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人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式同步练习题
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式同步练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共14小题）
1. 下列式子中最小值为 2 的是
A. x+1xB. x2+2+1x2+2C. x2+2x2D. x2+2x2+1
2. 若 x>0，则 x+4x 的最小值为
A. 2B. 3C. 22D. 4
3. 对于 a>0，b>0，下列不等式中不正确的是
A. 21a+1b≤abB. ab≤a2+b22
C. ab≤a+b22D. a+b22≥a2+b22
4. 以长为 10 m 的线段 AB 为直径作半圆，则其内接矩形的面积的最大值为
A. 10B. 15C. 25D. 50
5. 下列不等式一定成立的是
A. x+y≥2xyB. ∣x∣+∣y∣≥2xy
C. ∣x∣+∣y∣≥2∣xy∣D. ∣x∣+∣y∣≥2∣xy∣
6. 下列不等式一定成立的是
A. x+1x≥2B. x2+2x2+2≥2
C. x2+3x2+4≥2D. 2−3x−4x≥2
7. 小王从甲地到乙地的往返时速分别为 a 和 baA. a
8. 下列不等式中正确的是
A. a+4a≥4B. a2+b2≥4abC. ab≥a+b2D. x2+3x2≥23
9. a,b∈R，则 a2+b2 与 2∣ab∣ 的大小关系是
A. a2+b2≥2∣ab∣B. a2+b2=2∣ab∣
C. a2+b2≤2∣ab∣D. a2+b2>2∣ab∣
10. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体 A1B1C1D1，该项目由长方形核心喷泉区 ABCD（阴影部分）和四周绿化带组成．规划核心喷泉区 ABCD 的面积为 1000 m2，绿化带的宽分别为 2 m 和 5 m（如图所示）．当整个项目占地 A1B1C1D1 面积最小时，则核心喷泉区 BC 的长度为
A. 20 mB. 50 mC. 1010 mD. 100 m
11. 设正数 m，n 满足 4m+9n=1，则 m+n 的最小值为
A. 26B. 25C. 16D. 9
12. 若直线 l:2x2b+a+ya+b=1 经过第一象限内的点 P1a,1b，则 ab 的最大值为
A. 76B. 4−22C. 5−23D. 6−32
13. 设直线 x=tt>0 与曲线 y=x2+2 和 x 轴分别交于 A，B 两点，Ct+1t,2，则 △ABC 面积的最小值为
A. 22B. 3C. 2D. 2
14. 设正实数 a，b，c 满足 a2−3ab+4b2−c=0，则当 abc 取得最大值时，2a+1b−2c 最大值为 ( )
A. 0B. 1C. 94D. 3
二、填空题（共7小题）
15. 基本不等式
（1）基本不等式 ab≤a+b2 成立的条件：a>0，b>0．
（2）等号成立的条件：当且仅当① 时等号成立．
（3）其中② 称为正数 a，b 的算术平均数，③ 称为正数 a，b 的几何平均数．
16. 要挖一个面积为 432 m2 的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为 3 m，4 m 的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为 、宽为 ．
17. 若点 a,b 在直线 x+3y=1 上，则 2a+8b 的最小值为 ．
18. 设 a，b 都为正数，且 a+b=4，则 1a+1b 的最小值为 ．
19. 三个同学对问题“已知 m,n∈R+，且 m+n=1，求 1m+1n 的最小值”提出各自的解题思路：
甲：1m+1n=m+nm+m+nn=2+nm+mn，可用基本不等式求解；
乙：1m+1n=m+nmm=1mn=1m1−m，可用二次函数配方法求解；
丙：1m+1n=1m+1nm+n=2+nm+mn，可用基本不等式求解．
参考上述解题思路，可求得当 x= 时，y=a2x2+1100−x200 有最小值．
20. 已知某房地产公司计划出租 70 套相同的公寓房．当每套房月租金定为 3000 元时，这 70 套公寓房能全部租出去；当月租金每增加 50 元时（设月租金均为 50 元的整数倍），就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费 100 元的日常维修等费用（设没有出租的房子不需要花这些费用），则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为 元．
21. 已知 a>0，b>0，且 1a+2+1b+2=16，则 a+b 的最小值为 ．
三、解答题（共6小题）
22. 请回答：
（1）基本不等式 1：
对任意实数 a 和 b，有 ，当且仅当 a=b 时等号成立．
（2）基本不等式 2：
对任意正数 a，b，有 ，当且仅当 a=b 时等号成立．
（3）两个不等式有什么区别?有什么推广结论?
