人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换同步测试题

人教A版（2019）必修第一册（下）第五章三角函数

5.5三角恒等变换5.5.2简单的三角恒等变换练习题

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．已知，则（      ）

A． B． C． D．

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

4．化为和差的结果是（    ）

A． B．

C． D．

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

6．等于

A． B． C． D．

7．已知，，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知，则（    ）

A． B． C． D．

9．图象为如图的函数可能是（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

10．数列的通项公式为，其中表示不超过x的最大整数，则的前32项和为__________．

11．已知，且，则__________．

12．已知，，则______．

13．已知，则______________．

14．已知角对任意的，恒成立，则的取值范围是_____.

三、解答题

15．已知函数

(1)若，求；

(2)若时，，求．

16．已知的内角，，所对的边分别为，，，且.

（1）若，求的大小；

（2）若，，求.

17．已知函数.

(1)求求函数的最小正周期及对称中心.

(2)求函数在值域.

18．的内角的对边分别为，已知

（1）求;

（2）若，求的周长

19．已知向量，，.

(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；

(2)若，求函数的值域.

四、双空题

20．已知，且是第二象限角，则______；_______.

参考答案：

1．D

【分析】结合二倍角公式，将所求表达式转化为只含的式子，由此求得正确答案.

【详解】原式

.

故选：D

2．C

【分析】利用诱导公式和二倍角公式可得解.

【详解】

故选：C．

3．A

【分析】将两个已知等式两边平方相加，再根据两角和的正弦公式可求出结果.

【详解】由得，

由得，

两式相加得，得.

故选：A

4．B

【分析】利用积化和差公式化简即可.

【详解】解：原式.

故选：.

【点睛】本题考查积化和差公式的应用，属于基础题.

5．B

【分析】首先根据诱导公式以及同角三角函数的基本关系求得，再根据二倍角公式以及“1”的代换求得.

【详解】由诱导公式化简原式，得，故，

所以.

故选:B．

6．D

【详解】试题分析：原式．

考点：三角恒等变换．

7．B

【解析】先根据二倍角余弦公式求，解得，最后根据两角差余弦公式得结果.

【详解】或

因为，所以

故选：B

【点睛】本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题.

8．C

【分析】利用诱导公式化简变形可得结果

【详解】解：因为，

所以，

故选：C

9．A

【分析】从特殊的函数为最大值排除两个选项，再由余弦函数性质确定函数值的正负排除一个选项后得正确结论．

【详解】因为为最大值，排除BD；又因为，排除C．

故选：A．

10．631

【分析】由，分析的不同取值对应的的取值情况，分组求和即得解

【详解】由题意，

当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

故的前32项和为：

故答案为：631

11．-7

【详解】

（舍）．

12．

【分析】先由，得，再由即可求出结果.

【详解】因，得，

所以.

【点睛】本题主要考查三角函数的两角和差化积公式，熟记公式即可，属于常考题型.

13．-2

【分析】利用同角的三角函数中的平方和关系求出，再利用同角的三角函数关系中的商关系求出即可.

【详解】.

【点睛】本题考查了同角三角函数关系中的平方和关系和商关系，考查了角的余弦值的正负性的判断，考查了数学运算能力.

14．

【分析】根据题意转化为在上恒成立，利用基本不等式求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解.

【详解】由，即，

即在上恒成立，

又由，

所以，

又因为，可得，所以，解得，

即的取值范围是.

故答案为：.

15．(1)

(2)

【分析】（1）根据同角三角函数的关系、两角和正弦公式、诱导公式化简即可求解；

（2）根据角的变换及两角差的正弦公式，二倍角的余弦公式计算即可求解.

(1)

，

由得：，

即有，所以．

(2)

由得：

∵，

∴，

∴，

∴，

故

16．（1）；（2）.

【分析】(1)由正弦定理求出cosC，进而求得sinC、sinA及cosA，再利用和角公式即可得解；

(2)由(1)结合余弦定理求得a，进而求得cosC及sinC即可得解.

【详解】（1）中，由正弦定理可得，，

所以，，，，

所以；

（2）由（1）可知，，所以，

由余弦定理可知，，于是，

则，，所以.

17．(1)，；

(2).

【分析】（1）由三角恒等变换可得正弦型三角函数，据此求周期、对称中心即可；

（2）利用整体代换法求正弦函数的值域即可.

(1)

所以函数的最小正周期为

，令，

解得

∴的对称中心是

(2)

令由，则，

则，

所以的值域是.

18．（1）；（2）.

【分析】（1）根据，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数化简为求解；

（2）利用余弦定理得到，然后由求得代入即可.

【详解】（1）因为 ，

所以，

所以

所以

由正弦定理得

整理得

因为在中，所以，则

所以

（2）由余弦定理得

，

即，

因为，

所以，

所以，

解得.

所以的周长是

【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

19．(1)；，；

(2).

【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合降幂公式、辅助角公式、二倍角公式、正弦型函数的最小正周期公式以及单调性进行求解即可；

（2）利用换元法，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可.

(1)

由

，

故函数的最小正周期,

当时，函数单调递增，

解得，，

函数的单调递增区间为，；

(2)

，，令，则，

所以当即时，

当即时，

故函数的值域为.

20．         

【分析】根据正余弦恒等式求出，再利用二倍角的正弦公式求出.

【详解】因为，且是第二象限角，

所以，

.

故答案为：；.