高中数学人教A版必修第一册5.7 三角函数的应用课时作业含解析 练习

这是一份高中数学人教A版必修第一册5.7 三角函数的应用课时作业含解析，共1页。

[对应学生用书P117]
知识点 A, ω， φ的物理意义
在y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(A>0，ω>0)中，各参数的物理意义.
[微体验]
1．思考辨析
(1)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s，振幅为5 cm，则该振子在2 s内通过的路程为50 cm.( )
(2)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,3)))，则当t＝eq \f(1,200) s时，电流强度I为eq \f(5,2) A．( )
答案 (1)× (2)√
2．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,5)))的周期、振幅、初相依次是( )
A．4π，－2，eq \f(π,5) B．4π，2，eq \f(π,5)
C．π，2，－eq \f(π,5) D．π，－2，eq \f(2π,5)
B [∵A＝2，ω＝eq \f(1,2)，∴周期T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π，振幅A＝2，初相φ＝eq \f(π,5).]
3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s往返一次．
解析 观察图象可知此简谐运动的周期T＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次．
答案 0.8
[对应学生用书P118]
探究一 三角函数模型在物理学中的应用
已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
解 列表如下：
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，得s＝4sin eq \f(π,3)＝2eq \r(3)，所以小球开始振动时的位移是2eq \r(3) cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
[方法总结]
在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝eq \f(2π,ω)为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝eq \f(1,T)为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．
[跟踪训练] 交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,6)))来表示，求：
(1)开始时的电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
解 (1)当t＝0时，E＝110eq \r(3)(V)，即开始时的电压为110eq \r(3) V.
(2)T＝eq \f(2π,100π)＝eq \f(1,50)(s)，即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220eq \r(3) V，当100πt＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即t＝eq \f(1,300) s时第一次取得最大值．
探究二 三角函数模型在实际生活中的应用
已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数
y＝Acs ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8∶00到20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
解 (1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝eq \f(π,6).又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为eq \f(1,2)，函数解析式为y＝eq \f(1,2)cseq \f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．
(2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝eq \f(1,2)cseq \f(π,6)t＋1＞1，cseq \f(π,6)t＞0,2kπ－eq \f(π,2)＜eq \f(π,6)t＜2kπ＋eq \f(π,2)，即12k－3＜t＜12k＋3，(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即上午9：00至下午3：00.
[变式探究1] 若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？
解 由y＝eq \f(1,2)cseq \f(π,6)t＋1＞1.25得cseq \f(π,6)t＞eq \f(1,2)，
2kπ－eq \f(π,3)＜eq \f(π,6)t＜2kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z，即12k－2＜t＜12k＋2，k∈Z.
又0≤t≤24，所以0≤t＜2或10＜t＜14或22＜t≤24，
所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动，即上午10：00至下午2：00.
[变式探究2] 若本例中海滨浴场某区域的水深y(米)与时间t(时)的数据如下表：
用y＝Asin ωt＋b刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式．
解 函数y＝Asin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h，因此eq \f(2π,ω)＝12，ω＝eq \f(π,6).
又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时，ymax＝13，
∴b＝10，A＝13－10＝3，
∴所求函数的解析式为y＝3sin eq \f(π,6)t＋10(0≤t≤24)．
[方法总结]
解三角函数应用问题的基本步骤
提醒：关注实际意义求准定义域．
[对应学生用书P119]
实际生活中具有周期性的现象往往可以借助三角函数模型来描述．
三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
课时作业(四十九) 三角函数的应用
[见课时作业(四十九)P195]
1．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))，那么单摆摆动一个周期所需的时间为( )
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
D [依题意是求函数s＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))的周期，T＝eq \f(2π,2π)＝1.]
2．如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
D [该质点的振动周期为T＝2(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A是错误的；该质点的振幅为5 cm，故B是错误的；该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度是零，故C是错误的．]
3．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
C [由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5，∴ymax＝k＋3＝8.]
4．如图表示电流强度I与时间t的关系为I＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在一个周期内的图象，则该函数解析式为( )
A．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(50πt＋\f(π,3)))
B．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(50πt－\f(π,3)))
C．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,3)))
D．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt－\f(π,3)))
C [A＝300，T＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,150)＋\f(1,300)))＝eq \f(1,50)，ω＝eq \f(2π,T)＝100π，I＝300sin(100πt＋φ)．代入点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,300)，0))，得100π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,300)))＋φ＝0，得φ＝eq \f(π,3)，∴I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,3))).]
5．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/min，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin eq \f(t,2)(0≤t≤20)给出，(F(t)的单位是辆/min，t的单位是min)，则下列哪个时间段内车流量是增加的？( )
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
C [由2kπ－eq \f(π,2)≤eq \f(t,2)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得4kπ－π≤t≤4kπ＋π，k∈Z，当k＝1时，[10,15]⊆[3π，5π]，所以在[10,15]内车流量增加．]
6．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
解析 T＝eq \f(2π,160π)＝eq \f(1,80)(min)．
f＝eq \f(1,T)＝80(次/min)．
答案 80
7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
解析 由题意可知A＝eq \f(28－18,2)＝5，a＝eq \f(28＋18,2)＝23.从而y＝5cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))＋23.故10月份的平均气温值为y＝5cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×4))＋23＝20.5.
答案 20.5
8．一种波的波形为函数y＝－sineq \f(π,2)x的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．
解析 函数y＝－sineq \f(π,2)x的周期T＝4.且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.所以正整数t的最小值是7.
