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    2021年人教版高中数学必修第二册(精讲)8.6《空间直线、平面的垂直》(2)(解析版)学案
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    人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直学案设计

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直学案设计,共14页。学案主要包含了面面角等内容,欢迎下载使用。

    8.6 空间直线、平面的垂直(2)(精讲)

     

     

     

     

     

     

    考法一  线线角

    【例1】(2021·广西河池市·高一期末)如图,在四棱锥中,平面,四边形为正方形,的中点,则异面直线所成的角的正弦值为(    ).

    A. B. C. D.

    【答案】D

    【解析】连相交于点,连

    因为的中点,的中点,有,可得为异面直线所成的角,不妨设正方形中,,则

    平面,可得

    因为的中点,所以

    故选:D.

    【一隅三反】

    1.(2021·浙江高一期末)在正方体中,是正方形的中心,则直线与直线所成角大小为(   

    A.30° B.45° C.60° D.90°

    【答案】A

    【解析】设正方体的棱长为,连接

    因为,故或其补角为直线与直线所成角.

    ,所以

    所以,因为为锐角,故

    故选:A.

    2.(2021·西安市航天城第一中学高一期末)在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑,如图,在鳖臑ABCD中,AB平面BCD,且AB=BC=CD,则异面直线ACBD所成角的余弦值为(   

    A. B.- C.2 D.

    【答案】A

    【解析】如图所示,

    分别取的中点,则

    或其补角为异面直线所成角.

    ,则

    异面直线所成角的余弦值为

    故选:A.

    3.(2021·陕西西安市·西安中学高一期末)如图,四面体中,EF分别是的中点,若,则所成的角的大小是(   

    A. B. C. D.

    【答案】A

    【解析】如图所示:

    BC的中点G,连接EGFG

    因为EFG都为中点,所以,

    所以分别为异面直线EFABEFCD所成的角,

    因为,所以

    又因为,所以 所以,

    因为,所以故选:A

    考法二  线面角

    【例2】(2021·河南高一期末)在三棱柱中,,且,则直线与平面所成的角的大小为(  )

    A.30° B.45° C.60° D.90°

    【答案】A

    【解析】

    平面

    平面

    就是与平面所成的角,即与平面所成的角是

    棱柱中与平面所成的角的大小为

    故选:A.

    【一隅三反】

    1.(2021·全国高一课时练习)直三棱柱中,,则与面成角的正弦值为(   

    A. B. C. D.

    【答案】A

    【解析】如图,过,连接

     

    在直三棱柱中,因为

    所以平面

    在平面上的射影为,

    所以为直线与平面所成的角,

    ,又

    所以

    故选:A

    2.(2021·浙江高一期末)如图,已知平面平面为等边三角形,F的中点.

    )求证:平面

    )求直线和平面所成角的正弦值.

    【答案】()证明见解析;(

    【解析】()取CE中点G,连接BG,FG,如图所示:

    因为F、G分别为CD、CE的中点,

    所以

    又因为平面平面

    所以,

    所以

    所以四边形ABGF为平行四边形,

    所以

    又因为平面平面

    所以平面

    )因为平面平面ACD

    所以,所以

    为等边三角形,FCD的中点,

    所以

    平面CDE

    所以平面CDE,即平面CDE

    平面CDE,则

    连接DG,BD,如图所示,

    即为直线和平面所成角,

    ,在中,

    在直角梯形ABED中,

    中,

    所以

    所以直线和平面所成角的正弦值为.

    3.(2021·河南焦作市·高一期末)如图,四棱锥的底面为正方形,底面分别为的中点.

    (1)求证:平面

    (2)若,求直线与平面所成线面角的正弦值.

    【答案】(1)证明见解析;(2).

    【解析】(1)因为底面底面

    所以,因为分别为正方形的边的中点,

    所以,所以,由

    所以,所以

    因为平面平面

    所以平面.

    (2)由(1)可知平面

    ,如图,连接,则即为直线与平面所成线面角,

    因为,所以

    中,由于,所以

    所以,所以

    所以在中,,即直线与平面所成线面角的正弦值为.

    考法三 面面角

    【例3】(2021·全国高一课时练习)如图,三棱台的下底面是正三角形,则二面角的大小是(   

    A.30° B.45° C.60° D.90°

    【答案】C

    【解析】三棱台中,,且

    ,又,且,

    所以平面

    所以的二面角,

    因为为等边三角形,

    所以.

    故选:C

    【一隅三反】

    1.(2021·浙江高一期末)长方体中,,则二面角的余弦值的大小为(   

    A. B. C. D.

    【答案】B

    【解析】

    中点,连接,因为

    所以,所以即为二面角的平面角,连接

    ,所以,又因为

    中,

    所以二面角的余弦值为

    故选:B

    2.(2021·浙江高一期末)如图,已知平面

    )求证:平面平面

    )若,求二面角的大小.

    【答案】()证明见解析;(

    【解析】(平面平面

    平面

    平面平面平面

    )由(1)得平面

    平面

    即为二面角的平面角,

    在直角三角形中,,则

    ,即二面角的大小为.

    3.(2021·陕西西安市·西安中学高一期末)如图所示,在长方体中,,点E的中点.

    (1)证明:平面

    (2)证明:

    (3)求二面角的正切值.

    答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).

    【解析】(1)如图所示:

    连接于点O,连接,则O的中点.

    E的中点,

    平面平面

    平面.

    (2)由题意可知,四边形是正方形,

    .

    平面平面

    .

    平面平面

    平面.

    平面

    ,即.

    (3)在中,

    平面平面

    .

    平面平面

    平面.

    平面

    .

    是二面角的平面角.

    A中,

    二面角的正切值为.

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