2021学年第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第2课时课后练习题

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[A　基础达标]1．若函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则f＝(　　)A．3或0 B．－3或0C．0  D．－3或3解析：选D．由f＝f知，直线x＝是函数图象的对称轴，解得f＝3或－3.故选D．2．已知函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|<，则(　　)A．A＝4  B．ω＝1C．φ＝  D．B＝4解析：选C．由图象可知，A＝2，B＝2，T＝－＝，T＝π，ω＝2.因为2×＋φ＝，所以φ＝，故选C．3．函数f(x)＝cos (2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数，则函数f(x)的图象(　　)A．关于点对称B．关于直线x＝－对称C．关于点对称D．关于直线x＝对称解析：选D．将函数f(x)＝cos (2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后，可得y＝cos 的图象，根据得到的函数是奇函数，可得－＋φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝cos .令x＝－，求得f＝cos ＝－，故排除A．令x＝－，求得f＝cos ＝0，故排除B．令x＝，求得f＝cos 0＝1，为函数的最大值，排除C，选D．4．已知函数f(x)＝2sin 的最小正周期为π，则函数y＝f(x)在区间上的最大值和最小值分别是(　　)A．2和－2  B．2和0C．2和－1  D．和－解析：选C．由题知＝π，得ω＝2，所以函数y＝f(x)＝2sin .又因为x∈，所以2x－∈，所以sin ∈，所以2sin ∈[－1，2]，故函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1.故选C．5．已知ω>0，函数f(x)＝cos 的图象的一条对称轴方程为x＝，一个对称中心为，则ω有(　　)A．最小值2  B．最大值2C．最小值1  D．最大值1解析：选A．由题意知－≥，故T＝≤π，ω≥2.故选A．6．在函数y＝2sin (ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝________．解析：依题意知＝－＝，所以T＝π，又T＝＝π，得ω＝2.答案：27．已知函数f(x)＝2cos (ωx－φ)(ω>0，φ∈[0，π])的部分图象如图所示．若A，B，则f(0)＝________．　解析：由函数图象可知函数f(x)的周期T＝－＝π，ω＝＝2.又f＝2cos (π－φ)＝－2cos φ＝，则cos φ＝－.因为φ∈[0，π]，所以φ＝，所以f(x)＝2cos ，则f(0)＝－.答案：－8．函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)＝________．解析：由题图可知A＝2，φ＝2kπ，k∈Z，T＝8，所以＝8，即ω＝，所以f(x)＝2sin x.因为周期为8，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝2sin ＋2sin ＋2sin ＋2sinπ＋2sin ＝＋2.答案：＋29．如图为函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一个周期内的图象．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在x∈[－1，2]的值域．解：(1)由题图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，所以ω＝＝＝，所以f(x)＝2sin .将点(－1，0)代入，得0＝2sin .因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin .(2)因为－1≤x≤2，所以0≤x＋≤π，所以0≤sin ≤1.所以0≤2sin ≤2.所以函数f(x)的值域为[0，2].10．已知函数f(x)＝3sin 的图象的一条对称轴是直线x＝.(1)求φ值；(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间和对称中心．解：(1)因为x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴，所以sin ＝±1，所以＋φ＝kπ＋，k∈Z.因为0<φ<，所以φ＝.(2)由(1)知φ＝，所以y＝3sin .由题意得2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.由x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，故该函数的对称中心为，k∈Z.[B　能力提升]11．(多选)已知函数f(x)＝|A cos (x＋φ)＋1|的部分图象如图所示，则(　　)A．φ＝  B．φ＝C．A＝2  D．A＝3解析：选BC．由题图知，A＝＝2.又f(0)＝|2cos φ＋1|＝2，所以cos φ＝或cos φ＝－(舍去).因为|φ|<，即－<φ<，由图象知φ>0，所以φ＝.故选BC．12．(多选)对于函数f(x)＝cos ，下列说法正确的是(　　)A．y＝f(x)的图象是由f(x)＝cos πx的图象向右平移个单位长度得到的B．y＝f(x)的图象过点C．y＝f(x)的图象关于点对称D．y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称解析：选CD．f(x)＝cos πx的图象向右平移个单位长度，所得函数的解析式为f(x)＝cos ＝cos ，故说法A错误；当x＝1时，f(1)＝cos ＝－，故说法B错误；当x＝时，f＝cos ＝0，y＝f(x)的图象关于点对称，故说法C正确；当x＝－时，f＝cos ＝－1，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，故说法D正确．综上，正确的说法为CD．13．若f(x)＝sin 2ωx＋1(ω>0)在区间上单调递增，则ω的最大值为________．解析：因为x∈，所以2ωx∈[－3πω，πω]，令t＝2ωx，则y＝sin t＋1在[－3πω，πω]上单调递增，所以得0<ω≤，所以ω的最大值为.答案：14．已知函数f(x)＝2a sin ωx cos ωx＋2cos2ωx－(a>0，ω>0)的最大值为2.x1，x2是集合M＝{x∈R|f(x)＝0}中的任意两个元素，|x1－x2|的最小值为.(1)求a，ω的值；(2)若f(α)＝，求sin的值．解：(1)f(x)＝a sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin (2ωx＋φ)，其中tan φ＝.由题意知＝2，a>0，则a＝1.由题意知f(x)的最小正周期为π，则＝π，故ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin .由f(α)＝知2sin ＝，即sin ＝.所以sin ＝sin ＝－cos ＝－1＋2sin2＝－1＋2×＝－.[C　拓展探究]15．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，求m的取值范围．解：(1)将y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin 的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝f(x)＝sin 的图象．所以f(x)＝sin .(2)因为x∈[0，3π]，所以x＋∈，sin ∈[－1，1]，因为当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，所以函数f(x)的图象和直线y＝m只有一个交点，如图所示．故方程f(x)＝m有唯一实数根m的取值范围为∪{1，－1}．