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数学九年级上册6 利用相似三角形测高巩固练习
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这是一份数学九年级上册6 利用相似三角形测高巩固练习，文件包含专题46利用相似三角形测高新版初中北师大版数学9年级上册同步培优专题题库学生版docx、专题46利用相似三角形测高新版初中北师大版数学9年级上册同步培优专题题库教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）
专题4.6利用相似三角形测高
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•宛城区一模）如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则由相似三角形（△AOB∽△DOC），根据平行线分线段成比例可得ABCD=OEOF，代入计算即可解答．
【解析】如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE、OF分别是△AOB、△DOC的高线，
∵练习本中的横格线都平行，
∴△AOB∽△DOC，
∴ABCD=OEOF，即4CD=23，
∴CD＝6cm．
故选：C．
2．（2020•新宾县四模）如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）
A．67 B．3037 C．127 D．6037
【分析】过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE＝x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．
【解析】如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC=12•AB•BC=12•AC•BP，
∴BP=AB⋅BCAC=3×45=125．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴DEAC=BQBP．
设DE＝x，则有：x5=125-x125，
解得x=6037，
故选：D．
3．（2020•天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（ ）
A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m
【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
【解析】∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴ABAC=BECD，
∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，
∴AC＝AB+BC＝14m，
∴1.214=1.5DC，
解得，DC＝17.5，
即建筑物CD的高是17.5m，
故选：A．
4．（2019秋•南岸区期末）如图，在一块斜边长60cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若CD：CB＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（ ）
A．202.5cm2 B．320cm2 C．400cm2 D．405cm2
【分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．
【解析】
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵CD：CB＝1：3，
∴EFBC=AEAB=AFAC=13，
设AF＝x，则AC＝3x，EF＝CF＝2x，
∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即602＝（3x）2+（6x）2，
解得，x＝45，
∴AC＝125，BC＝245，
∴剩余部分的面积=12×245×125-85×85=400（cm2），
故选：C．
5．（2019秋•鹿城区校级月考）如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（ ）
A．4 m B．245m C．5m D．163m
【分析】根据已知易得△ABM∽△DCM，可得对应高BH与HD之比，易得MH∥AB，可得△MDH∽△ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．
【解析】∵AB∥CD，
∴△ABM∽△DCM，
∴BHHC=ABCD=812=23，（相似三角形对应高的比等于相似比），
∵MH∥AB，
∴△MCH∽△ACB，
∴MHAB=CHBC=35，
∴MH8=35，
解得MH=245．
故选：B．
6．（2018秋•嘉兴期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（ ）
A．60mm B．16013mm C．20mm D．24013mm
【分析】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
【解析】如图，设AD交PN于点K．
∵PM：PQ＝3：2，
∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．
∵四边形PQNM是矩形，
∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
∵AD⊥BC，BC∥PM，
∴AD⊥PM，
∴PMBC=AKAD，
∴3k120=80-2k80，
解得k＝20mm，
∴PM＝3k＝60mm，
故选：A．
7．（2019秋•永春县期中）我国古代数学著作中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”其大意是：一座正方形城池，西、北边正中各开一道门，从北门往正北方向走40步后刚好有一树木，若从西门往正西方向走810步后正好看到树木，则正方形城池的边长为（ ）步．
A．360 B．270 C．180 D．90
【分析】设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE=12x，证明Rt△BEA∽Rt△EDC，利用相似比得到4012x=12x810，然后利用比例性质求出x即可．
【解析】如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE=12x，
∵AE∥CD，
∴∠BEA＝∠EDC，
∴Rt△BEA∽Rt△EDC，
∴ABEC=AECD，即4012x=12x810，
∴x＝360，
即正方形城池的边长为360步．
故选：A．
8．（2020•成都模拟）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10m，AOBO=DOCO=23，则容器的内径是（ ）
A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm
【分析】首先连接AD、BC，然后判定△AOD∽△BOC，根据相似三角形的性质可得ADCB=AOBO=23，进而可得答案．
【解析】连接AD、BC，
∵AOBO=DOCO=23，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴ADCB=AOBO=23，
∵A，D两个端点之间的距离为10m，
∴BC＝15m，
故选：C．
