初中数学苏科版九年级上册1.2 一元二次方程的解法教案

课题：1.2一元二次方程的解法（5） 

学习目标：

1、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况

2、用公式法解一元二次方程的过程中，理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用。

重点难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值。

教学过程：

一、情境引入：

1.一元二次方程的求根公式时什么？用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？

一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是

用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式，进而确定a、b、c的值，再求出b2-4ac的值，当b2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解；当b2-4ac＜0时，方程无实数 解(根)

设计思路：复习公式法解一元二次方程，为新课作铺垫．

2.用公式法解下列方程：

⑴ x2＋x－1 = 0       ⑵  x2－2x＋3 = 0        ⑶  2x2－2x＋1 = 0

设计思路：教师与学生一起进行公式的推导，这个教学环节要求较高，需在教师的引导下进行．

二、探究学习：

1．观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？

2．概括总结．

由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定：

          当b2－4ac＞0时，方程有___________________________

          当b2－4ac = 0时，方程有___________________________

          当b2－4ac ＜ 0时，方程____________________________

 我们把_____________叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的判别式。

若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？

当一元二次方程有两个不相等的实数根时，_________________

当一元二次方程有两个相等的实数根时，___________________

当一元二次方程没有实数根时，___________________________

设计思路：通过总结，明确根的判别式与根的关系．

3. 概念巩固：

练习1：按要求完成下列表格：

 设计思路：进一步加强对根的判别式的理解．

4.典型例题：

例1不解方程，判断下列方程根的情况：

1、；           2、；

   3、    

设计思路：通过练习，熟练根的判别式的应用．

例2 ：m为何值时，关于x的一元二次方程2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：

（1）有两个不相等的实数根？

（2）有两个相等的实数根？

（3）没有实数根？

设计思路：通过练习，熟练根的判别式的应用．

5、拓展延伸

例3：m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根。

设计思路：通过练习，熟练根的判别式的应用．

变式：已知：m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0 恒有两个不相等的实数根。

例4：已知关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k＋3 = 0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

设计思路：通过练习，熟练根的判别式的应用及一元二次方程的定义．

5.巩固练习：

练习1.不解方程，判断方程根的情况：

（1）x2+3x-1=0;     (2)x2-6x+9=0;     (3)2y2-3y+4=0      (4)x2+5=x

练习2.k取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根？求这时方程的根。

练习3.已知a、b、c分别是三角形的三边，则关于x的一元二次方程

   （a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（     ）

A、没有实数根             B、可能有且仅有一个实数根

C、有两个相等的实数根     D、有两个不相等的实数根。

设计思路：通过总结和课后作业，巩固所学知识、技能、方法．

三、归纳总结：

    b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。利用根的判别式可以在不解方程的情况下判断一元二次方程的根的情况；反过来由方程的根的情况也可以得知b2-4ac的符号，进而得出方程中未知字母的取值情况。