人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词课后复习题

1.5　全称量词与存在量词

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.命题“∃x∈R,x2+2 019x+2 020<0”的否定为(　　)

A.∀x∈R,x2+2 019x+2 020<0

B.∀x∈R,x2+2 019x+2 020≤0

C.∀x∈R,x2+2 019x+2 020≥0

D.∃x∈R,x2+2 019x+2 020≥0

答案C

解析命题的否定为“∀x∈R,x2+2019x+2020≥0”.

2.(2021浙江温州苍南高一月考)下列命题中:

(1)有些自然数是偶数;

(2)正方形是菱形;

(3)能被6整除的数也能被3整除;

(4)对于任意x∈R,总有≤1.

存在量词命题的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案B

解析有些自然数是偶数,含有存在量词“有些”,是存在量词命题;

正方形是菱形,可以写成“所有的正方形都是菱形”,是全称量词命题;

能被6整除的数也能被3整除,可以写成“所有能被6整除的数也能被3整除”,是全称量词命题;对于任意x∈R,总有≤1,含有全称量词“任意的”,是全称量词命题.所以存在量词命题有1个.故选B.

3.(多选题)下列命题中是真命题的是(　　)

A.∀x∈R,2x2-3x+4>0

B.∀x∈{1,-1,0},2x+1>0

C.∃x∈N,使≤x

D.∃x∈N*,使x为29的约数

答案ACD

解析对于A,这是全称量词命题,由于Δ=(-3)2-4×2×4<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,故A为真命题;

对于B,这是全称量词命题,由于当x=-1时,2x+1>0不成立,故B为假命题;

对于C,这是存在量词命题,当x=0时,有≤x成立,故C为真命题;

对于D,这是存在量词命题,当x=1时,x为29的约数成立,所以D为真命题.

4.已知命题p:∀x>3,x>m成立,则实数m的取值范围是(　　)

A.{m|m≤3} B.{m|m≥3}

C.{m|m<3} D.{m|m>3}

答案A

解析对任意x>3,x>m恒成立,即大于3的数恒大于m,所以m≤3.

5.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”,用符号表示为　　　　　　　　　　　　,此命题的否定是　　　　　　　　　　　　,是　　　　　命题(填“真”或“假”). 

答案∃x,y∈R,x+y>1　∀x,y∈R,x+y≤1　假

解析此命题用符号表示为∃x,y∈R,x+y>1,此命题的否定是∀x,y∈R,x+y≤1,原命题为真命题,所以它的否定为假命题.

6.(2020江苏连云港高一检测)若“∃x∈R,x2+2x-a<0”是真命题,则实数a的取值范围是　　　　　. 

答案{a|a>-1}

解析若“∃x∈R,x2+2x-a<0”是真命题,

则Δ>0,即4+4a>0,解得a>-1.

故实数a的取值范围为{a|a>-1}.

7.(2021山东邹城高一期中)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,请写出它们的否定,并判断其真假:

(1)p:对任意的x∈R,x2+x+1≠0都成立;

(2)q:∃x∈R,使x2+3x+5≤0.

解(1)由于命题中含有全称量词“任意的”,该命题是全称量词命题,所以其否定为“∃x∈R,使x2+x+1=0”.

因为Δ=-3<0,所以方程x2+x+1=0无实数解,

此命题为假命题.

(2)由于命题中含有存在量词“存在一个”,该命题是存在量词命题,所以其否定为“∀x∈R,有x2+3x+5>0”.

因为Δ=-11<0,所以∀x∈R,x2+3x+5>0成立,此命题是真命题.

等级考提升练

8.(2021河南濮阳高二期末)下列命题为真命题的是 (　　)

A.∃x∈R,使x2<0 B.∀x∈R,有x2≥0

C.∀x∈R,有x2>0 D.∀x∈R,有x2<0

答案B

解析因为x∈R,所以x2≥0,所以∀x∈R,有x2≥0,故选B.

9.(2021湖南长沙雅礼中学高一月考)已知命题“∃x∈R,使4x2+x+(a-2)≤0”是假命题,则实数a的取值范围是(　　)

A.{a|a<0} B.{a|0≤a≤4}

C.{a|a≥4} D.