9．（2020春•武邑县校级月考）如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆25m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上14cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm，则电线杆的高是（ ）
A．5m B．6m C．125m D．4m
【分析】先求出△ABC∽△AEF，再根据三角形对应高的比等于对应边的比，这样就可以求出电线杆EF的高．
【解析】作AN⊥EF于N，交BC于M，
∵BC∥EF，
∴AM⊥BC于M，
∴△ABC∽△AEF，
∴BCEF=AMAN，
∵AM＝0.7m，AN＝25m，BC＝0.14m，
∴EF=BC×ANAM=0.14×250.7=5（m）．
故选：A．
10．（2019•毕节市）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（ ）
A．100cm2 B．150cm2 C．170cm2 D．200cm2
【分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．
【解析】设AF＝x，则AC＝3x，
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EFBC=AFAC=13，
∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，
解得，x＝25，
∴AC＝65，BC＝125，
∴剩余部分的面积=12×125×65-45×45=100（cm2），
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2017秋•嘉兴期末）某公司门口的栏杆如图，AB＝1.2m，BC＝15m．要使栏杆C端从栏杆水平位置上升到垂直距离（CE）5m处，栏杆A应下降的垂直距离（AD）为 0.4 m．
【分析】证明∴△BAD∽△BCE，然后利用相似比计算AD的长．
【解析】∵AD∥CE，
∴△BAD∽△BCE，
∴AD：CE＝BA：BC，即AD：5＝1.2：15，
解得AD＝0.4（m）．
故答案为0.4．
12．（2020•衡阳模拟）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为 100cm2 ．
【分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．
【解析】设AF＝x，则AC＝3x，
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EFBC=AFAC=13，
∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，
解得，x＝25，
∴AC＝65，BC＝125，
∴剩余部分的面积=12×125×65-45×45=100（cm2），
故答案为：100cm2．
13．（2020•晋安区一模）如图，利用镜子M的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆CD的长度，在镜子上作一个标记，观测者AB看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB的身高为1.6m，量得BM：DM＝2：11，则旗杆的高度为 8.8 m．
【分析】根据题意抽象出相似三角形，然后利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
【解析】根据题意得：△ABM∽△CDM，
∴AB：CD＝BM：DM，
∵AB＝1.6m，BM：DM＝2：11，
∴1.6：CD＝2：11，
解得：CD＝8.8m，
故答案为：8.8．
14．（2019秋•山西期末）太原市某学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕定点O旋转到DC位置，已知栏杆AB的长为3.5m，OA的长为3m，C点到AB的距离为0.3m．支柱OE的高为0.5m，则栏杆D端离地面的距离为 2.3m ．
【分析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，
则DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴DGCH=ODOC，
∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，
∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，
∴OC＝0.5m，
∴DG0.3=30.5，
∴DG＝1.8m，
∵OE＝0.5m，
∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.5＝2.3m．
故答案是：2.3m．
15．（2019秋•西城区期末）在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若a1＝1米，a2＝10米，h＝1.5米，则这个学校教学楼的高度为 15 米．
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质进而得出教学楼的高度．
【解析】由镜面反射原理可得，∠1＝∠2，
△ACB∽△ADE，
故ACAD=BCDE，
则110=1.5ED，
解得：ED＝15（m），
即这个学校教学楼的高度为15米．
故答案为：15．
16．（2020春•沙坪坝区校级期末）我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有Y国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示．若此时眼睛到食指距离l约为63cm，食指AB长约为7cm，旗杆CD高度为28米，则对方与我军距离d约为 252 米．
【分析】将实际问题转化为三角形相似问题求解进而得出答案．
【解析】63cm＝0.63m，AB＝7cm＝0.07m，
∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO，
∴ABCD=0.63d，
即0.0728=0.63d，
d＝252（m），
故答案为：252．
17．（2020•上海）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为 7 米．
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，
∴△ACE∽△BDE，
∴ACBD=AEBE，
∴AC1=1.40.2，
∴AC＝7（米），
故答案为：7．
18．（2020•温州）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为 152 米，BC为 202 米．
【分析】根据已知条件得到△ANE和△BNF是等腰直角三角形，求得AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），于是得到AB＝AN﹣BN＝152（米）；过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，根据矩形的性质得到PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ＝FH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵AE⊥l，BF⊥l，
∵∠ANE＝45°，
∴△ANE和△BNF是等腰直角三角形，
∴AE＝EN，BF＝FN，
∴EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，
∴AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），
