高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念第2课时课时练习

6.2.4　向量的数量积

第2课时　向量的数量积的应用

课后·训练提升

基础巩固

1.已知向量a,b和实数λ,下列选项错误的是(　　)

A.|a|= B.|a·b|=|a||b|

C.λ(a·b)=λa·b D.|a·b|≤|a||b|

答案B

2.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与λa-b垂直,则实数λ等于(　　)

A. B.- C.± D.1

解析由题意知(3a+2b)·(λa-b)=3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=3λa2-2b2=12λ-18=0,解得λ=.

答案A

3.已知向量a,b满足|a|=,|b|=2,a·b=-3,则|a+2b|=(　　)

A.1 B. C.4+ D.2

解析根据题意,得|a+2b|=.故选B.

答案B

4.在四边形ABCD中,,且=0,则四边形ABCD是(　　)

A.矩形 B.菱形 C.直角梯形 D.等腰梯形

解析由知四边形ABCD是平行四边形,由=0知AC⊥BD,即对角线互相垂直,因此四边形ABCD是菱形.

答案B

5.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则|a|=(　　)

A.2 B.4 C.6 D.12

解析∵(a+2b)·(a-3b)=-72,

∴a2-a·b-6b2=-72,

∴|a|2-|a||b|cos60°-6|b|2=-72,

∴|a|2-2|a|-24=0,

解得|a|=6或|a|=-4(舍去),∴|a|=6.

答案C

6.若O为△ABC所在平面内任意一点,且满足()·(-2)=0,则△ABC的形状为(　　)

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形

解析因为()·(-2)=0,即·()=0,又因为,所以()·()=0,即||=||,所以△ABC是等腰三角形.

答案A

7.已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cos α=,若向量a=3e1-2e2,则|a|=　　　　　. 

解析∵|a|2=(3e1-2e2)·(3e1-2e2)=9-12e1·e2+4=9-12×1×1×+4=9,∴|a|=3.

答案3

8.已知向量a,b满足(a+2b)·(5a-4b)=0,且|a|=|b|=1,则a与b的夹角θ为　　　　　. 

解析因为(a+2b)·(5a-4b)=0,|a|=|b|=1,

所以6a·b-8+5=0,即a·b=.

又a·b=|a||b|cosθ=cosθ,所以cosθ=.

因为θ∈[0,π],所以θ=.

答案

9.已知非零向量a,b,满足a⊥b,且a+2b与a-2b的夹角为120°,则=　　　　　. 

解析∵a⊥b,∴a·b=0,(a+2b)·(a-2b)=a2-4b2,

|a+2b|=,

|a-2b|=,

∴a2-4b2=×cos120°,

化简得a2-2b2=0,∴.

答案

10.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是60°,则(2a+b)·(2a-b)=　　　　　,|4a-2b|=　　　　　. 

答案0　16

11.已知非零向量a,b,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.

解由向量垂直得

即化简得

∴cos<a,b>=.

又<a,b>∈[0,π],∴a与b的夹角为.

能力提升

1.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等,则|a-b|=(　　)

A.1 B. C. D.3

解析由于投影相等,故有|a|cos<a,b>=|b|cos<a,b>.因为|a|=1,|b|=2,所以cos<a,b>=0,即a⊥b,则|a-b|=.

答案C

2.若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为(　　)

A. B. C. D.π

解析设a与b的夹角为θ,根据题意可知,(a-b)⊥(3a+2b),得(a-b)·(3a+2b)=0,所以3|a|2-a·b-2|b|2=0,3|a|2-|a||b|cosθ-2|b|2=0,再由|a|=|b|,得|b|2-|b|2cosθ-2|b|2=0,得cosθ=,又0≤θ≤π,∴θ=.

答案A

3.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是(　　)

A. B. C. D.

解析因为Δ=|a|2-4|a||b|cosθ(θ为向量a与b的夹角),

若方程有实根,则有Δ≥0即|a|2-4|a||b|cosθ≥0,

又|a|=2|b|,即4|b|2-8|b|2cosθ≥0,

解得cosθ≤,又0≤θ≤π,∴≤θ≤π.

答案B

4.已知a是平面内的单位向量,若向量b满足b·(a-b)=0,则|b|的取值范围是　　　　　. 

解析∵b·(a-b)=a·b-|b|2=|a||b|cosθ-|b|2=0,∴|b|=|a|cosθ=cosθ(θ为a与b的夹角),θ∈[0,π],∴0≤|b|≤1.

答案[0,1]

5.设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是　　　　　. 

解析方法一:由a+b+c=0,得c=-a-b.

又(a-b)⊥c,∴(a-b)·c=0,

∴(a-b)·(-a-b)=0,即a2=b2.

则c2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=a2+b2=2,

∴|a|2+|b|2+|c|2=4.

方法二:如图,作=a.

=b,则=c.

∵a⊥b,∴AB⊥BC,

又a-b=,

(a-b)⊥c,∴CD⊥CA,

∴△ABC是等腰直角三角形.

∵|a|=1,∴|b|=1,|c|=,

∴|a|2+|b|2+|c|2=4.

答案4

6.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角为120°.若|ka+b+c|>1(k∈R),则k的取值范围为　　　　　. 

解析因为|ka+b+c|>1,

所以(ka+b+c)·(ka+b+c)>1,

即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1.

因为a·b=a·c=b·c=cos120°=-,

所以k2-2k>0,

所以

解得k<0或k>2,即k的取值范围是{k|k<0或k>2}.

答案{k|k<0或k>2}

7.设向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.

解由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,

得<0,

即(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,

化简即得2t2+15t+7<0.

画出2t2+15t+7=0的图像,如图.

若2t2+15t+7<0,

则t∈.

当夹角为π时,也有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,

但此时夹角不是钝角,设2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,

则解得

∴所求实数t的取值范围是∪(-,-).