苏教版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式学案设计

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式学案设计，共6页。


A.熟练掌握基本不等式及变形的应用.
B.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
C.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
1. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
2. 能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
1．重要不等式
当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥ ，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把 称为正数a，b的算术平均数，把 称为正数a，b的几何平均数．
(2)基本不等式定义：如果a，b是正数，那么eq \r(ab)≤ ，当且仅当 时取“＝”．
(3)变形： ≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)，a＋b≥ (其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．
题型一 基本不等式与最值
例1 (1)若x>0，求函数y＝x＋eq \f(4,x)的最小值，并求此时x的值；
(2)设0(3)已知x>2，求x＋eq \f(4,x－2)的最小值；
(4)已知x>0，y>0，且 eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值.
变式训练：(1)已知x>0，求f(x)＝eq \f(12,x)＋3x的最小值；
(2)已知x<3，求f(x)＝eq \f(4,x－3)＋x的最大值.
题型二 基本不等式在实际问题中的应用
例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
变式训练：某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
1.已知x≥eq \f(5,2)，则f(x)＝eq \f(x2－4x＋5,2x－4)有( )
A.最大值eq \f(5,2) B.最小值eq \f(5,4) C.最大值1 D.最小值1
2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m
3．设f(x)＝eq \f(50x,x2＋1)，求f(x)在(0，＋∞)上的最大值；
4．设x，y都是正数，且eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝3，求2x＋y的最小值.
参考答案
1．答案 D
解析 由x≥eq \f(5,2)>2得，f(x)＝eq \f(x2－4x＋5,2x－4)＝eq \f(x－22＋1,2x－2)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x－2＋\f(1,x－2)))≥1.
当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)，即x＝3时等号成立.
2．答案 C
解析 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则eq \f(1,2)ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋eq \r(a2＋b2)≥2eq \r(ab)＋eq \r(2ab)＝4＋2eq \r(2)≈6.828(m)(当且仅当a＝b时，取等号).
因为要求够用且浪费最少，故选C.
3．解 当x>0时，有x＋eq \f(1,x)≥2，
∴f(x)＝eq \f(50x,x2＋1)＝eq \f(50,x＋\f(1,x))≤25.
当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时等号成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上的最大值是25.
4．解 ∵eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝3，∴eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(2,y)))＝1.
∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(2,y)))
＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋\f(y,x)＋\f(4x,y)))≥eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋2\r(\f(y,x)·\f(4x,y))))
＝eq \f(4,3)＋eq \f(4,3)＝eq \f(8,3).
当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(4x,y)，即y＝2x时，取等号.
又∵eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝3，∴x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(4,3).
∴2x＋y的最小值为eq \f(8,3).