∴AN＝252，BN＝102，
∴AB＝AN﹣BN＝152（米）；
过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，
∴AE∥CH，
∴四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形，
∴PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ＝FH，
∵∠1＝∠2，∠AEF＝∠CHM＝90°，
∴△AEF∽△CHM，
∴CHHM=AEEF=2515=53，
∴设MH＝3x，CH＝5x，
∴CQ＝5x﹣10，BQ＝FH＝3x+2，
∵∠APB＝∠ABC＝∠CQB＝90°，
∴∠ABP+∠PAB＝∠ABP+∠CBQ＝90°，
∴∠PAB＝∠CBQ，
∴△APB∽△BQC，
∴APBQ=PBCQ，
∴153x+2=155x-10，
∴x＝6，
∴BQ＝CQ＝20，
∴BC＝202，
故答案为：152，202．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020•雁塔区校级模拟）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看一到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．
【分析】证明△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性质得CK100=10015，然后利用比例性质可求出CK的长．
【解析】DH＝100，DK＝100，AH＝15，
∵AH∥DK，
∴∠CDK＝∠A，
而∠CKD＝∠AHD，
∴△CDK∽△DAH，
∴CKDH=DKAH，即CK100=10015，
∴CK=20003．
答：出南门20003步恰好看一到位于A处的树木．
20．（2020春•莱州市期末）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝30cm，测得AM＝10m，边DF离地面的高度DM＝1.5m，求树高AB．
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【解析】∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴BCEF=CDDE，
∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝10m，
∴BC0.3=100.4，
∴BC＝7.5米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9米，
∴树高为9米．
21．（2020•山西一模）“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．
【分析】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．通过△CND∽△ANB和△EMF∽△AMB的性质求得x的值，然后结合CDAB=DNBN求得大树的高．
【解析】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．
由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，
∴△CND∽△ANB，
∴CDAB=DNBN．
同理，△EMF∽△AMB，
∴EFAB=FMBM．
∵EF＝CD，
∴DNBN=FMBM，即1.1x=1.5x+2.4．
解得x＝6.6，
∵CDAB=DNBN，
∴1.6AB=1.16.6．
解得AB＝9.6．
答：大树AB的高度为9.6米．
22．（2019春•西湖区校级月考）如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板的斜边保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面AC＝1.5m，CD＝8m，求树高．
【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【解析】∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB
∴DEDC=EFCB，
∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，
∴0.48=0.2BC，
∴CB＝4（m），
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）．
答：树高为5.5米．
23．（2019秋•绥德县期末）如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆（AB）的高度：将一根3米高的标杆（CD）竖直放在某一位置，有一名同学站在F处与标杆底端（D）、旗杆底端（B）成一条直线，此时他看到标杆顶端C与旗杆顶端A重合，另外一名同学测得站立（EF）的同学离标杆（CD）3米，离旗杆（AB）30米．如果站立（EF）的同学的眼睛距地面1.6米，过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点G（EF∥AB，CD∥AB，EH∥FB），求旗杆AB的高度．
【分析】过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点G得出△EGC∽△EHA，进而求出AH的长，进而求出AB的长．
【解析】过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点G．
由题意可得，四边形EFDG、GDHB都是矩形，AB∥CD∥EF．
∴△ECG∽△EAH．
∴AHCG=EHEG．
由题意可得：
EG＝FD＝3m，EH＝BF＝30m，CG＝CD﹣GD＝CD﹣EF＝3﹣1.6＝1.4（m）．
∴AH1.4=303，
∴AH＝14（米），
∴AB＝AH+HB＝14+1.6＝15.6（米）．
答：旗杆的高度为15.6米．
24．（2012•茂南区校级一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．
求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝3时，P、Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【分析】（1）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ=12CP×CQ求解；
（2）在Rt△CPQ中，由（1）可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；
（3）应分两种情况，当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据CPCA=CQCB，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据CPCB=CQCA，可求出时间t．
【解析】（1）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
因此Rt△CPQ的面积为S=12×(20-4t)×2t=20t-4t2cm2；
（2）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，
由勾股定理得PQ=CP2+CQ2=82+62=10cm；
（3）分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，CPCA=CQCB，即20-4t20=2t15，解得t＝3；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，CPCB=CQCA，即20-4t15=2t20，解得t=4011．
