
∴AE=CD=140 3米．
在Rt△ABE中，
∵∠BAE=30°，AE=140 3米，
∴BE=AE⋅tan30°=140 3× 33=140(米)，
∴BC=AD−BE=420−140=280(米)，
答：这栋楼的高度为280米．
【解析】本题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，在此类题目中常用的方法是利用作高线转化为直角三角形进行计算．
过A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，先解Rt△ACD，求出CD的长，则AE=CD，再解Rt△ABE，求出BE的长，然后根据BC=AD−BE即可得到这栋楼的高度．
18.【答案】解：(Ⅰ)在Rt△DBC中，∠DBC=53°，BC=152，∠BDC=90°，
∴sin∠DBC=CDBC=CD152=sin53°≈0.8，
解得CD≈152×0.8=121.6≈122(m)，
答：求C点距地面的高度CD的值约122m；
(Ⅱ)在Rt△DBC中，∠DBC=53°，BC=152，∠BDC=90°，
∴cs∠DBC=BDBC=BD152=cs53°=0.6，
解得BD≈152×0.6=91.2(m)，
在Rt△ADC中，∠DAC=37°，CD≈121.6，∠ADC=90°，
∴tan∠DBC=CDAD=tan37°≈43，
∴AD≈121.6÷34=162.1(m)，
∴AB=AD+BD≈162.1+91.2≈253(m)．
答：AB之间的距离约为253m．
【解析】(Ⅰ)在Rt△DBC中，∠DBC=53°，BC=152，∠BDC=90°，解直角三角形即可；
(Ⅱ)分别求出AD、BD即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是正确寻找直角三角形，利用三角函数的定义解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=12AC，
∵AC=4，
∴OA=2，
∵E是AD中点，
∴OE=12AD，
∵OE=2，
∴AD=4，
∴OD= AD2−OA2= 42−22=2 3，
∴tan∠EDO=AOOD=22 3= 33．
【解析】由菱形的性质得到AC⊥BD，OA=12AC=2，由直角三角形的性质求出AD=4，由勾股定理求出OD=2 3，由锐角的正切求出tan∠EDO= 33．
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，解直角三角形，关键是应用菱形的性质求出OA的长，由直角三角形斜边中线的性质得到AD的长，由勾股定理求出OD的长，由正切定义即可求出tan∠EDO．
20.【答案】解：由题意得：EF=BC=30米，DF=AC=AB+BC=50(米)，
在Rt△EHF中，∠HEF=50°，
∴HF=EF⋅tan50°≈30×1.19=35.7(米)，
在Rt△DFG中，∠GDF=30°，
∴FG=DF⋅tan30°=50× 33=50 33(米)，
∴HG=FH−FG=35.7−50 33≈6.9(米)，
∴GH的值约为6.9米．
【解析】根据题意可得：EF=BC=30米，DF=AC=AB+BC=50(米)，然后在Rt△EHF中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，再在Rt△DFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，M是AD的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则当A′C取得最小值时，则∠DCA′的正弦值为( )
A. 3B. 2114C. 2 7−2D. 35
2.小宇和小轲两位同学准备利用所学数学知识对勖艾亭的高度进行测量.他们在临时搭建的一个坡度为12：5的钢板斜坡上的F点测得亭顶A点的仰角为13°，F点到地面的垂直高度FG=1.8米，从钢板斜坡底的E点向前走16.2米到D点，测得亭前阶梯CD的长度为2.5米，坡度为3：4.C点到亭中心O点的距离为1米.根据测量结果，勖艾亭的高度AO大约为米．( )
(参考数据：sin13°≈0.22，cs13°≈0.97，tan13°≈0.23，A，B，C，D，E，F，G各点均在同一平面内)
A. 4.9B. 4.6C. 6.4D. 6.1
3.如图，△OAB是某大桥主塔的正面示意图，OA=OB=a(m)，∠OAB=70°，则桥面宽度AB(单位：m)是
( )
A. 12a⋅sin70∘B. 12a⋅cs70∘C. a·cs 70°D. 2a·cs 70°
