高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义优秀复习练习题

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5.1.1 变化率问题同步练习

人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 函数在处的瞬时变化率为  

A.  B.  C.  D.

2. 某水库储水量与水深的关系如下表所示：

在范围内，当水深每增加时，水库储水量的平均变化率

A. 不变 B. 越来越小 C. 越来越大 D. 不能确定

3. 已知函数的图象上一点及邻近一点，则等于   

A.  B.
C.  D.

4. 函数在区间上的平均变化率为

A.  B.  C.  D.

5. 已知点，在函数的图象上，若函数从到的平均变化率为，则下面叙述正确的是

A. 曲线的割线的倾斜角为
B. 曲线的割线的倾斜角为
C. 曲线的割线的斜率为
D. 曲线的割线的斜率为

6. 函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是

A.  B.
C.  D. 与的大小关系不确定

7. 一物体的运动方程是为常数，则该物体在时的瞬时速度是   

A.  B.  C.  D.

8. 若函数在区间上的平均变化率为，则等于

A.  B.  C.  D.

9. 函数在区间上的平均变化率等于 

A.  B.  C.  D.

10. 函数从到的平均变化率为，，则实数的取值为  

A.  B.  C.  D.

11. 已知物体的运动方程为是时间，是位移，则物体在时刻时的速度大小为

A.  B.  C.  D.

12. 某物体的位移与时间的关系可用函数表示，物体在时的瞬时速度为

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 已知圆的面积与其半径之间的函数关系为，其中，则当半径时，圆面积的平均变化率为________．
14. 某婴儿从出生到第个月的体重单位：千克变化情况如图所示，试计算第二年该婴儿体重的平均变化率为                 千克月．

15. 酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，水以的流量倒入杯中，当水深为时，则水面升高的瞬时变化率是_______．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）

16. 已知函数，当自变量由变到时，求：
    自变量的增量；
    函数的增量；
    函数的平均变化率．
    
    
    
    
    
    
     
17. 当圆的半径变化时，圆面积关于的瞬时变化率有什么几何意义？
    当圆的直径变化时，圆周长关于的瞬时变化率有什么几何意义？
    
    
    
    
    
    
     
18. 求一次函数的瞬时变化率．
    
    
    
    
    
    
     
19. 在初速度为的匀加速运动中，路程和时间的关系为
    求关于的瞬时变化率，并说明其物理意义；
    求运动物体的瞬时速度关于的瞬时变化率，说明其物理意义．
    
    
    
    
    
    
     
20. 长方形的周长为，一边长为其面积为．
    写出与之间的函数关系：
    当从增加到时，面积改变了多少？此时，面积关于的平均变化率是多少？解释它的实际意义；
    当长从增加到时，面积改变了多少？此时，面积关于的平均变化率是多少？
    在处，面积关于的瞬时变化电是多少？解释它的实际意义；
    在处，面积关于的瞬时变化率是多少？解释它的实际意义．
    
    
    
    
    
    
     
21. 一个身高的人，以的速度离开路灯，路灯高．
    求身影的长度与人距路灯的距离之间的关系；
    解释身影长的变化率与人步行速度的关系；
    求时，身影长的变化率．
    
    
    
    
    
    
     
22. 一个距地心距离为，质量为的人造卫星，与地球之间的万有引力由公式给出，其中为地球质量，为常量，求对于的瞬时变化率．
    
    
    
    
    
    
     
23. 蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为其中为蜥蜴的体温单位：为太阳落山后的时间单位：．
    从到，蜥蜴的体温下降了多少？
    从到，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？
    当时，蜥蜴的体温的瞬时变化率是多少？
    蜥蜴的体温的瞬时变化率为时的时刻是多少？精确到
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查导数的概念和运算，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
利用函数在处的瞬时变化率为即可求解．
【解答】
解：，，即当时，，
即在点处的瞬时变化率是，
故选D．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平均变化率的问题，属于基础题．
由题意分别求出内，内，内等的平均变化率，从而得出结果．
【解答】
解：水库存水量与水深的关系可知：当在水深内，，，，
所以当水深每增加时，水库存水量的平均变化率是越来越大的．
故选C．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题简单的考察变化率的概念，关键是求出自变量的变化量，函数值的变化量，化简求值．
【解答】
解：由题意，，
，
．
故选D  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查平均变化率的计算，属于基础题．
根据题意，由函数的解析式结合平均变化率的计算公式，计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，，
则有 ；
故选：．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了导数的概念，平均变化率，属于基础题利用函数从到的平均变化率就是割线的斜率，以及斜率与倾斜角之间的关系解答．

【解答】

解：函数从到的平均变化率就是割线的斜率，
所以，割线的倾斜角为，
故选B．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了函数的平均变化率的概念及的求法，解答此题的关键是熟记概念，是基础题．
直接代入函数的平均变化率公式进行化简求解．
【解答】
解：函数在到之间的平均变化量为：

函数在到之间的平均变化量为：

，而，故．
故选：．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

此题考查了变化的快慢与变化率，属于基础题．
根据瞬时速度的定义求解即可．

【解答】

解：，
．
故选A．

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查平均变化率的计算，注意平均变化率的计算公式，属于基础题．
根据题意，求出函数在间上的平均变化率，求出即可．