因此t＝3或t=4011时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）
专题4.6利用相似三角形测高
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•宛城区一模）如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则由相似三角形（△AOB∽△DOC），根据平行线分线段成比例可得ABCD=OEOF，代入计算即可解答．
【解析】如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE、OF分别是△AOB、△DOC的高线，
∵练习本中的横格线都平行，
∴△AOB∽△DOC，
∴ABCD=OEOF，即4CD=23，
∴CD＝6cm．
故选：C．
2．（2020•新宾县四模）如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）
A．67 B．3037 C．127 D．6037
【分析】过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE＝x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．
【解析】如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC=12•AB•BC=12•AC•BP，
∴BP=AB⋅BCAC=3×45=125．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴DEAC=BQBP．
设DE＝x，则有：x5=125-x125，
解得x=6037，
故选：D．
3．（2020•天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（ ）
A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m
【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
【解析】∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴ABAC=BECD，
∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，
∴AC＝AB+BC＝14m，
∴1.214=1.5DC，
解得，DC＝17.5，
即建筑物CD的高是17.5m，
故选：A．
4．（2019秋•南岸区期末）如图，在一块斜边长60cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若CD：CB＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（ ）
A．202.5cm2 B．320cm2 C．400cm2 D．405cm2
【分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．
【解析】
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵CD：CB＝1：3，
∴EFBC=AEAB=AFAC=13，
设AF＝x，则AC＝3x，EF＝CF＝2x，
∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即602＝（3x）2+（6x）2，
解得，x＝45，
∴AC＝125，BC＝245，
∴剩余部分的面积=12×245×125-85×85=400（cm2），
故选：C．
5．（2019秋•鹿城区校级月考）如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（ ）
A．4 m B．245m C．5m D．163m
【分析】根据已知易得△ABM∽△DCM，可得对应高BH与HD之比，易得MH∥AB，可得△MDH∽△ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．
【解析】∵AB∥CD，
∴△ABM∽△DCM，
∴BHHC=ABCD=812=23，（相似三角形对应高的比等于相似比），
∵MH∥AB，
∴△MCH∽△ACB，
∴MHAB=CHBC=35，
∴MH8=35，
解得MH=245．
故选：B．
6．（2018秋•嘉兴期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（ ）
A．60mm B．16013mm C．20mm D．24013mm
【分析】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
【解析】如图，设AD交PN于点K．
∵PM：PQ＝3：2，
∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．
∵四边形PQNM是矩形，
∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
∵AD⊥BC，BC∥PM，
∴AD⊥PM，
∴PMBC=AKAD，
∴3k120=80-2k80，
解得k＝20mm，
∴PM＝3k＝60mm，
故选：A．
7．（2019秋•永春县期中）我国古代数学著作中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”其大意是：一座正方形城池，西、北边正中各开一道门，从北门往正北方向走40步后刚好有一树木，若从西门往正西方向走810步后正好看到树木，则正方形城池的边长为（ ）步．
A．360 B．270 C．180 D．90
【分析】设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE=12x，证明Rt△BEA∽Rt△EDC，利用相似比得到4012x=12x810，然后利用比例性质求出x即可．
【解析】如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE=12x，
∵AE∥CD，
∴∠BEA＝∠EDC，
∴Rt△BEA∽Rt△EDC，
∴ABEC=AECD，即4012x=12x810，
∴x＝360，
即正方形城池的边长为360步．
故选：A．
8．（2020•成都模拟）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10m，AOBO=DOCO=23，则容器的内径是（ ）
A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm
【分析】首先连接AD、BC，然后判定△AOD∽△BOC，根据相似三角形的性质可得ADCB=AOBO=23，进而可得答案．
【解析】连接AD、BC，
∵AOBO=DOCO=23，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴ADCB=AOBO=23，
∵A，D两个端点之间的距离为10m，
∴BC＝15m，
故选：C．
9．（2020春•武邑县校级月考）如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆25m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上14cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm，则电线杆的高是（ ）
A．5m B．6m C．125m D．4m
【分析】先求出△ABC∽△AEF，再根据三角形对应高的比等于对应边的比，这样就可以求出电线杆EF的高．