（4）几何意义：
我们称 a+b2 为 a，b 的 ，称 ab 为 a，b 的 ，因而，基本不等式 2 又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
23. 设 ab≠0，利用基本不等式有如下证明：ba+ab=b2+a2ab≥2abab=2．试判断这个证明过程是否正确．若正确，请说明每一步的依据；若不正确，请说明理由．
24. 某商场预计全年分批购入每台价值 2000 元的电视机共 3600 台，每批都购入 xx∈N∗ 台，且每批均需付运费 400 元．贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比．若每批购入 400 台，则全年需用去运输和保管费之和为 43600 元．现在全年只有 24000 元资金可以用于支付这笔费用，问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用，写出你的结论和理由．
25. 已知 a>0，b>0，求证：a2b+b2a≥a+b．
26. 某单位建造一间地面面积为 12 m2 的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度 x 不得超过 a m．房屋正面的造价为 400 元/m2，房屋侧面的造价为 150 元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为 5800 元，如果墙高为 3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低?
27. 请解答下列问题．
（1）已知 a,b,c∈R，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca．
（2）已知 a,b,c>0，求证：
① a+b1a+1b≥4；
② a+b+c1a+1b+1c≥9．
答案
1. D
2. D
3. D
【解析】A选项：因为 a>0，b>0，
所以 21a+1b=2aba+b≤2ab2ab=ab，
当且仅当 a=b 时等号成立，故A正确；
B选项：2ab≤a2+b2，
所以 ab≤a2+b22，当且仅当 a=b 时等号成立，故B正确；
C选项：因为 ab≤a+b2，所以 ab≤a+b22，
当且仅当 a=b 时等号成立，故C正确；
D选项：若 a+b22≥a2+b22，
则 2ab+a2+b24≥a2+b22，
所以 a2+b2+2ab≥2a2+2b2，
所以 2ab≥a2+b2，
显然不成立，故D错误．
4. C
5. D
6. B
7. A
8. D
9. A
10. B
【解析】设 BC=x，则 CD=1000x，
所以，
S平行四边形A1B1C1D1=x+101000x+4=1040+4x+10000x≥1040+24x⋅10000x=1440,
当且仅当 4x=10000x，即 x=50 时，取“=”号，
所以当 x=50 时，S平行四边形A1B1C1D1 最小．
11. B
12. B
13. C
【解析】由 x=t,y=x2+2 可得 At,t2+2，所以 AB=t2+2，则 △ABC 的面积
S=12×t+1t−t×t2+2=12×t2+2t=12t+2t≥12×2t×2t=2,
当且仅当 t=2t，即 t=2 时等号成立，所以 △ABC 面积的最小值为 2．
14. B
15. ①a=b，②a+b2，③ab
16. 24 m，18 m．
【解析】设鱼池的相邻两边长分别为 x m，y m，则 xy=432，所以
x+6y+8=xy+6y+8x+48=480+6y+8x≥480+248xy=768,
当且仅当 6y=8x，即 x=18，y=24 时，等号成立．
17. 22．
18. 1
【解析】a，b 都为正数，且 a+b=4，则
1a+1b=141a+1ba+b=142+ba+ab≥142+2ab⋅ba=1,
当且仅当 ba=ab 且 a+b=4，即 a=b=2 时取等号．
19. 100aa+1
20. 3300
【解析】设利润为 y 元，租金定为 3000+50x0≤x≤70,x∈N 元．则 y=3000+50x70−x−10070−x=2900+50x70−x=5058+x70−x≤5058+x+70−x22，当且仅当 58+x=70−x，即 x=6 时，等号成立，故每月租金定为 3000+300=3300（元）时，公司得最大利润．
21. 20
【解析】a>0，b>0，且 1a+2+1b+2=16，则
a+b=6a+2+b+21a+2+1b+2−4=62+b+2a+2+a+2b+2−4≥62+2b+2a+2⋅a+2b+2−4=20,
当且仅当 b+2a+2=a+2b+2 且 1a+2+1b+2=16，
即 a=b=10 时取等号，a+b 的最小值 20．
22. （1） a2+b2≥2ab
（2） a+b2≥ab
（3） 第一个不等式成立的条件是 a，b 为实数，第二个不等式成立的条件是 a，b 为正实数．对于第二个不等式，还可以化为 ab≤a+b22 作为积化和的公式．
（4） 算术平均数；几何平均数
23. 这个证明过程不正确．过程中 b2+a2ab≥2abab 这一步不成立，这是因为 ab 的正负没有确定．
24. 由题意，当每批购入 x 台时，全年需付保管费 S=2000x⋅k，
所以总费用为 y=3600x⋅400+2000x⋅k，
又当 x=400 时，y=43600⇒k=120，
y=3600x⋅400+100x≥21440000x⋅100x=24000.