【解答】

解：令，
因为，
所以．
故选B．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查函数在某区间上的平均变化率，属于基础题．
利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值，利用平均变化率即可得解．
【解答】
解：，
 ．
故选B．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查函数在区间上的平均变化率，考查学生的计算能力，属于基础题．
利用函数的解析式结合平均变化率公式求出即可．
【解答】
解：，，
，，
从到的平均变化率，解得，
故选：．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查导数在物理上的应用，属于基础题熟练掌握导数的运算是解题的关键．
求出的导数，将，代入计算，可得出结果．
 

【解答】

解：运动速度为，
故物体在时的速度为．
故选A．

12.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查导数的计算，涉及导数的定义，属于基础题．
根据题意，求出函数的导数，进而可得的值，由导数的几何意义即可得答案．

【解答】

解：根据题意，，其导数，
则有，
即物体在时的瞬时速度为，
故选A．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查平均变化率的计算，属于基础题．
根据平均变化率的公式计算，即可得到答案．
【解答】
解：圆面积的平均变化率为
．
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】此题考查平均变化率的概念，属于基础题．
根据平均变化率的算法进行求解即可．
【解答】解：第二年的平均变化率为千克月．  

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查导数的基本概念、圆锥的体积公式，导数在解决实际问题中的应用，属于中档题设时刻水面高为，水面圆半径是，求出水的体积为，根据题意得出，利用导数，即可求出结果．
【解答】
解：由题意，如图，

设时刻水面高为，水面圆半径是，
由图知可得，
此时水的体积为，
又由题设条件知，此时的水量为，
故有，
故有，

又当时，有，
故时，，
当水深为时，则水面升高的瞬时变化率是．

故答案为．

16.【答案】解：自变量的增量．
 函数的增量．
函数的平均变化率．
 

【解析】本题考查了导数的概念，是较易题．
自变量的增量进行解答；
函数的增量．
根据函数的平均变化率进行解答．
 

17.【答案】解：圆面积，瞬时变化率，即圆面积关于的瞬时变化率的几何意义是圆的周长；
圆周长，瞬时变化率为，即圆周长关于的瞬时变化率的几何意义是固定常数．
 

【解析】圆面积，求导得瞬时变化率，几何意义是圆的周长；圆周长，求导得瞬时变化率为，几何意义是固定常数．
本题考查瞬时变化率的求法、基本初等函数的求导法则，考查学生的运算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：，
瞬时变化率为．
故一次函数的瞬时变化率为．
 

【解析】先求出函数的改变量，再代入即可得瞬时变化率．
本题考查瞬时变化率的概念和计算方法，考查学生的运算能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：：由题意得，，物理意义是运动的速度；
，物理意义是运动的加速度．
 

【解析】关于的瞬时变化率，即为的导数，其物理意义为物体运动的速度，再对速度求导，物理意义表示为加速度．
本题考查导数在物理中的应用，属于基础题．
 

20.【答案】解：长方形的周长为，一边长为，则另一边为，
所以；
；
，此时面积关于的平均变化率是，它的实际意义是在处，长度改变个单位，面积改变个单位；
，
，
此时面积关于的平均变化率是；
由可知，当时，，即瞬时变化率为，实际意义是在时，面积的增加速度为；
由可知，当时，，即瞬时变化率为，实际意义是在时，面积的增加速度为；
 

【解析】长方形的周长为，一边长为，则另一边为，利用长方形的面积公式即可解题；
先求出面积的改变量，再求面积关于的平均变化率即可，
由可知，当时，的值，即瞬时变化率，再写出它的实际意义即可．
本题主要考查了平均变化率，瞬时变化率，以及导数的实际意义，是中档题．
 

21.【答案】解：设人距路灯的距离，路灯高，，这时影长为，
如图由平几的知识可得，
，
，
即；
设离开路灯的时间为，人步行速度为，则，
，
由导数的意义知人影长度的变化速度，
身影长的变化率与人步行速度成正比；
当时，，

时，身影长的变化率．
 

【解析】利用平行线分线段成比例定理，列出等式求出；
设离开路灯的时间为，人步行速度为，则，得到，然后对求导数，即可判断身影长的变化率与人步行速度的关系；
根据变化率的定义即可求出．
本题考查导数的物理意义，考查函数模型的构建，属于中档题
 

22.【答案】解：，
．
 

【解析】根据导数的物理意义即可求出．
本题考查了导数的物理意义，以及瞬时速度的问题，属于基础题．
 

23.【答案】解：由题意可知，，
当时，，
当时，，
从到，蜥蜴的体温下降了；
从到，蜥蜴的体温的平均变化率为：；
对求导得：，
当时，，
对求导得：，
令得：，
解得：，
时刻时，蜥蜴的体温的瞬时变化率为．
 

【解析】分别求出和时的蜥蜴的体温，即可得到从到，蜥蜴的体温下降量；
利用的结果即可求解；
求出，令，即可求出蜥蜴的体温的瞬时变化率；
令，求出的值，即是蜥蜴的体温的瞬时变化率为时的时刻．
本题主要考查了导数的实际意义，同时也考查了对应用题的理解能力，做题要认真审题，属于中档题．