人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件课时练习

1.4　充分条件与必要条件

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.

2.设a,b∈R,则“a>b”是“a2>b2”的(　　)

A.充分必要条件 B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件 D.必要不充分条件

答案B

解析若a=1,b=-4,满足a>b,此时a2>b2不成立;

若a2>b2,如a=-4,b=1,此时a>b不成立.

3.设集合A={1,a2,-2},B={2,4},则“a=2”是“A∩B={4}”的(　　)条件.

A.充分不必要 B.必要不充分

C.充要 D.既不充分也不必要

答案A

解析当“a=2”时,显然“A∩B={4}”;但当“A∩B={4}”时,a可以为-2,故不能推出“a=2”.

4.(2021山西运城高二期末)“a>1,b>1”是“ab>1”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析“a>1,b>1”⇒“ab>1”,反之不成立,例如取a=,b=4.∴“a>1,b>1”是“ab>1”的充分不必要条件.故选A.

5.(多选题)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列结论正确的是(　　)

A.Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件

B.Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件

C.Δ=b2-4ac>0是这个方程有实根的必要条件

D.Δ=b2-4ac<0是这个方程没有实根的充要条件

答案ABD

解析A正确,Δ≥0⇔方程ax2+bx+c=0有实根;

B正确,Δ=0⇒方程ax2+bx+c=0有实根;

C错误,Δ>0⇒方程ax2+bx+c=0有实根,但ax2+bx+c=0有实根Δ>0;

D正确,Δ<0⇔方程ax2+bx+c=0无实根.故选ABD.

6.(2020重庆高一检测)已知p:-1<x<3,q:-1<x<m+1,若q是p的必要不充分条件,则实数m的取值范围是　　　　　. 

答案{m|m>2}

解析因为q是p的必要不充分条件,即p⫋q,

则m+1>3,解得m>2,

即实数m的取值范围是{m|m>2}.

7.设x,y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

证明充分性:如果xy=0,那么,①x=0,y≠0;②x≠0,y=0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.

如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0,

当x>0,y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|,

当x<0,y<0时,|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|,总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|.

必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,得|xy|=xy,所以xy≥0,故必要性成立.

综上,原命题成立.

等级考提升练

8.已知实数a,b,c,则b2=ac是成立的(　　)

A.充分不必要条件

B.充要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析由可得b2=ac,反之不成立,如b=c=0时,满足b2=ac,但不成立,故b2=ac是成立的必要不充分条件,故选C.

9.(2021安徽合肥一六八中学高一期末)若ab>0,则a<b是的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案C

解析当ab>0时,,当a<b时,b-a>0,则>0,即成立,反之当成立时,b-a>0,则a<b成立,即a<b是的充要条件,故选C.

10.已知命题p:x+y≠-2,q:x≠-1且y≠-1,则p是q的(　　)

A.充要条件 B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件 D.必要不充分条件

答案B

11.(2021广东深圳宝安高一期末)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C,使得A⊆C,B⊆(∁UC)”是“A∩B=⌀”的(　　)

A.充要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

答案A

解析∵A⊆C,B⊆(∁UC),即A⊆C且B∩C=⌀,

∴A∩B=⌀.

则“存在集合C,使得A⊆C,B⊆(∁UC)”是“A∩B=⌀”的充分条件.

当A∩B=⌀,存在一个集合C=A使得A⊆C,B⊆(∁UC),则“存在集合C,使得A⊆C,B⊆(∁UC)”是“A∩B=⌀”的必要条件.故“存在集合C,使得A⊆C,B⊆(∁UC)”是“A∩B=⌀”的充要条件.故选A.

12.(多选题)(2021广州二中高一月考)对任意实数a,b,c,下列说法错误的是(　　)

A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件

B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件

C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件

D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件

答案ACD

解析由a>b,若c≤0,则ac≤bc,因此“ac>bc”不是“a>b”的必要条件,故A不正确;

由a=b,可得ac=bc,反之不成立,因此“ac=bc”是“a=b”的必要条件,故B正确;

由“ac>bc”,若c<0,则a<b,因此“ac>bc”不是“a>b”的充分条件,故C不正确;

由“ac=bc”,若c=0,则“a=b”不成立,因此“ac=bc”不是“a=b”的充分条件,故D不正确.故选ACD.

13.已知集合A={x|x≥0},B={x|x≥a},若x∈A是x∈B的充分条件,则实数a的取值范围是　　　;若x∈A是x∈B的必要条件,则a的取值范围是　　　　　. 

答案{a|a≤0}　{a|a≥0}

解析因为x∈A是x∈B的充分条件,所以a≤0;因为x∈A是x∈B的必要条件,所以a≥0.

14.已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

证明因为a+b=1,

所以a+b-1=0.

所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.

因为a3+b3+ab-a2-b2=0,

即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,

又ab≠0,所以a≠0且b≠0.

因为a2-ab+b2=b2>0,

所以a+b-1=0,即a+b=1.

综上可得,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

新情境创新练

15.已知a≥,设二次函数f(x)=-a2x2+ax+c,其中a,c均为实数.证明:当0≤x≤1时,均有f(x)≤1成立的充要条件是c≤.

证明因为a≥,所以函数f(x)=-a2x2+ax+c图象的对称轴方程为直线x=,且0<≤1,

所以f(x)≤f+c.

因为c≤,且f(x)≤f+c≤=1,所以f(x)≤1.

因为f(x)≤1,所以只需f≤1即可.即+c≤1,从而c≤.综上可知,当0≤x≤1时,均有f(x)≤1成立的充要条件是c≤.