人教A版 (2019)第五章 三角函数5.7 三角函数的应用练习题

[A　基础达标]

1．如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　　)

A．该质点的运动周期为0.7 s

B．该质点的振幅为－5 cm

C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大

D．该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零

解析：选D．简谐运动的周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s，所以A选项错误；质点的振幅为5 cm，所以B选项错误；质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为0，所以C选项错误；质点在0.3 s和0.7 s时位于平衡位置，所以D正确．故选D．

2．如图，某港口一天6 h到18 h的水深变化曲线近似满足函数关系式y＝3sin (x＋φ)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)

A．5　 B．6

C．8  D．10

解析：选C．由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.所以ymax＝k＋3＝8.故选C．

3．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式是s＝3cos ，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选D．小球摆动周期T＝＝1，l＝，故选D．

4．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间间隔为12 h，低潮时水深9 m，高潮时水深15 m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y＝A sin (ωt＋φ)＋k的图象，其中0≤t≤24 且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是(　　)

A．y＝3sin t＋12  B．y＝－3sin t＋12

C．y＝3sin t＋12  D．y＝3cos t＋12

解析：选A．根据题意，由ω＝＝＝，排除选项C，D．当t＝3时，3sin t＋12＝3sin ＋12＝15，符合题意．－3sin t＋12＝－3sin ＋12＝9，不符合题意．故选项B错误．

5．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：

则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　)

A．10 000元  B．9 500元

C．9 000元  D．8 500元

解析：选C．因为y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，

所以当x＝1时，500sin (ω＋φ)＋9 500＝10 000；

当x＝2时，500sin (2ω＋φ)＋9 500＝9 500.

所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin ＋9 500.

当x＝3时，y＝9 000.

6．国际油价P(单位：美元)在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝A sin ＋60，t为天数，A>0，ω>0，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150时，油价最低，则ω最小值为________．

解析：A＋60＝80得A＝20，且150πω＋＝－＋2kπ，k∈Z，即k＝1时，ω最小值为.

答案：

7．已知某种交流电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin ，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s内往复运动________次．

解析：据I＝5sin 知ω＝100π rad/s，

该电流的周期为T＝＝＝0.02 s，

则这种交流电在0.5 s内往复运动次数n＝＝ s＝25.

答案：25

8．如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t(时)的函数解析式为________．

解析：设水面高度h关于时间t的函数解析式为h＝A sin (ωt＋φ)，A>0，ω>0，根据图象可知A＝6，T＝12＝，所以ω＝.因为图象过点(0，0)，所以×0＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ＝π，所以h＝6sin ＝－6sin t，t∈[0，24].

答案：h＝－6sin t，t∈[0，24]

9．已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin ＋20，x∈[4，16].

(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；

(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？

解：(1)由函数式易知，当x＝14时，函数取最大值，此时最高温度为30 ℃；当x＝6时，函数取最小值，此时最低温度为10 ℃，所以该地区这一段时间内的最大温差为20 ℃.

(2)令10 sin ＋20＝15，可得sin ＝－，而x∈[4，16]，所以x＝.令10sin ＋20＝25，可得sin ＝，而x∈[4，16]，所以x＝.当x∈时，x－∈，所以y在上单调递增，所以－＝(h).故该细菌能存活的最长时间为 h．

10．如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象．

(1)经过多长时间，小球往复振动一次？

(2)求这条曲线的函数解析式；

(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？

解：(1)由题图可知，周期T＝2×＝π，

所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14(s).

(2)可设该曲线的函数解析式为s＝A sin (ωt＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)，t∈[0，＋∞)，从题图中可以看出A＝4，T＝2×＝π.即＝π，即ω＝2，将t＝，s＝4代入解析式，得sin ＝1，解得φ＝.

所以这条曲线的函数解析式为s＝4sin ，t∈[0，＋∞).

(3)当t＝0时，s＝4sin ＝2(cm)，故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2 cm.

[B　能力提升]

11.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝R sin (ωt＋φ)，t≥0，ω>0，|φ|<.则下列叙述错误的是(　　)

A．R＝6，ω＝，φ＝－

B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6

C．当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)单调递减

D．当t＝20时，|PA|＝6

解析：选C．由题意，R＝＝6，T＝60＝，所以ω＝.由点A(3，－3)可得－3＝6sin φ.因为|φ|<，所以φ＝－，故A项正确；f(t)＝6sin ，当t∈[35，55]时，t－∈，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故B项正确；当t∈[10，25]时，t－∈，函数y＝f(t)不单调，故C项不正确；当t＝20时，t－＝，点P的纵坐标为6，所以P(0，6)，由勾股定理可得|PA|＝＝＝6，故D项正确．

12．如图，从某点给单摆一个作用力后，单摆开始来回摆动，它离开平衡位置O的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数解析式为s＝5sin ，则单摆摆动时，从最右边到最左边的时间为(　　)

A．2 s　 B．1 s

C． s  D． s

解析：选C．由题意，知周期T＝＝1(s).单摆从最右边到最左边的时间是半个周期，为 s．

13．如图一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间．

(1)点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数为________；

(2)点P第一次到达最高点需要的时间为________s.

解析：(1)如图，建立直角坐标系，

设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度为＝，又水轮的半径为4 m，圆心O距离水面2 m，

所以z＝4sin ＋2.

当t＝0时，z＝0，

得sin φ＝－，即φ＝－.

故所求的函数表达式为z＝4sin ＋2.

(2)令z＝4sin ＋2＝6，

得sin ＝1.

取t－＝，得t＝4.

故点P第一次到达最高点需要4 s.

答案：(1)z＝4sin ＋2　(2)4

14．某港口一天内的水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据：

据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝A sin ωt＋B(A>0，ω>0)的图象．

(1)试根据数据和曲线，求出y＝A sin ωt＋B的解析式；

(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5 m是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)

解：(1)从拟合的曲线可知，函数y＝A sin ωt＋B的一个周期为12 h，因此ω＝＝.

又因为ymin＝7，ymax＝13，所以A＝(ymax－ymin)＝3，B＝(ymax＋ymin)＝10.

所以函数的解析式为y＝3sin t＋10(0≤t≤24).

(2)由题意，水深y≥4.5＋7，即y＝3sin t＋10≥11.5，t∈[0，24]，所以sin t≥.所以t∈，k＝0，1.所以t∈[1，5]或t∈[13，17].

所以该船在1：00至5：00或13：00至17：00 能安全进港．

若该船于当天安全离港，则它在港内停留的时间最多不能超过16 h．

[C　拓展探究]

15．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重．为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：

①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；

②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；

③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．

(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；

(2)请问：哪几个月份要准备400份以上的食物？

解：(1)设该函数为f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)＝100，

所以f(8)＝500.

根据上述分析可得，＝12，

故ω＝且

解得

根据分析可知，当x＝2时，f(x)最小，当x＝8时，f(x)最大．

故sin ＝－1，sin ＝1.

又因为0＜|φ|＜π，故φ＝－.

所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)＝200sin ＋300.

(2)由条件可知，200sin ＋300≥400，

化简，得sin ≥⇒2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，

解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.

因为x∈N＋且1≤x≤12，

故x＝6，7，8，9，10.

即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物．