答案 7
9．某地为发展旅游事业，在旅游手册中给出了当地一年12个月每个月的月平均气温表，如图所示(气温单位：℃)．
根据图中提供的数据，试用y＝Asin(ωt＋φ)＋b近似地拟合出月平均气温y与时间t(单位：月)的函数关系．
解 由图知，1月份为最低气温，8月份为最高气温，
则可得A＝eq \f(27－15,2)＝6，T＝16，ω＝eq \f(π,8)，b＝eq \f(27＋15,2)＝21，
∴y＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)t＋φ))＋21.
又当t＝0时，y＝15，
代入得φ＝－eq \f(π,2)，
故解析式为y＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)t－\f(π,2)))＋21.
10．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
解 (1)由函数易知，
当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃；
当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10℃.
所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
(2)令10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝15，
可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝－eq \f(1,2).
当x∈[4,16]，－eq \f(3π,4)≤eq \f(π,8)x－eq \f(5π,4)≤eq \f(3π,4)，
∴eq \f(π,8)x－eq \f(5π,4)＝－eq \f(π,6)，所以x＝eq \f(26,3).
令10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝25，
可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝eq \f(1,2)，
当x∈[4,16]，同理可得，x＝eq \f(34,3).
故该细菌的存活时间为eq \f(34,3)－eq \f(26,3)＝eq \f(8,3) h.
1．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值是3，最小正周期是eq \f(2π,7)，初相是eq \f(π,6)，则这个函数的表达式是( )
A．y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7x－\f(π,6))) B．y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7x＋\f(π,6)))
C．y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7x＋\f(π,42))) D．y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7x－\f(π,42)))
B [由已知得A＝3，T＝eq \f(2π,7)，φ＝eq \f(π,6)，ω＝eq \f(2π,T)＝7，
所以y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7x＋\f(π,6))).]
2．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________cm.
解析 由已知得eq \f(2π,\r(\f(g,l)))＝1，所以eq \r(\f(g,l))＝2π，eq \f(g,l)＝4π2，l＝eq \f(g,4π2).
答案 eq \f(g,4π2)
3．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：
P＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωπt＋\f(π,4)))＋60(美元)(t(天)，A＞0，ω＞0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
解析 因为Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωπt＋\f(π,4)))＋60＝80，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωπt＋\f(π,4)))≤1，所以A＝20.当t＝150(天)时达到最低油价，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(150ωπ＋\f(π,4)))＝－1，此时150ωπ＋eq \f(π,4)＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z，因为ω＞0，所以当k＝1时，ω取最小值，所以150ωπ＋eq \f(π,4)＝eq \f(3,2)π，解得ω＝eq \f(1,120).
答案 eq \f(1,120)
4．如图，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位，如t＝1表示2月1日)；
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
解 (1)设动物种群数量y关于t的解析式为
y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－A＋b＝700，,A＋b＝900，))解得A＝100，b＝800.
又因为周期T＝2×(6－0)＝12.
所以ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6).
所以y＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋φ))＋800.
又当t＝6时，y＝900，
所以900＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×6＋φ))＋800.
所以sin(π＋φ)＝1.所以sin φ＝－1.
所以可取φ＝－eq \f(π,2)，
所以y＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,2)))＋800.
(2)当t＝2时，y＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×2－\f(π,2)))＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
5．(拓广探索)当我们所处的北半球为冬季的时候，新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏，因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游，下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表.
(1)根据这个统计表提供的数据，为惠灵顿市的月平均气温作出一个函数模型；
(2)当自然气温不低于13.7 ℃时，惠灵顿市最适宜旅游，试根据你所确定的函数模型，确定惠灵顿市的最佳旅游时间．
解 (1)以月份x为横轴，温度t为纵轴作出图象，并以光滑的曲线连接各散点，得如图所示的曲线．
由于各地月平均气温的变化是以12个月为周期的函数，依散点图所绘制的图象，我们可以考虑用t＝Acs(ωx＋φ)＋k来描述．
由最高气温为17.9 ℃，最低气温为9.5 ℃，
得A＝eq \f(17.9－9.5,2)＝4.2，k＝eq \f(17.9＋9.5,2)＝13.7.
显然eq \f(2π,ω)＝12，故ω＝eq \f(π,6).
又x＝2时t取最大值，依ωx＋φ＝0，[来源:学_科_网]
得φ＝－ωx＝－eq \f(π,6)×2＝－eq \f(π,3).
所以t＝4.2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(π,3)))＋13.7为惠灵顿市的月平均气温模型函数式．
(2)如图所示，作直线t＝13.7与函数图象交于两点(5,13.7)，(11,13.7)．
这说明在每年的十一月初至第二年的四月末气温不低于13.7 ℃，这是惠灵顿市的最佳旅游时间．
课程标准
核心素养
会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
通过对三角函数的应用的学习，提升“数学建模”“数学抽象”“逻辑推理”“数学运算”的核心素养.
振幅
A
它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离
周期
T＝eq \f(2π,ω)
它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间
频率
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数
相位
ωx＋φ
其中 φ 为初相
t
－eq \f(π,6)
eq \f(π,12)
eq \f(π,3)
eq \f(7π,12)
eq \f(5π,6)
2t＋eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
x/月份
1
2
3
4
5
6
t/气温
17.3
17.9
17.3
15.8
13.7
11.6
x/月份
7
8
9
10
11
12
t/气温
10.06
9.5
10.06
11.6
13.7
15.8