【解析】作AN⊥EF于N，交BC于M，
∵BC∥EF，
∴AM⊥BC于M，
∴△ABC∽△AEF，
∴BCEF=AMAN，
∵AM＝0.7m，AN＝25m，BC＝0.14m，
∴EF=BC×ANAM=0.14×250.7=5（m）．
故选：A．
10．（2019•毕节市）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（ ）
A．100cm2 B．150cm2 C．170cm2 D．200cm2
【分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．
【解析】设AF＝x，则AC＝3x，
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EFBC=AFAC=13，
∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，
解得，x＝25，
∴AC＝65，BC＝125，
∴剩余部分的面积=12×125×65-45×45=100（cm2），
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2017秋•嘉兴期末）某公司门口的栏杆如图，AB＝1.2m，BC＝15m．要使栏杆C端从栏杆水平位置上升到垂直距离（CE）5m处，栏杆A应下降的垂直距离（AD）为 0.4 m．
【分析】证明∴△BAD∽△BCE，然后利用相似比计算AD的长．
【解析】∵AD∥CE，
∴△BAD∽△BCE，
∴AD：CE＝BA：BC，即AD：5＝1.2：15，
解得AD＝0.4（m）．
故答案为0.4．
12．（2020•衡阳模拟）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为 100cm2 ．
【分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．
【解析】设AF＝x，则AC＝3x，
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EFBC=AFAC=13，
∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，
解得，x＝25，
∴AC＝65，BC＝125，
∴剩余部分的面积=12×125×65-45×45=100（cm2），
故答案为：100cm2．
13．（2020•晋安区一模）如图，利用镜子M的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆CD的长度，在镜子上作一个标记，观测者AB看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB的身高为1.6m，量得BM：DM＝2：11，则旗杆的高度为 8.8 m．
【分析】根据题意抽象出相似三角形，然后利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
【解析】根据题意得：△ABM∽△CDM，
∴AB：CD＝BM：DM，
∵AB＝1.6m，BM：DM＝2：11，
∴1.6：CD＝2：11，
解得：CD＝8.8m，
故答案为：8.8．
14．（2019秋•山西期末）太原市某学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕定点O旋转到DC位置，已知栏杆AB的长为3.5m，OA的长为3m，C点到AB的距离为0.3m．支柱OE的高为0.5m，则栏杆D端离地面的距离为 2.3m ．
【分析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，
则DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴DGCH=ODOC，
∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，
∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，
∴OC＝0.5m，
∴DG0.3=30.5，
∴DG＝1.8m，
∵OE＝0.5m，
∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.5＝2.3m．
故答案是：2.3m．
15．（2019秋•西城区期末）在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若a1＝1米，a2＝10米，h＝1.5米，则这个学校教学楼的高度为 15 米．
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质进而得出教学楼的高度．
【解析】由镜面反射原理可得，∠1＝∠2，
△ACB∽△ADE，
故ACAD=BCDE，
则110=1.5ED，
解得：ED＝15（m），
即这个学校教学楼的高度为15米．
故答案为：15．
16．（2020春•沙坪坝区校级期末）我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有Y国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示．若此时眼睛到食指距离l约为63cm，食指AB长约为7cm，旗杆CD高度为28米，则对方与我军距离d约为 252 米．
【分析】将实际问题转化为三角形相似问题求解进而得出答案．
【解析】63cm＝0.63m，AB＝7cm＝0.07m，
∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO，
∴ABCD=0.63d，
即0.0728=0.63d，
d＝252（m），
故答案为：252．
17．（2020•上海）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为 7 米．
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，
∴△ACE∽△BDE，
∴ACBD=AEBE，
∴AC1=1.40.2，
∴AC＝7（米），
故答案为：7．
18．（2020•温州）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为 152 米，BC为 202 米．
【分析】根据已知条件得到△ANE和△BNF是等腰直角三角形，求得AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），于是得到AB＝AN﹣BN＝152（米）；过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，根据矩形的性质得到PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ＝FH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵AE⊥l，BF⊥l，
∵∠ANE＝45°，
∴△ANE和△BNF是等腰直角三角形，
∴AE＝EN，BF＝FN，
∴EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，
∴AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），
∴AN＝252，BN＝102，
∴AB＝AN﹣BN＝152（米）；
过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，
∴AE∥CH，
∴四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形，