4.如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆BC= 2a，AB=b，AB的最大仰角为α.当∠C=45°时，则点A到桌面的最大高度是( )
A. a+bcsα
B. a+bsinα
C. a+bcsα
D. a+bsinα
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10,4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE=43.若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为( )
A. y=3x
B. y=−34x+152
C. y=−2x+11
D. y=−2x+12
6.如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30∘，45∘，如果此时热气球的高度CD为100m，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点之间的距离是
( )
A. 200mB. 200 3mC. 220 3mD. 100( 3+1)m
7.某停车场入口栏杆如图，栏杆从水平位置AB绕点O旋转到CD的位置，已知AO=a，若栏杆的旋转角∠BOC=36°，则栏杆端点A上升的垂直高度DE的长为( )
A. asin36°
B. acs36°
C. asin36∘
D. atan36°
8.如图，平行四边形ABCD中，对角线为AC，且AC⊥CD，以点B为圆心，以适当长度为半径作弧，交AB、BC于点M、N两点，再分别以M、N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP分别交AC、AD于QE，若AB=1，BC= 2，则AQ的长度为( )
A. 2B. 32C. 2−1D. 5−12
9.如图，在给出网格中，小正方形的边长为1，点A，B，O都在格点上，则cs∠OAB=( )
A. 55B. 510C. 2 55D. 12
10.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30∘、45∘，如果此时热气球C处的高度CD为100m，点A、D、B在同一直线上，CD⊥AB，则A、B两点的距离是( )
A. 200mB. 200 3mC. 200( 3+1)mD. 100( 3+1)m
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度为1： 3，坝高BC=3m，则AB的长度为______ ．
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，若点O是△ABC的重心，则cs∠OBC= ______ ．
13.将一个三角形经过放大后得到另一个三角形，如果所得三角形在原三角形的外部，这两个三角形各对应边平行且距离都相等，那么我们把这样的两个三角形叫做“等距三角形”，它们对应边之间的距离叫做“等距”.如果两个等边三角形是“等距三角形”，它们的“等距”是1，那么它们周长的差是 ．
14.如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A(3,0)，B(0,4)，点C在x轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC=2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为______ ；点D的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.(本小题8.0分)
在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．(结果精确到0.1)
(参考数据sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cs67°≈0.39，tan67°≈2.36)
16.(本小题8.0分)
如图，小明与小颖在6×6的小正方形网格中画出格点△ABC(格点指小正方形的顶点)，小正方形的边长为1.此时，细心的小颖发现利用网格可以提出下列问题，请你帮助小明解答小颖提出的问题：
(1)求sinA和tanB的值；
(2)在网格中存在格点△ADE∽△ABC，且△ADE与△ABC不全等，同一位置的格点△ADE只算一个，则符合条件的格点△ADE一共有______ 个.
