初中数学北师大版九年级上册5 相似三角形判定定理的证明课后练习题

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初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）
专题4.5相似三角形判定定理的证明
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋•岳麓区校级期末）如图，已知∠ACD＝∠B，若AC＝6，AD＝4，BC＝10，则CD长为（　　）

A．203 B．7 C．8 D．9
【分析】由∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，即可判定△ACD∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解析】∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴ACAD=BCCD，
∵AC＝6，AD＝4，BC＝10，
∴64=10CD，
∴CD=203．
故选：A．
2．（2020•肥东县二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D是AC中点，E是BC上一点，BE=52，∠AED＝∠B，则CE的长为（　　）

A．152 B．223 C．365 D．649
【分析】证明△BAE∽△CED，推出BACE=BECD可得结论．
【解析】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠B，
∴∠DEC＝∠BAE，
∴△BAE∽△CED，
∴BACE=BECD，
∵AB＝AC＝6，AD＝DC＝3，BE=52，
∴6CE=523，
∴CE=365，
故选：C．
3．（2020•成都模拟）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，连接AD，点F在线段AD上，EF∥BD，且交AB于点E，FH∥AC，且交CD于点H，则下列结论一定正确的是（　　）

A．ABAE=AFAD B．DHCH=DFAD C．FHAC=EFBD D．AEBE=CHDH
【分析】根据EF∥BD，可得△AEF∽△ABD，根据FH∥AC，可得△DHF∽△DCA，再根据相似三角形的性质即可求解．
【解析】∵EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∴ABAE=ADAF，故A错误；
EFBD=AFAD，
AEBE=AFDF．
∵FH∥AC，
∴△DHF∽△DCA，
∴DHDC=DFDA，故B错误；
FHAC=DFDA，
AFDF=CHDH，
∴FHAC≠EFBD，故C错误；
AEBE=CHDH，故D正确．
故选：D．
4．（2019秋•罗湖区校级期末）如图，△ABC中，AD＝AC，延长CD至B，使BD＝CD，ED⊥BC交AB于E，EC交AD于F，下列四个结论：
①EB＝EC：
②BC＝2AD；
③△ABC∽△FCD；
④若AC＝6，则DF＝3．
其中正确的个数有（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BE＝CE，BC＝2BD＝2CD，故①正确；②错误；根据等腰三角形的性质得到∠ADC＝∠ACB，推出△ABC∽△FCD；故③正确；根据相似三角形的性质得到CDBC=DFAC，得到DF＝3，故④正确．
【解析】∵BD＝CD，ED⊥BC，
∴BE＝CE，BC＝2BD＝2CD，故①正确；②错误；
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACB，
∵∠B＝∠ECB，
∴△ABC∽△FCD；故③正确；
∴CDBC=DFAC，
∵BC＝2CD，
∴AD＝AC＝2FD＝6，
∴DF＝3，故④正确；
故选：C．
5．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，点D，E是正△ABC两边上的点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点恰好落在边AC上，当AC＝4AF时，BDBE的值是（　　）

A．23 B．34 C．35 D．57
【分析】根据等边三角形的性质得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，根据折叠的性质得到∠DFE＝∠B＝60°，BD＝DF，BE＝EF，根据相似三角形的性质得到BDBE=AB-BDCF=AFCE，设AF＝x，则AC＝4x，CF＝3x，解方程组即可得到结论．
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点恰好落在边AC上，
∴∠DFE＝∠B＝60°，BD＝DF，BE＝EF，
∴∠AFD+∠ADF＝∠AFD+∠CFE＝120°，
∴∠ADF＝∠CFE，
∴△ADF∽△CFE，
∴DFEF=ADCF，
∴BDBE=AB-BDCF=AFCE，
∵AC＝4AF，
∴设AF＝x，则AC＝4x，CF＝3x，
∴BDBE=4x-BD3x=x4x-BE，
∴3BDx=4BEx-BD⋅BE①BEx=4BDx-BD⋅BE②，
①﹣②得，3BD﹣BE＝4BE﹣4BD，
∴7BD＝5BE，
∴BDBE=57，
故选：D．
6．（2020•萧山区模拟）已知平行四边形ABCD，点E是DA延长线上一点，则（　　）

A．AEAD=AMCD B．AEAD=EMMC C．BMCD=BFBD D．EDBC=ADBM
【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB∥CD，AD∥BC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△AEM∽△DEC，
∴AEED=AMCD，故A错误；
∵AM∥CD，
∴AEAD=EMMC，故B正确；
∵BM∥CD，
∴△BMF∽△DCF，
∴BMCD=BFFD，故C错误，
∵ED∥BC，
∴△EFD∽△CFB，
∴EDBC=DFBF，
∵AB∥CD，
∴△BFM∽△DFC，
∴CDBM=DFBF，
∴EDBC=CDBM，故D错误．
故选：B．
7．（2020•碑林区校级四模）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F．若AB＝4，BC＝6，则CF的长为（　　）