∴PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ＝FH，
∵∠1＝∠2，∠AEF＝∠CHM＝90°，
∴△AEF∽△CHM，
∴CHHM=AEEF=2515=53，
∴设MH＝3x，CH＝5x，
∴CQ＝5x﹣10，BQ＝FH＝3x+2，
∵∠APB＝∠ABC＝∠CQB＝90°，
∴∠ABP+∠PAB＝∠ABP+∠CBQ＝90°，
∴∠PAB＝∠CBQ，
∴△APB∽△BQC，
∴APBQ=PBCQ，
∴153x+2=155x-10，
∴x＝6，
∴BQ＝CQ＝20，
∴BC＝202，
故答案为：152，202．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020•雁塔区校级模拟）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看一到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．
【分析】证明△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性质得CK100=10015，然后利用比例性质可求出CK的长．
【解析】DH＝100，DK＝100，AH＝15，
∵AH∥DK，
∴∠CDK＝∠A，
而∠CKD＝∠AHD，
∴△CDK∽△DAH，
∴CKDH=DKAH，即CK100=10015，
∴CK=20003．
答：出南门20003步恰好看一到位于A处的树木．
20．（2020春•莱州市期末）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝30cm，测得AM＝10m，边DF离地面的高度DM＝1.5m，求树高AB．
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【解析】∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴BCEF=CDDE，
∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝10m，
∴BC0.3=100.4，
∴BC＝7.5米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9米，
∴树高为9米．
21．（2020•山西一模）“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．
【分析】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．通过△CND∽△ANB和△EMF∽△AMB的性质求得x的值，然后结合CDAB=DNBN求得大树的高．
【解析】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．
由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，
∴△CND∽△ANB，
∴CDAB=DNBN．
同理，△EMF∽△AMB，
∴EFAB=FMBM．
∵EF＝CD，
∴DNBN=FMBM，即1.1x=1.5x+2.4．
解得x＝6.6，
∵CDAB=DNBN，
∴1.6AB=1.16.6．
解得AB＝9.6．
答：大树AB的高度为9.6米．
22．（2019春•西湖区校级月考）如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板的斜边保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面AC＝1.5m，CD＝8m，求树高．
【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【解析】∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB
∴DEDC=EFCB，
∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，
∴0.48=0.2BC，
∴CB＝4（m），
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）．
答：树高为5.5米．
23．（2019秋•绥德县期末）如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆（AB）的高度：将一根3米高的标杆（CD）竖直放在某一位置，有一名同学站在F处与标杆底端（D）、旗杆底端（B）成一条直线，此时他看到标杆顶端C与旗杆顶端A重合，另外一名同学测得站立（EF）的同学离标杆（CD）3米，离旗杆（AB）30米．如果站立（EF）的同学的眼睛距地面1.6米，过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点G（EF∥AB，CD∥AB，EH∥FB），求旗杆AB的高度．
【分析】过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点G得出△EGC∽△EHA，进而求出AH的长，进而求出AB的长．
【解析】过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点G．
由题意可得，四边形EFDG、GDHB都是矩形，AB∥CD∥EF．
∴△ECG∽△EAH．
∴AHCG=EHEG．
由题意可得：
EG＝FD＝3m，EH＝BF＝30m，CG＝CD﹣GD＝CD﹣EF＝3﹣1.6＝1.4（m）．
∴AH1.4=303，
∴AH＝14（米），
∴AB＝AH+HB＝14+1.6＝15.6（米）．
答：旗杆的高度为15.6米．
24．（2012•茂南区校级一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．
求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝3时，P、Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【分析】（1）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ=12CP×CQ求解；
（2）在Rt△CPQ中，由（1）可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；
（3）应分两种情况，当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据CPCA=CQCB，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据CPCB=CQCA，可求出时间t．
【解析】（1）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
因此Rt△CPQ的面积为S=12×(20-4t)×2t=20t-4t2cm2；
（2）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，
由勾股定理得PQ=CP2+CQ2=82+62=10cm；
（3）分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，CPCA=CQCB，即20-4t20=2t15，解得t＝3；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，CPCB=CQCA，即20-4t15=2t20，解得t=4011．
因此t＝3或t=4011时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
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