答案D

解析∵命题“∃x∈R,使4x2+x+(a-2)≤0”是假命题,∴命题“∀x∈R,使4x2+x+(a-2)>0”是真命题,即判别式Δ=12-4×4×(a-2)<0,即a>,故选D.

10.已知命题p:“∀x∈{x|1≤x≤2},x2-a≥0”,命题q:“∃x∈R,x2+2ax+4=0”.若命题¬p和命题q都是真命题,则实数a的取值范围是(　　)

A.{a|a≤-2,或a=1}

B.{a|a≤-2,或1≤a≤2}

C.{a|a≥1}

D.{a|a≥2}

答案D

解析若∀x∈{x|1≤x≤2},x2-a≥0,

则a≤x2,∴a≤1.

若∃x∈R,x2+2ax+4=0,则Δ=(2a)2-16≥0,

解得a≤-2或a≥2.

∵命题¬p和命题q都是真命题,

∴∴a≥2.

11.(多选题)(2021江苏无锡青山中学高一月考)下列命题为存在量词命题的有(　　)

A.在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P

B.有的有理数能写成分数形式

C.线段的长度都能用正有理数表示

D.存在一个实数x,使等式x2-3x+2=0成立

答案BD

解析“在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P”是全称量词命题,所以选项A错误;

“有的有理数能写成分数形式”中“有的”为存在量词,所以是存在量词命题,所以选项B正确;

“线段的长度都能用正有理数表示”是全称量词命题,所以选项C错误;

“存在一个实数x,使等式x2-3x+2=0成立”中的“存在”为存在量词,所以是存在量词命题,所以选项D正确.故选BD.

12.(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是(　　)

A.p:所有四边形的内角和都是360°

B.q:∃x∈R,x2+2x+2≤0

C.r:∃x∈{x|x是无理数},x2是无理数

D.s:对所有实数a,都有|a|>0

答案BD

解析A.¬p:有的四边形的内角和不是360°,是假命题.

B.¬q:∀x∈R,x2+2x+2>0,真命题,这是由于∀x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0恒成立.

C.¬r:∀x∈{x|x是无理数},x2不是无理数,假命题.

D.¬s:存在实数a,使|a|≤0,真命题.

13.(2020甘肃静宁高一期中)静宁一中开展小组合作学习模式,高一某班某组王小明同学给组内王小亮同学出题如下:若命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求m的范围.王小亮略加思索,反手给了王小明一道题:若命题“∀x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求m的范围.你认为,两位同学出的题中m的范围是否一致?　　　　　(填“是”或“否”). 

答案是

解析若命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,所以该命题的否定是真命题,即命题“∀x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,所以两位同学题中m的范围是一致的.

14.命题p是“对任意实数x,有x-a>0,或x-b≤0”,其中a,b是常数.

(1)写出命题p的否定;

(2)当a,b满足什么条件时,命题p的否定为真?

解(1)命题p的否定:存在实数x,有x-a≤0,且x-b>0.

(2)要使命题p的否定为真,则需要使不等式组的解集不为空集,

通过画数轴可看出,a,b应满足的条件是b<a.

新情境创新练

15.(2021福建龙岩高级中学高一期中)设命题p:∀x∈{x|-2≤x≤-1},x2-a≥0;命题q:∃x∈R,使x2+2ax-(a-2)=0.

(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;

(2)若命题p,q一真一假,求实数a的取值范围.

解(1)令y=x2-a,x∈{x|-2≤x≤-1},

根据题意,“命题p为真命题”等价于“当x∈{x|-2≤x≤-1}时,ymin≥0”.

∵ymin=1-a,∴1-a≥0,解得a≤1.

∴实数a的取值范围为{a|a≤1}.

(2)由(1)可知,当命题p为真命题时,实数a满足a≤1.

当命题q为真命题,即方程有实数根时,则有Δ=4a2-4(2-a)≥0,解得a≤-2或a≥1.

命题p和q两个命题中有且仅有一个真命题,则命题p与q一真一假.

①当命题p为真,命题q为假时,

得解得-2<a<1;

②当命题p为假,命题q为真时,

得解得a>1.

综上可得-2<a<1或a>1.

∴实数a的取值范围为{a|-2<a<1,或a>1}.