A．94 B．3 C．32 D．1
【分析】由矩形性质知∠B＝∠C＝90°，得∠BAE+∠BEA＝90°，再由AE⊥EF知∠BEA+∠CEF＝90°，从而得∠BAE＝∠CEF，即可证△ABE∽△ECF得ABEC=BECF，代入计算可得．
【解析】∵E是BC的中点，BC＝6，
∴BE＝CE＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BEA+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
∴ABEC=BECF，即43=3CF，
解得CF=94，
故选：A．
8．（2020•黄岛区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若BC＝8，AB＝10，则CE的长为（　　）

A．3 B．165 C．103 D．83
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【解答】解一：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠FAD，
∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，
∴FC＝FG，
∵BC＝8，AB＝10，∠ACB＝90°，
∴AC＝6，
∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，
∴△BFG∽△BAC，
∴BFAB=FGAC，
∴8-FC10=FG6，
∵FC＝FG，
∴8-FC10=FC6，
解得：FC＝3，
即CE的长为3．
解二：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠FAD，
∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，
∴FC＝FG．
∵BC＝8，AB＝10，∠ACB＝90°，
∴AC＝6．
设FG＝x，则FC＝x．
∵S△ABC＝S△AFC+S△AFB，
∴12×6x+12×10x=12×6×8，
∴x＝3．
∴CE＝3．
故选：A．

9．（2020•宝山区二模）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，如果AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF：EH＝2：3，那么EH的长为（　　）

A．12 B．32 C．1213 D．2
【分析】设EH＝3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出△AEH的边EH上的高，根据△AEH与△ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．
【解析】如图所示：
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴AMAD=EHBC，
设EH＝3x，则有EF＝2x，AM＝AD﹣EF＝2﹣2x，
∴2-2x2=3x3，
解得：x=12，
则EH=32．
故选：B．

10．（2020•下城区一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，将△ABC绕点B逆时针旋转得△DBE，点E在AC上，若ED＝3，EC＝1，则EB＝（　　）

A．3 B．32 C．3+12 D．2
【分析】根据∠ABC＝∠BEC，∠C＝∠C，即可判定△ABC∽△BEC，再根据相似三角形的性质，即可得到BC的长，进而得到BE的长．
【解析】由旋转可得，△ABC≌△DBE，
∴BC＝BE，DE＝AC＝3，
∴∠C＝∠BEC，
又∵∠ABC＝∠C，
∴∠ABC＝∠BEC，
又∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BEC，
∴ECBC=BCAC，即BC2＝CE×CA，
∴BC=1×3=3，
∴BE=3，
故选：A．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春•舞钢市期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是AB中点，连接CE，交BD于点F，若EF＝1，则CF的长是　2　．

【分析】利用平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，则BE=12AB=12CD，再证明△BEF∽△DCF，然后利用相似比可计算出CF的长．
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵点E是AB中点，
∴BE=12AB=12CD，
∵BE∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴EFCF=BECD=12，
∴CF＝2EF＝2．
故答案为2．
12．（2020春•文登区期末）如图，点D是△ABC中AB边上的一点，且AD＝2BD，连接CD，取CD的中点E，连接BE并延长，交AC于点F．若AC＝5，则CF＝　54　．

【分析】过点C作AB的平行线，交BF的延长线于G，则∠G＝∠DBE，依据△BDE≌△GCE，即可得出CG＝BD，再根据△ABF∽△CGF，即可得到CF的长．
【解析】如图所示，过点C作AB的平行线，交BF的延长线于G，则∠G＝∠DBE，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
又∵∠BED＝∠GEC，
∴△BDE≌△GCE（AAS），
∴CG＝BD，
∵AD＝2BD，
∴AB＝3BD＝3CG，
∵AB∥GC，
∴△ABF∽△CGF，
∴CFAF=CGAB=13，
∴CF=14AC=14×5=54，
故答案为：54．

13．（2019秋•呼兰区期末）如图，已知△ADC中，∠ADC＝90°，AB交CD于E，且AB＝AC，∠BCD＝45°，DE：CE＝9：7，BC＝22，则AE的长度为　152　．

【分析】过点B作BH⊥CD于点H，作BF⊥AD交AD的延长线于点F，求出BH＝DF＝2，证明△ACD≌△BAF（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝CD，设DE＝9x，CE＝7x，则CD＝16x，AD＝16x﹣2，证明△ADE∽△CDA，由相似三角形的性质得出ADCD=DEAD，得出方程（16x﹣2）2＝16x•9x，解方程求出x，则可得出AD和DE的长，由勾股定理可求出答案．
【解析】过点B作BH⊥CD于点H，作BF⊥AD交AD的延长线于点F，

