初中4.5 垂线课堂检测

4.5垂线同步练习湘教版初中数学七年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择路线，用几何知识解释其道理正确的是

A. 两点确定一条直线
B. 垂线段最短
C. 两点之间线段最短
D. 经过一点有无数条直线
 

2. 如图，于点C，于点D，其中线段长度能表示点到直线或线段的距离的线段有

A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 5条

3. 已知，，，判断，，之间的关系满足

A.
B.
C.
D.
 

4. 如图，，，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离不可能是

A.
B.
C. 5
D.

5. 如图，，垂足为点C，，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

6. 若直线l外一点P与直线l上三点的连线段长分别为2cm，3cm，4cm，则点P到直线l的距离是

A. 2cm B. 不超过2cm C. 3cm D. 大于4cm

7. 小明参加跳远比赛，他从地面踏板P处起跳落到沙坑中，两脚后跟与沙坑的接触点分别为A，B，小明未站稳，一只手撑到沙坑C点，则跳远成绩测量正确的图是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，从人行横道上的点P处过马路，下列路径中最短的是

A. 线段PA
B. 线段PB
C. 线段PC
D. 线段PD

9. 下列说法中正确的是
   直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
   画一条直线的垂线段可以画无数条．
   在同一平面内，经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直．
   从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．

A.  B.  C.  D.

10. 如图，A是直线l外一点，过点A作于点B，在直线l上取一点C，连结AC，使在线段BC上连结AP若，则线段AP的长不可能是   
    
     

A.  B. 4 C.  D.

11. 如图，中，，，，点P在边BC上运动，则线段AP的长不可能是

A.
B.
C. 4
D. 5

12. 如图，线段AD、AE、AF分别是的高线，角平分线，中线，比较线段AC、AD、AE、AF的长短，其中最短的是

A. AF B. AE C. AD D. AC

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，点B在点A北偏东方向，点C在点B北偏西方向，，则点C到直线AB的距离为______
    
    
    
    
     

14. 如图，，垂足为C，，则______ 度．
    
     

15. 如图所示，，，则点A到直线的距离是线段_______的长度．
    
    
     

16. 在中，，，，点C到直线AB的距离为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 已知：如图1，直线l和l外一点求作：直线AE，使得于点E．

18. 如图，，．
    
    试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
    若，，求的度数．
    
    
    
    
    
    
     
19. 画图并回答问题：
    
    如图，点P在的边OA上．

过点P画OA的垂线交OB于点C．

画点P到OC的垂线段PM．

指出上述作图中哪一条线段的长度表示点P到OC边的距离．

比较PM，PC与OC的大小，并说明理由．






 

20. 如图，已知，，射线EF平分，，求的度数．
    
     

21. 已知，，和的角平分线交于点F，点G是CB延长线上的一个动点，连接GF交线段AB于点E．
    如图1，若，，则______，______．
    如图2，若，，求的度数用含m和n的代数式表示．

22. 如图，已知，，P是射线AF上一动点不与点A重合，BC，BD分别平分和，分别交射线AF于点C，D．
    当时，______；当______时，．
    在点P的运动过程中，
    试求出的大小；
    与之间的关系是否发生变化？若不变，请写出它们的关系并说明理由；若变化，请写出变化规律．

23. 如图，，F、G分别是AB与CD上的一点，，EG交AB于点H，GE平分，．
    求的大小．
    求的大小．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在三角形ABC中：

过点A画BC的垂线，垂足为E；

过点E画AB的平行线，交AC于点G；

过点C画AB所在直线的垂线段，垂足为H．






 

25. 一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，如图所示．

设汽车行驶到公路AB上点P的位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置．

当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M，N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而距离村庄M却越来越远？分别用文字表述你的结论，不必说明理由

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择路线，是因为垂直线段最短，
故选：B．
根据垂线段的性质解答即可．
此题主要考查了垂线段的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两垂直线段最短．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：如图所示：线段BC的长是点B到AC的距离，
线段AC的长是点A到BC的距离，
线段CD的长是点C到AB的距离，
线段BD的长是点B到CD的距离，
线段AD的长是点A到CD的距离，
故图中能表示点到直线距离的线段共有5条．
故选：D．
直接利用点到直线的距离的定义分析得出答案．
此题主要考查了点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：如图，延长CD交EF于点M，延长DC交AB于点N，

，
，
，
又，
，
，
，
则，
故选：C．
延长CD交EF于点M，延长DC交AB于点N，先由得出，结合知，再根据可得答案．
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等的性质与三角形外角性质、三角形的内角和定理等知识点．
 

4.【答案】A
 

【解析】解：，，
，即．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
利用垂线段最短得到，然后对各选项进行判断．
本题考查了垂线段最短：垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
 

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出，属于基础题．
根据平行线的性质和垂直的定义解答即可．
【解答】
解：，，
，
，
，
故选：B．  