17.(本小题8.0分)
热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部俯角为60°，热气球A处与地面距离为420米，求这栋楼的高度．
18.(本小题8.0分)
如图，从空中C点测得两建筑物A，B底部的俯角分别为37°和53°.如果测得C与B之间的距离为152m，且点A，B，D在同一直线上.(结果取整数)
(Ⅰ)求C点距地面的高度CD的值；
(Ⅱ)求建筑物A，B间的距离．
(参考值：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈34，sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈43)
19.(本小题8.0分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，AC=4，OE=2.求OD的长及tan∠EDO的值．
20.(本小题8.0分)
如图所示，为了知道楼房CP外墙上一广告屏的高度GH是多少，某数学活动小组利用测角仪和米尺等工具进行如下操作：在A处测得∠GDF=30°，在B处测得∠HEF=50°，点A、B、C共线，AC⊥CP于点C，DF⊥CP于点F，AB为20米，BC=30米，测角仪的高度(AD、BE)为1.3米，根据测量数据，请求出GH的值.(结果精确到0.1米，参考数据： 3≈1.73，sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：如图，过M作MF⊥CD交CD的延长线于F，
∵菱形ABCD中，AB=BC=4，∠A=60°，
∴AD=BC=CD=AB=4，∠ADC=∠ABC=180°−∠A=120°，
∴∠MDF=60°，
∵M是AD边的中点，
∴AM=DM=12AD=2，
由折叠的性质可得MA′=MA=2，
∵A′C≥MC−MA′，
∴当A′在MC上时，A′C取得最小值，
∵∠FMD=90°−∠MDF=30°，
∴FD=12MD=1，
∴FM= DM2−DF2= 3，CF=CD+CF=5，
∴在Rt△MFC中，CM= FM2+CF2=2 7，
∴sin∠DCA′=MFCM= 32 7= 2114，
故选：B．
过M作MF⊥CD交CD的延长线于F，根据MA′=MA为定值，可知当A′在MC上时，A′C取得最小值，结合勾股定理，问题随之得解．
本题考查了菱形的性质、折叠问题、勾股定理和解直角三角形等知识点，找出A′所在位置是解答本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：由题意可知，∠AFM=13°，CD=的坡比是3：4，EF的坡比是12：5，FG=1.8，DE=16.2，MF//NG，ON⊥NG，CH⊥NG，FG⊥NG，OC=NH=1(米)，
∴四边形MNGF是矩形，
∴FM=NG，
在Rt△CDH中，设CH=3x，DH=4x，
∴CD=2.5，
∴(3x)2+(4x)2=2.52，
∴x=0.5，
∴DH=2(米)，CH=1.5(米)，
在Rt△EFG中，FGEG=125，FG=1.8，
∴1.8EG=125，
∴EG=0.75(米)，
∴FM=GN=EG+DE+DH+NH=19.95(米)，
在Rt△AMF中，tan∠AFM=AMFM=tan13°，
∴AM≈19.95×0.23=4.5885(米)，
∴AO=AM+MO=AM+(FG−CH)≈4.9(米)，
故选：A．
由题意可知四边形MNGF是矩形，在Rt△CDH中，根据勾股定理求得DH=2(米)，在Rt△EFG中，根据条件可求得EG=0.75(米)，进而求出FM=19.95(米)，在Rt△AMF中，根据三角函数的定义求出AM=4.6(米)，进而可求出AO．
本题主要考查了解直角三角形的应用，找出适当的直角三角形是解决问题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：过点O作OC⊥AB于点C，
∵OA=OB，
∴AC=BC=12AB，
在Rt△OAC中，
OA=a，∠OAB=70°，
∵cs∠OAB=ACOA，
∴AC=OAcs∠OAB=a⋅cs70°，
∴AB=2AC=2a⋅cs70°，
故选：D．
过点O作OC⊥AB于点C，在Rt△OAC中，利用三角函数求出AC，再利用等腰三角形性质即可求出AB．
本题考查解直角三角形的应用，解答时涉及等腰三角形性质，解题的关键是构造直角三角形，熟记三角函数定义．
4.【答案】D
【解析】解：如图，过点A作AF⊥BE于F，过点B作BG⊥CD于G，
在Rt△ABF中，AF=AB⋅sinα=bsinα，
在Rt△BCG中，BG=BC⋅sin45°= 2a× 22=a，
∴点A到桌面的最大高度=BG+AF=a+bsinα，
故选：D．
过点A作AF⊥BE于F，过点B作BG⊥CD于G，利用解直角三角形可得AF=bsinα，BG=a，根据点A到桌面的最大高度=BG+AF，即可求得答案