∵∠BCD＝45°，BC＝22，
∴∠HCB＝∠HBC＝45°，
∴CH＝BH＝2，
∵∠BHD＝∠HDF＝∠F＝90°，
∴四边形HDBF为矩形，
∴BH＝DF＝2，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠ACD＝∠ABH，
∵∠ADH＝∠BHD＝90°，
∴BH∥AD，
∴∠ABH＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠ACD，
又∵∠AFB＝∠ADC＝90°，
∴△ACD≌△BAF（AAS），
∴AF＝CD，
∵DE：CE＝9：7，
∴设DE＝9x，CE＝7x，
∴CD＝16x，
∴AD＝16x﹣2，
∵∠ADE＝∠ADC，∠EAD＝∠ACD，
∴△ADE∽△CDA，
∴ADCD=DEAD，
∴AD2＝CD•DE，
∴（16x﹣2）2＝16x•9x，
解得x=12或x=114（舍去），
∴AD＝6，DE=92，
∴AE=AD2+DE2=36+(92)2=152．
故答案为：152．
14．（2020•大连）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，CE与BD相交于点F．设DE＝x，BF＝y，当0≤x≤8时，y关于x的函数解析式为　y=80x+8　．

【分析】根据题干条件可证得△DEF∽△BCF，从而得到DEBC=DFBF，由线段比例关系即可求出函数解析式．
【解析】在矩形 中，AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴DEBC=DFBF，
∵BD=BC2+CD2=10，BF＝y，DE＝x，
∴DF＝10﹣y，
∴x8=10-yy，化简得：y=80x+8，
∴y关于x的函数解析式为：y=80x+8，
故答案为：y=80x+8．
15．（2020•顺德区模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE，△BCE，△CDE两两相似时，则AE＝　32或1　．

【分析】分情况讨论：∠CED＝90°和∠CDE＝90°，利用角平分线的性质和直角三角形30度角的性质分别可得AE的长．
【解析】分两种情况：
①当∠CED＝90°时，如图1，
过E作EF⊥CD于F，

∵AD∥BC，AD＜BC，
∴AB与CD不平行，
∴当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，
∴∠BEC＝∠CDE＝∠ADE，
∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴AE＝EF，EF＝BE，
∴AE＝BE=12AB=32，
②当∠CDE＝90°时，如图2，

∵当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，
∴∠CEB＝∠CED＝∠AED＝60°，
∴∠BCE＝∠DCE＝30°，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴BE＝ED＝2AE，
∵AB＝3，
∴AE＝1，
综上，AE的值为32或1．
故答案为：32或1．
16．（2020•浉河区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝　4或6　．

【分析】分别利用，当MN∥BC时，以及当∠ANM＝∠B时，分别得出相似三角形，再利用相似三角形的性质得出答案．
【解析】如图1，当MN∥BC时，
则△AMN∽△ABC，
故AMAB=ANAC=MNBC，
则39=MN12，
解得：MN＝4，
如图2所示：当∠ANM＝∠B时，
又∵∠A＝∠A，
∴△ANM∽△ABC，
∴AMAC=MNBC，
即36=MN12，
解得：MN＝6，
故答案为：4或6．


17．（2019秋•锦江区校级月考）如图，已知BD⊥AB于点B，AC⊥AB于点A，且BD＝3，AC＝2，AB＝m，在线段AB上找一点E，使△BDE与△ACE相似，若这样的点E有且只有两个，则m的值是　5或26　．

【分析】当∠ACE＝∠BDE时，△ACE∽△BDE，得出AEBE=ACBD=23，AE=23BE①，当∠ACE＝∠BED时，△ACE∽△BED，得出AEBD=ACBE，即AE×BE＝AC×BD＝6②，由①②得出23BE2＝6，解得BE＝3，AE＝2，得出m＝5；当AE＝2时，BE＝3，两个三角形相似；当AE＝3时，BE＝2，两个三角形全等，符合题目要求；
设AE＝x，则BE＝m﹣x，得出x：3＝2：（m﹣x），整理得x2﹣mx+6＝0，方程有唯一解时，△＝m2﹣24＝0，解得m＝26，当m＝26时，AE：BE＝2：3时，两个三角形相似；AE＝BE=6时，两个三角形相似；同样是两个点可以满足要求；即可得出答案．
【解析】∵BD⊥AB于点B，AC⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
当∠ACE＝∠BDE时，△ACE∽△BDE，
∴AEBE=ACBD=23，
∴AE=23BE①，
当∠ACE＝∠BED时，△ACE∽△BED，
∴AEBD=ACBE，即AE×BE＝AC×BD＝2×3＝6②，
由①②得：23BE2＝6，
解得：BE＝3，
∴AE＝2，
∴AB＝AE+BE＝5，即m＝5；
当AE＝2时，BE＝3，两个三角形相似；
当AE＝3时，BE＝2，两个三角形全等，符合题目要求；
设AE＝x，则BE＝m﹣x，
∴x：3＝2：（m﹣x），
整理得：x2﹣mx+6＝0，
方程有唯一解时，△＝m2﹣24＝0，
解得：m＝±26（负值舍去），
∴m＝26；
当m＝26时，
AE：BE＝2：3时，两个三角形相似；
AE＝BE=6时，两个三角形相似；同样是两个点可以满足要求；
综上所述，△BDE与△ACE相似，若这样的点E有且只有两个，则m的值是5或26；
故答案为：5或26．
18．（2019秋•淅川县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点D、E分别是边AB，BC上的点，连结DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，点B的对称点F恰好落在边AC上，若以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则BE的长为　127或2　．