当且仅当 x=120 时，ymin=24000．
25. 因为 a>0，b>0，
所以 a2b+b≥2a2b⋅b=2a，b2a+a≥2b2a⋅a=2b，
所以 a2b+b+b2a+a≥2a+2b，
所以 a2b+b2a≥a+b，
当且仅当 a=b 时，等号成立．
26. 由题意可得，总造价
y=3×2x×150+3×12x×400+5800=900x+16x+58000则 y=900x+16x+5800≥900×2x×16x+5800=13000，
当且仅当 x=16x，即 x=4 时取等号．
若 a≥4，则当 x=4 时，y 有最小值 13000；
若 a<4，任取 x1,x2∈0,a 且 x1 y1−y2=900x1+16x1+5800−900x2+16x2−5800=900x1−x2+161x1−1x2=900x1−x2x1x2−16x1x2.
因为 x1所以 y1−y2>0，所以 y=900x+16x+5800 在 0,a 上是减函数．
所以当 x=a 时，y 有最小值 900a+16a+5800．
综上，若 a≥4，当 x=4 时，总造价有最小值为 13000 元；
若 a<4，当 x=a 时，总造价有最小值为 900a+16a+5800 元．
27. （1） 因为 a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，
三式相加并除以 2，便得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca．
（2） ①因为 a,b,c>0，所以 a+b≥2ab>0，1a+1b≥21ab>0，
两式相乘得 a+b1a+1b≥2ab⋅21ab=4；
②因为 a,b,c>0，所以 a+b+c≥33abc>0，1a+1b+1c≥331abc>0，
两式相乘得 a+b+c1a+1b+1c≥33abc⋅331abc=9．
一、选择题（共14小题）
1. 下列式子中最小值为 2 的是
A. x+1xB. x2+2+1x2+2C. x2+2x2D. x2+2x2+1
2. 若 x>0，则 x+4x 的最小值为
A. 2B. 3C. 22D. 4
3. 对于 a>0，b>0，下列不等式中不正确的是
A. 21a+1b≤abB. ab≤a2+b22
C. ab≤a+b22D. a+b22≥a2+b22
4. 以长为 10 m 的线段 AB 为直径作半圆，则其内接矩形的面积的最大值为
A. 10B. 15C. 25D. 50
5. 下列不等式一定成立的是
A. x+y≥2xyB. ∣x∣+∣y∣≥2xy
C. ∣x∣+∣y∣≥2∣xy∣D. ∣x∣+∣y∣≥2∣xy∣
6. 下列不等式一定成立的是
A. x+1x≥2B. x2+2x2+2≥2
C. x2+3x2+4≥2D. 2−3x−4x≥2
7. 小王从甲地到乙地的往返时速分别为 a 和 ba
8. 下列不等式中正确的是
A. a+4a≥4B. a2+b2≥4abC. ab≥a+b2D. x2+3x2≥23
9. a,b∈R，则 a2+b2 与 2∣ab∣ 的大小关系是
A. a2+b2≥2∣ab∣B. a2+b2=2∣ab∣
C. a2+b2≤2∣ab∣D. a2+b2>2∣ab∣
10. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体 A1B1C1D1，该项目由长方形核心喷泉区 ABCD（阴影部分）和四周绿化带组成．规划核心喷泉区 ABCD 的面积为 1000 m2，绿化带的宽分别为 2 m 和 5 m（如图所示）．当整个项目占地 A1B1C1D1 面积最小时，则核心喷泉区 BC 的长度为
A. 20 mB. 50 mC. 1010 mD. 100 m
11. 设正数 m，n 满足 4m+9n=1，则 m+n 的最小值为
A. 26B. 25C. 16D. 9
12. 若直线 l:2x2b+a+ya+b=1 经过第一象限内的点 P1a,1b，则 ab 的最大值为
A. 76B. 4−22C. 5−23D. 6−32
13. 设直线 x=tt>0 与曲线 y=x2+2 和 x 轴分别交于 A，B 两点，Ct+1t,2，则 △ABC 面积的最小值为
A. 22B. 3C. 2D. 2
14. 设正实数 a，b，c 满足 a2−3ab+4b2−c=0，则当 abc 取得最大值时，2a+1b−2c 最大值为 ( )
A. 0B. 1C. 94D. 3
二、填空题（共7小题）