6.【答案】B
 

【解析】解：由垂线段最短，得
点P到直线l的距离小于或等于2cm，
故选：B．
根据垂线段最短，可得答案．
本题考查了垂线段最短，利用垂线段最短是解题关键．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：跳远成绩应该为身体的接触点中到踏板P的垂线段长的最小值．
故选：D．
由于C点到踏板P最近，则C点到踏板P的垂线段的长为跳远成绩．
本题考查了垂线段最短：实际问题中涉及线段最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：从人行横道线上的点P处过马路，下列线路中最短的是线路PB．
故选：B．
根据垂线段最短矩形判断．
本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，说法正确．
画一条直线的垂线段可以画无数条，说法正确．
在同一平面内，经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直，说法正确．
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故原说法错误．
故选：B．
依据垂线段的性质进行判断；依据垂线的性质进行判断；依据垂线的性质进行判断；依据点到直线的距离的概念进行判断，即可得出结论．
本题主要考查了垂线段的性质、垂线的性质以及点到直线的距离的概念，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
 

10.【答案】D
 

【解析】分析
直接利用垂线段最短以及结合已知得出AP的取值范围进而得出答案．
此题主要考查了垂线段最短，正确得出AP的取值范围是解题关键．
详解
解：过点A作于点B，，P在线段BC上，，
，
的长度应该属于之间包含3和；
故AP的长度不可能是，
故选D．
 

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键．
从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短，可得答案．
【解答】
解：，点P在边BC上运动，
，
又，，，
的长不可能是．
故选A．  

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了垂线段的性质，关键是掌握垂线段最短．
根据垂线段的性质：垂线段最短可得答案．
【解答】
解：根据垂线段最短可得AD最短，
故选C．  

13.【答案】10
 

【解析】解：如图所示，，
，
又，，
，
，
点C到直线AB的距离为BC的长，即10m，
故答案为：10．
依据平行线的性质即可得出，再根据，，进而得到，即可得出点C到直线AB的距离为BC的长．
本题主要考查了点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
 

14.【答案】40
 

【解析】

【分析】
本题考查对顶角的性质，考查垂线．利用相交线寻找已知角的对顶角，可以建立已知角与所求角之间的等量关系，可求．
【解答】
解：由图知，和是对顶角，

，
即，
，
，
，
解得．  

15.【答案】AB
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离可得点P到直线l的距离是线段AB的长度．
【解答】
解：，
则A点到直线的距离是线段AB的长度，
故答案为AB．

16.【答案】
 

【解析】解：如图所示，过C作于D，则CD的长是点C到直线AB的距离，
，，，
，
是直角三角形，
，
，
，
即 ，
，
故答案为：．
过C作于D，则CD的长是点C到直线AB的距离，根据三角形的面积公式求出CD的长即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和点到直线的距离，能利用面积法求出AB边上的高CD，理解CD的长是点C到直线AB的距离是解此题的关键．
 

17.【答案】解：已知：直线l和l外一点A．
求作：直线l的垂线AE，垂足为点E．
作法：任意取一点K，使K与A在直线l的两旁；
以点A为圆心，AK长为半径作弧，交l于点D和M．
分别以D和M为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F．
连接AF，交直线l为点E．
所以直线AE就是所求作的垂线．

 

【解析】首先根据题意写出已知求作，进而根据过直线外一点向直线作垂线即可．
此题考查的是垂线的作法，熟练掌握基本作图方法是解决此题关键．
 

18.【答案】解：，理由如下：
，
，
，
，
，
；
，


    


．
 

【解析】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等，同旁内角互补．
由于，可判断，则，由得出即可判断出；
首先由得出，然后由得到即可得出的度数．
 

19.【答案】如图．

点P到OC边的距离是线段PM的长度．

理由：垂线段最短．

【解析】略
 

20.【答案】解：，，
，
平分，
，
，
，
．
 

【解析】先由，，根据两直线平行，同旁内角互补，可求得的度数，然后由EF平分，求得的度数，继而求得答案．
此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握两直线平行，同旁内角互补定理的应用是解此题的关键．
 

21.【答案】 
 

【解析】解：，
，
，
，
即，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
，和的角平分线交于点F，
，
，
，
，
，
，
交线段AB于点E，
，
，
，
，
，
．
由平行线的性质及角平分线的定义得到，，再由直角三角形的两锐角互余即可得解；
由平行线的性质、角平分线的定义及三角形的内角和求解即可．
此题考查了平行线的性质及垂线，熟记平行线的性质定理及垂线的性质是解题的基础．
 

22.【答案】 
 

【解析】解：，
，
在中，，
平分，
，
，
，
，
在中，
，
平分，
，
在中，
；
故答案为：，；
，
，
，
，
，BD分别平分和，
，，
；
，
，，
平分，
，
，
与之间的关系不发生变化，．
根据垂直的定义、角平分线的定义及直角三角形的两锐角互余可得答案；
由平行线的性质可得，由角平分线的定义可以证明，即可求出结果；不变，，由得，，根据BD平分得，即可推出结论；
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：，，
，
又，
；
，
，
平分，
，
，
．
 

【解析】根据已知条件，可求出的度数，根据平行线的性质即可求出答案；
由中的结论及角平分线的性质可求出的度数，根据平行线的性质即可求出答案．
本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
 

24.【答案】解：如图所示：

【解析】见答案
 

25.【答案】解：点P，Q的位置如图，其中，于点P，于点Q．
 

汽车在AP段路上距离M，N两村庄都越来越近，在PQ段路上距离村庄N越来越近，而距离村庄M却越来越远．

【解析】见答案