人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列练习

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4.3.2  等比数列的前n项和（2）

一、单选题

1．各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】由等比数列的性质可得成等比数列，

则，解得，

由，，即，

故选D.

2．数列的前项和为，若，则等于（    ）

A．1    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】因为，

所以，

故选B．

3．数列，，，…，，…的前n项和为（    ）

A．   B．   C．   D．

【答案】B

【解析】∵

∴

=

==

故选B．

4．数列{an}的通项公式an＝，若{an}前n项和为24，则n为（    ）

A．25    B．576    C．624    D．625

【答案】C

【解析】an＝＝－()，

前n项和Sn＝－[(1－)＋(－)]＋…＋()]＝－1＝24，

故n＝624.

故选C.

5．数列{an}的通项公式，其前n项和为Sn，则S2012等于（    ）

A．1006    B．2012    C．503    D．0

【答案】A

【解析】依题意，

故选A

6．如果执行右面的框图，输入，则输出的数等于（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】当时，该程序框图所表示的算法功能为：，

故选D.

7．设，其中每一个的值都是0或2这两个值中的某一个，则一定不属于（    ）

A．   B．   C．   D．

【答案】C

【解析】由题意，当都取时，取最小值；所以排除A；

当，都取时，，所以排除BD；

故选C.

8．已知数列满足，数列的前项和为，则（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】因为，

所以，

两式作差，可得，即，

又当时，，即满足，因此；

所以；

因为数列的前项和为，

所以，

因此.

故选B

9．已知数列前项和为，满足（为常数），且，设函数，记 ，则数列的前17项和为（　　）

A．   B．    C．11    D．17

【答案】D

【解析】因为，

由，得，

数列为等差数列；

，

.

则数列的前17项和为.

故选D．

10．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋an＋1＝ (n ＝1,2,3，…)，则S2n＋1＝（    ）

A．  B．  C．   D．

【答案】B

【解析】依据递推公式的特征，可以分项求和，

则S2n＋1＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2n＋a2n＋1)＝1＋．

故选B.

11．设是以为首项，为公差的等差数列，是为首项，为公比的等比数列，记，则中不超过的项的个数为（    ）

A．8    B．9    C．10    D．11

【答案】C

【解析】由题意可得，，所以，，

则，

所以，数列单调递增，

因为，，则，

则使得不等式成立的最大正整数的值为.

因此，数列中不超过的项的个数为.

故选C.

12．已知数列，的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值为（   ）

A．    B．    C．49    D．

【答案】B

【解析】当时，，解得.当时，由，得，两式相减并化简得，由于，所以，故是首项为，公差为的等差数列，所以.则，故 ，

由于是单调递增数列，，.

故的最小值为，

故选B.

二、填空题

13．一个数列的前n项和，则______．

【答案】1

【解析】当时，；

当时，；

当时，；

所以.

故填1.

14．设数列的通项公式为，该数列的前项和为，则______.

【答案】

【解析】，.

，又，

两式相加得，因此，.

故填.

15．已知函数，则的值为_____．

【答案】

【解析】当，

即时，有，

即当时，恒有， 则，

所以.

故填

16．__________．

【答案】

【解析】，

.

故填.

17．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝________.

【答案】6

【解析】由，∴，则，，∴，

故填6.

18．已知表示不超过的最大整数，例如: .在数列中，，记为数列的前项和，则__________．

【答案】

【解析】当1≤n≤9时，=0；

当10≤n≤99时，=1，此区间所有项的和为90.

当100≤n≤999时，=2，此区间所有项的和为900×2=1800.

当1000≤n≤2018时，=3，此区间所有项的和为3×1019=3057.

所以90+1800+3057=4947.

故填4947

三、解答题

19．在公差为2的等差数列中，，，成等比数列.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【解析】（1）∵的公差为,

∴,.

∵,,成等比数列,

∴,

解得,

从而.

（2）由（1）得,

.

20．已知正项数列满足：，其中为的前项和.

（1）求数列通项公式.

（2）设，求数列前项和.

【解析】（1）令，得，且，解得.    

当时，，即， 

整理得， ，，   

所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，

故.                        

（2）由（Ⅰ）知：，

.

21．数列的前项和为，，．

（1）求数列的通项；

（2）求数列的前项和．

【解析】（1），

，．

又，

数列是首项为，公比为的等比数列，．

当时，，

；

（2），

当时，；

当时，，…………①

，………………………②

得：

．

．

又也满足上式，

．

22．已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，数列的前项和，，且.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

（3）设，，的前项和，求证：.

【解析】（1）因为，所以，

，解得

所以，

当时，，即，

∴是首项为1的常数列，

∴；

（2）

当为偶数时，

当为奇数时，

（3）