数学人教A版 (2019)2.2 基本不等式当堂达标检测题

2.2　基本不等式

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.已知正实数a、b满足a+b=ab,则ab的最小值为 (　　)

A.1 B. C.2 D.4

答案D

解析∵ab=a+b≥2,()2≥2,∴ab≥4,当且仅当a=b=2时取等号,故ab的最小值为4.

2.已知0<x<1,则当x(1-x)取最大值时,x的值为 (　　)

A. B. C. D.

答案B

解析∵0<x<1,∴1-x>0.∴x(1-x)≤,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立.

3.(多选题)下列不等式一定成立的是(　　)

A.x2+>x(x>0)

B.x+≥2(x>0)

C.x2+1≥2|x|(x∈R)

D.>1(x∈R)

答案BC

解析A中,当x=时,x2+=x,所以A不一定成立;

B中,当x>0时,x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立,所以B一定成立;

C中,不等式x2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,即x2+1≥2|x|恒成立,所以C一定成立;

D中,因为x2+1≥1,所以0<≤1,所以D不成立.

4.(2020江苏南菁高级中学高一月考)如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释,这个说法正确的是(　　)

A.如果a>b>0,那么a>b

B.如果a>b>0,那么a2>b2

C.对任意正实数a和b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立

D.对任意正实数a和b,有a+b≥2,当且仅当a=b时,等号成立

答案C

解析依题意,图中的四个直角三角形是全等的直角三角形,设直角三角形的长直角边为a,短直角边为b,则大正方形的边长为,如题图,整个正方形的面积大于或等于这四个直角三角形的面积和,即a2+b2≥4×ab=2ab,当a=b时,中间空白的正方形消失,即整个正方形与四个直角三角形重合.故选C.

5.(多选题)设x>0,y>0,xy=x+y+a,其中a为参数.下列选项正确的是(　　)

A.当a=0时,x+y的最大值为4

B.当a=0时,x+y的最小值为4

C.当a=3时,xy的最小值为9

D.当a=3时,xy的最大值为3

答案BC

解析当a=0时,x>0,y>0,xy=x+y,∴=1.

x+y=(x+y)=2+≥2+2=4,当且仅当,且=1,即x=y=时,等号成立,x+y取得最小值4,A错误,B正确;

当a=3时,xy=x+y+3≥2+3,当且仅当x=y时,等号成立,解得≥3,即xy≥9,故xy的最小值为9,C正确,D错误.故选BC.

6.已知t>0,则的最小值为　　　　. 

答案-1

解析=t+-3≥2-3=-1,当且仅当t=1时,等号成立.

7.已知正实数x,y满足x+2y=4,则xy的最大值为　　　　　,的最大值为　　　　　. 

答案2　3

解析正实数x,y满足x+2y=4,则xy=x·2y≤=2,当且仅当x=2y即x=2,y=1时,等号成立,故xy的最大值为2.

∵≤2×=3,当且仅当x=y+1,且x+2y=4,

即x=3,y=时,等号成立.

8.设a>0,b>0,且不等式≥0恒成立,求实数k的最小值.

解因为a>0,b>0,所以原不等式可化为k≥-(a+b),所以k≥--2.因为≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立.所以--2的最大值为-4.所以k≥-4,即k的最小值为-4.

9.已知a,b,c为正数,求证:≥3.

证明左边=-1+-1+-1

=-3.

∵a,b,c为正数,

∴≥2(当且仅当a=b时,等号成立);

≥2(当且仅当a=c时,等号成立);

≥2(当且仅当b=c时,等号成立).

从而≥6(当且仅当a=b=c时,等号成立).

∴-3≥3,

即≥3.

等级考提升练

10.(多选题)若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法错误的是(　　)

A.ab有最小值 B.有最小值

C.有最小值1 D.a2+b2有最小值

答案ABD

解析∵a>0,b>0,且a+b=1,∴1=a+b≥2,

∴ab≤,当且仅当a=b=时,等号成立.

∴ab有最大值,∴选项A错误;()2=a+b+2=1+2≤1+2=2,∴,当且仅当a=b=时,等号成立.所以有最大值,∴B项错误;≥1,当且仅当a=b=时,等号成立.∴有最小值1,∴C正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×,当且仅当a=b=时,等号成立.∴a2+b2的最小值是,不是,∴D错误.

11.(2021安徽宣城高一期末)已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则实数m的最大值为(　　)

A.10 B.9 C.8 D.7

答案C

解析因为a>0,b>0,则m≤(2a+b),

所以(2a+b)=4+≥4+2=8,当且仅当,即b=2a时,等号成立,要使不等式恒成立,所以m≤8.

即实数m的最大值为8.故选C.

12.(多选题)对于a>0,b>0,下列不等式中正确的是 (　　)

A. B.ab≤

C.ab≤ D.

答案BCD

解析当a>0,b>0时,因为,

所以,当且仅当a=b时,等号成立,故A不正确;显然B,C,D均正确.

13.已知当x=a时,代数式x-4+(x>-1)取得最小值b,则a+b=(　　)

A.-3 B.2 C.3 D.8

答案C

解析y=x-4+=x+1+-5,由x>-1,得x+1>0,>0,所以由基本不等式得y=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3.

14.(多选题)(2021江苏南通中学高二期中)若实数a>0,b>0,ab=1,则下列选项的不等式中,正确的是(　　)

A.a+b≥2 B.≥2

C.a2+b2≥2 D.≤2

答案ABC

解析因为实数a>0,b>0,ab=1,所以a+b≥2=2成立,当且仅当a=b时等号成立,故A正确;

≥2=2成立,当且仅当a=b时等号成立,故B正确;

a2+b2≥2ab=2成立,当且仅当a=b时等号成立,故C正确;

≥2=2成立,当且仅当a=b时等号成立,故D不正确.故选ABC.

15.已知a>b>c,则的大小关系是　　　　　　　　　　. 

答案

解析∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,

∴.

当且仅当b=时,等号成立.

16.直角三角形的周长等于2,则这个直角三角形面积的最大值为　　　　. 

答案3-2

解析设直角三角形的两直角边长为a,b,则斜边长为,面积为S,周长L=2,由于a+b+=L≥2,当且仅当a=b时,等号成立,

∴.

∴S=ab≤2=·2=L2=3-2.

17.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值.

解∵(x+y)=1+a+,

又x>0,y>0,a>0,

∴≥2=2,

∴1+a+≥1+a+2,

当且仅当y=x时,等号成立.∴要使(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,只需1+a+2≥9恒成立即可.

∴(+1)2≥9,即+1≥3,

∴a≥4,故a的最小值为4,此时y=2x=2.

新情境创新练

18.若a>0,b>0,且(a+b)=1.

(1)求ab的最大值;

(2)是否存在a,b,使得的值为?并说明理由.

解(1)∵(a+b)=1,∴a+b=.

∵a>0,b>0,

∴a+b≥2,当且仅当a=b=时,等号成立,

∴≥2,

∴ab≤,当且仅当a=b=时,等号成立,

∴ab的最大值为.

(2)不存在.理由如下,

∵a>0,b>0,∴≥2,当且仅当a=b=时,等号成立.

∵,∴不存在a,b使得的值为.