本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形解决问题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
分别求出矩形OABC和菱形ABEF的中心的坐标，利用待定系数法求经过两中心的直线解析式即可得出结论．
【解答】
解：如图所示，连接OB，AC，设它们交于点M，连接AE，BF，设它们交于点N，作直线MN，则直线MN即为符合条件的直线l．
∵四边形OABC是矩形，
∴OM=BM．
∵点B的坐标为(10,4)，
∴M(5,2)，AB=10，BC=4．
∵四边形ABEF为菱形，
∴BE=AB=10．
过点E作EG⊥AB于点G，
在Rt△BEG中，∵tan∠ABE=43，
，
设EG=4k，则BG=3k，
，
∴5k=10，
∴k=2，
∴EG=8，BG=6，
∴AG=AB−BG=10−6=4．
∴E(4,12)．
∵点B的坐标为(10,4)，AB//x轴，
∴A(0,4)．
∵点N为AE的中点，
∴N(2,8)．
设直线l的解析式为y=ax+b，
将点M，N的坐标代入，得
解得：
∴直线l的解析式为y=−2x+12．
故选：D．
【点评】
本题主要考查了矩形和菱形的性质，中点坐标的特征，锐角三角函数，待定系数法求一次函数解析式等知识，找出直线MN和点M，N的坐标是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查解直角三角形的应用．
根据平行线的性质可得∠A=∠ACE=30°，∠B=∠BCF=45°，再分别解直角三角形求出AD和BD即可．
【解答】
解：∵AB//EF，
∴∠A=∠ACE=30°，∠B=∠BCF=45°，
又∵CD=100m，
∴AC=200m，BD=CD=100m，
∴AD=100 3m，
∴AB=100( 3+1)m．
7.【答案】A
【解析】解：如图：过点D作DE⊥AO，垂足为E，
由题意得：OA=OD=a，∠BOC=∠AOD=36°，
在Rt△DOE中，DE=OD⋅sin36°=asin36°，
∴栏杆端点A上升的垂直高度DE的长为asin36°，
故选：A．
过点D作DE⊥AO，垂足为E，根据题意可得：OA=OD=a，∠BOC=∠AOD=36°，然后在Rt△DOE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】【解析】由作图痕迹可知BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，
又∵AD//BC，∴∠AEB=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE∴AB=AE=1，
在Rt△ABC中，cs∠ABC= 22，
∴∠ABC=45∘，
∴AB=AC=1，
∵AD//BC，∴AE:BC=AQ:QC，
设AQ=x得x1−x=1 2，
解得：x= 2−1，故选：C．
9.【答案】C
【解析】解：过点O作OE⊥AB于E．
∵OA= 22+42=2 5，
∴cs∠OAB=AEAO=42 5=2 55，
故选：C．
过点O作OE⊥AB于E.利用勾股定理求出OA，可得结论．
本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°可求出∠BCD与∠ACD的度数，再求出AD与BD的长，根据AB=AD+BD即可得出结论．
【解答】
解：∵从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，
∴∠BCD=90°−45°=45°，∠ACD=90°−30°=60°，
∵CD⊥AB，CD=100m，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD=100m，
在Rt△ACD中，
∵CD=100m，∠ACD=60°，
∴AD=CD⋅tan60°=100× 3=100 3m，
∴AB=AD+BD=100 3+100=100( 3+1)m．
11.【答案】6m
【解析】解：∵迎水坡AB的坡比为1： 3，
∴BCAC=1 3，即3AC=1 3，
解得，AC=3 3，
由勾股定理得，AB= BC2+AC2=6(m)，
故答案为：6m．
根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．
12.【答案】 22
【解析】解：如图，连接BO并延长交AC于E，
∵点O是△ABC的重心，
∴AC=2AE=2CE．
∵AC=2BC，
∴BC=CE，
∵∠C=90°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴∠CBE=45°，cs∠OBC=cs45°= 22．
故答案为： 22．
连接BO并延长交AC于E，根据重心的定义可知AC=2CE，可证△BCE为等腰直角三角形，最后根据锐角三角函数的定义进行求解．