【分析】根据折叠的性质得到BE＝EF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，
∴BE＝EF，
∵BC＝4，
∴CE＝4﹣BE，
∵以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，
∴CEBC=EFAB或CEAC=EFAB，即4-BE4=BE3或4-BE3=BE3，
解得：BE=127或2，
故答案为：127或2．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋•靖远县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于E，D是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证：△AFE∽△BCE．

【分析】根据等腰三角形的性质，由AB＝AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC＝∠BEC＝90°，再证明∠FAE＝∠CBE，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．
【解答】证明：∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠FAE+∠AFE＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠BFD＝90°，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠FAE＝∠CBE，
∴△AFE∽△BCE．
20．（2020•南海区校级模拟）在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AB、AC交于E、D两点．
（1）请用尺规作图作出AB的垂直平分线DE；
（2）连接BD，证明：△ABC∽△BDC．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法作出线段AB的垂直平分线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质求出∠BAC＝∠ABD，故可得出∠CBD的度数，再由相似三角形的判定定理即可得出结论．
【解答】（1）解：如图所示；

（2）证明：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD．
∵∠BAC＝40°，∠ABC＝80°，
∴∠BAC＝∠ABD，
∴∠CBD＝80°﹣40°＝40°，即∠CBD＝∠BAC．
∵∠C是公共角．
∴△ABC∽△BDC．

21．（2019秋•全椒县期末）如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．
（1）证明：△ACD∽△ABE．
（2）若将D，E连接起来，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．

【分析】（1）根据已知利用有两个角相等的三角形相似判定即可；
（2）根据第一问可得到AD：AE＝AC：AB，有一组公共角∠A，则可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似进行判定．
【解答】证明：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°．
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABE．

（2）连接DE，
∵△ACD∽△ABE，
∴AD：AE＝AC：AB，
∴AD：AC＝AE：AB，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC．

22．（2018秋•枞阳县期末）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到点B止，动点E从点C出发到点A止．点D运动速度为1cm/s，点E运动速度为2cm/s．如果两个点同时运动，多长时间△ADE与△ABC相似？

【分析】如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．
【解析】如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．
①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．
∴AD：AB＝AE：AC，
∴t：6＝（12﹣2t）：12，
∴t＝3；
②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．
∴AD：AC＝AE：AB，
∴t：12＝（12﹣2t）：6，
∴t＝4.8．
所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
23．（2018秋•霍邱县期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，D是AB上的一点，AD＝2，在线段AC上是否存在一点E，使A，D，E三点组成的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出AE的长；如果不存在，请说明理由．

【分析】由勾股定理的逆定理可得∠BAC＝90°，由相似三角形的性质可求解．
【解析】存在，
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵A，D，E三点组成的三角形与△ABC相似，
∴△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED，
∴ADAB=AEAC或ADAC=AEAB，
∴23=AE4或24=AE3，
∴AE=83或32，
24．（2020春•吴中区期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．
（1）求证：△DFC∽△CBE；
（2）若AD＝4，CD＝6，DE＝3，求DF的长．

【分析】（1）利用平行四边形的性质得AD∥BC，CD∥AB，则根据平行线的性质得到∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，再证明∠DFC＝∠B，则可判断△DFC∽△CBE；
（2）利用平行四边形的性质得到BC＝AD＝4，利用平行线的性质得DE⊥DC，则利用勾股定理可计算出CE＝35，然后利用相似比求出DF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，
∵∠DFE＝∠A，
∴∠DFE+∠B＝180°，
而∠DFE+∠DFC＝180°，
∴∠DFC＝∠B，
而∠DCF＝∠CEB，
∴△DFC∽△CBE；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，BC＝AD＝4，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥DC，
∴∠EDC＝90°，
在Rt△DEC中，CE=DE2+DC2=32+62=35，
∵△DFC∽△CBE，
∴DF：BC＝DC：CE，即DF：4＝6：35，
∴DF=855．