本题考查了锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的判定与性质和三角形重心的知识点，解答本题的关键是掌握重心的定义和锐角特殊角的三角函数值．
13.【答案】6 3
【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质、解直角三角形，画出图形，利用等边三角形的性质得出直角三角形的较小的锐角是30°，那么它对边等于斜边的一半，然后解直角三角形即可得出答案．
【解答】
解：如图，
由题意可得四边形ABED是矩形，
∴AD=BE，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，∠ACB=30°，
∴BC=ABtan30°= 3，
同理FE= 3，
所以这两个等边三角形的周长差为：3(BC+EF)=6 3，
故答案为6 3．
14.【答案】(−2,0) (−1−2 3,2+ 3)或(−1+2 3,2− 3)
【解析】解：过点C作CE⊥AB于E，如图：
∵点A(3,0)，B(0,4)，
由两点间的距离公式得：AB= (3−0)2+(0−4)2=5，
设BE=t，
∵tan∠ABC=2，
在Rt△BCE中，tan∠ABC=CEBE，
∴CEt=2，
∴CE=2t，
由勾股定理得：BC= BE2+CE2= 5t，
∵CE⊥AB，OB⊥AC，AC=OC+OA=3+OC，
∴S△ABC=12AC⋅OB=12AB⋅CE，
即：5×2t=4×(3+OC)，
∴OC=52t−3，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC2−OB2=OC2，
即( 5t)2−42=(52t−3)2，
整理得：t2−12t+20=0，
解得：t1=2，t2=10(不合题意，舍去)，
∴t=2，此时OC=52t−3=2，
∴点C的坐标为(−2,0)，
设点D的坐标为(m,n)，
由两点间的距离公式得：BC2=(−2−0)2+(0−4)2=20，BD2=(m−0)2+(n−4)2，CD2=(m+2)2+(n−0)2，
∵△BCD为等边三角形，
∵BD=CD=BC，
∴(m−0)2+(n−4)2=20(m+2)2+(n−0)2=20，
整理得：m2+n2−8n=4①m2+n2+4m=16②，
②−①得：4m+8n=12，
∴m=3−2n，
将m=3−2n代入①得：(3−2n)2+n2−8n=4，
整理得：n2−4n+1=0，
解得：n=2± 3，
当n=2+ 3时，m=3−2n=−1−2 3，
当n=2− 3时，m=3−2n=−1+2 3，
∴点D的坐标为(−1−2 3,2+ 3)或(−1+2 3,2− 3)．
故答案为：(−2,0)；(−1−2 3,2+ 3)或(−1+2 3,2− 3)．
过点C作CE⊥AB于E，先求处AB=5，再设BE=t，由tan∠ABC=2得CE=2t，进而得BC= 5t，由三角形的面积公式得S△ABC=12AC⋅OB=12AB⋅CE，即5×2t=4×(3+OC)，则OC=52t−3，然后在Rt△BOC中由勾股定理得( 5t)2−42=(52t−3)2，由此解出t1=2，t2=10(不合题意，舍去)，此时OC=52t−3=2，故此可得点C的坐标；设点D的坐标为(m,n)，由两点间的距离公式得：BC2=20，BD2=(m−0)2+(n−4)2，CD2=(m+2)2+(n−0)2，由△BCD为等边三角形得(m−0)2+(n−4)2=20(m+2)2+(n−0)2=20，整理：m2+n2−8n=4①m2+n2+4m=16②，②−①整理得m=3−2n，将m=3−2n代入①整理得n2−4n+1=0，解得n=2± 3，进而再求出m即可得点D的坐标．
此题主要考查了点的坐标，锐角三角函数，等边三角形的性质，三角形的面积公式，理解题意，熟练掌握正切函数的定义，灵活运用勾股定理及两点间的距离公式构造方程组是解答此题的关键
15.【答案】解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，
由题意得，EC=20，∠AEM=67°，∠AFN=40°，CB=DB=EM=FN，AB=60，
∴AM=AB−MB=60−20=40，
在Rt△AEM中，
∵tan∠AEM=AMEM，
∴EM=AMtan∠AEM=40tan67∘≈16.9，
在Rt△AFN中，
∵tan∠AFN=ANFN，
∴AN=tan40°×16.9≈14.2，
∴FD=NB=AB−AN=60−14.2=45.8，
答：2号楼的高度约为45.8米．
【解析】本题考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是常用的方法，掌握边角关系是正确解答的关键．
通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，分别求出EM，AN，进而计算出2号楼的高度DF即可．
16.【答案】6
【解析】解：(1)如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥AC于点N．
∵AB=AC= 22+42=2 5，AM⊥CB，
∴BM=CM= 2，AM=3 2，
∵12⋅BC⋅AM=12⋅AC⋅BN，
∴BN= 2×3 22 5=3 55，
∴sin∠BACA=BNAB=3 552 5=310，tan∠ABC=AMBM=3；
(2)所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个．
故答案为：6．
(1)过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥AC于点N.利用面积法求出BN，再根据三角函数的定义求解即可；
(2)根据网格画出使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)的格点三角形即可．
本题考查作图−应用与设计作图，勾股定理，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17.【答案】解：过A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=30°，AD=420米，
∴CD=AD⋅tan30°=420× 33=140 3(米)，
∴AE=CD=140 3米．
在Rt△ABE中，
∵∠BAE=30°，AE=140 3米，
∴BE=AE⋅tan30°=140 3× 33=140(米)，
∴BC=AD−BE=420−140=280(米)，
答：这栋楼的高度为280米．
【解析】本题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，在此类题目中常用的方法是利用作高线转化为直角三角形进行计算．
过A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，先解Rt△ACD，求出CD的长，则AE=CD，再解Rt△ABE，求出BE的长，然后根据BC=AD−BE即可得到这栋楼的高度．
18.【答案】解：(Ⅰ)在Rt△DBC中，∠DBC=53°，BC=152，∠BDC=90°，
∴sin∠DBC=CDBC=CD152=sin53°≈0.8，
解得CD≈152×0.8=121.6≈122(m)，
答：求C点距地面的高度CD的值约122m；
(Ⅱ)在Rt△DBC中，∠DBC=53°，BC=152，∠BDC=90°，
∴cs∠DBC=BDBC=BD152=cs53°=0.6，
解得BD≈152×0.6=91.2(m)，
在Rt△ADC中，∠DAC=37°，CD≈121.6，∠ADC=90°，
∴tan∠DBC=CDAD=tan37°≈43，
∴AD≈121.6÷34=162.1(m)，
∴AB=AD+BD≈162.1+91.2≈253(m)．
答：AB之间的距离约为253m．
【解析】(Ⅰ)在Rt△DBC中，∠DBC=53°，BC=152，∠BDC=90°，解直角三角形即可；
(Ⅱ)分别求出AD、BD即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是正确寻找直角三角形，利用三角函数的定义解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=12AC，
∵AC=4，
∴OA=2，
∵E是AD中点，
∴OE=12AD，
∵OE=2，
∴AD=4，
∴OD= AD2−OA2= 42−22=2 3，
∴tan∠EDO=AOOD=22 3= 33．
【解析】由菱形的性质得到AC⊥BD，OA=12AC=2，由直角三角形的性质求出AD=4，由勾股定理求出OD=2 3，由锐角的正切求出tan∠EDO= 33．
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，解直角三角形，关键是应用菱形的性质求出OA的长，由直角三角形斜边中线的性质得到AD的长，由勾股定理求出OD的长，由正切定义即可求出tan∠EDO．
20.【答案】解：由题意得：EF=BC=30米，DF=AC=AB+BC=50(米)，
在Rt△EHF中，∠HEF=50°，
∴HF=EF⋅tan50°≈30×1.19=35.7(米)，
在Rt△DFG中，∠GDF=30°，
∴FG=DF⋅tan30°=50× 33=50 33(米)，
∴HG=FH−FG=35.7−50 33≈6.9(米)，
∴GH的值约为6.9米．
【解析】根据题意可得：EF=BC=30米，DF=AC=AB+BC=50(米)，然后在Rt△EHF中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，再在Rt△DFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
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