15. 基本不等式
（1）基本不等式 ab≤a+b2 成立的条件：a>0，b>0．
（2）等号成立的条件：当且仅当① 时等号成立．
（3）其中② 称为正数 a，b 的算术平均数，③ 称为正数 a，b 的几何平均数．
16. 要挖一个面积为 432 m2 的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为 3 m，4 m 的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为 、宽为 ．
17. 若点 a,b 在直线 x+3y=1 上，则 2a+8b 的最小值为 ．
18. 设 a，b 都为正数，且 a+b=4，则 1a+1b 的最小值为 ．
19. 三个同学对问题“已知 m,n∈R+，且 m+n=1，求 1m+1n 的最小值”提出各自的解题思路：
甲：1m+1n=m+nm+m+nn=2+nm+mn，可用基本不等式求解；
乙：1m+1n=m+nmm=1mn=1m1−m，可用二次函数配方法求解；
丙：1m+1n=1m+1nm+n=2+nm+mn，可用基本不等式求解．
参考上述解题思路，可求得当 x= 时，y=a2x2+1100−x20
20. 已知某房地产公司计划出租 70 套相同的公寓房．当每套房月租金定为 3000 元时，这 70 套公寓房能全部租出去；当月租金每增加 50 元时（设月租金均为 50 元的整数倍），就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费 100 元的日常维修等费用（设没有出租的房子不需要花这些费用），则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为 元．
21. 已知 a>0，b>0，且 1a+2+1b+2=16，则 a+b 的最小值为 ．
三、解答题（共6小题）
22. 请回答：
（1）基本不等式 1：
对任意实数 a 和 b，有 ，当且仅当 a=b 时等号成立．
（2）基本不等式 2：
对任意正数 a，b，有 ，当且仅当 a=b 时等号成立．
（3）两个不等式有什么区别?有什么推广结论?
（4）几何意义：
我们称 a+b2 为 a，b 的 ，称 ab 为 a，b 的 ，因而，基本不等式 2 又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
23. 设 ab≠0，利用基本不等式有如下证明：ba+ab=b2+a2ab≥2abab=2．试判断这个证明过程是否正确．若正确，请说明每一步的依据；若不正确，请说明理由．
24. 某商场预计全年分批购入每台价值 2000 元的电视机共 3600 台，每批都购入 xx∈N∗ 台，且每批均需付运费 400 元．贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比．若每批购入 400 台，则全年需用去运输和保管费之和为 43600 元．现在全年只有 24000 元资金可以用于支付这笔费用，问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用，写出你的结论和理由．
25. 已知 a>0，b>0，求证：a2b+b2a≥a+b．
26. 某单位建造一间地面面积为 12 m2 的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度 x 不得超过 a m．房屋正面的造价为 400 元/m2，房屋侧面的造价为 150 元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为 5800 元，如果墙高为 3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低?
27. 请解答下列问题．
（1）已知 a,b,c∈R，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca．
（2）已知 a,b,c>0，求证：
① a+b1a+1b≥4；
② a+b+c1a+1b+1c≥9．
答案
1. D
2. D
3. D
【解析】A选项：因为 a>0，b>0，
所以 21a+1b=2aba+b≤2ab2ab=ab，
当且仅当 a=b 时等号成立，故A正确；
B选项：2ab≤a2+b2，
所以 ab≤a2+b22，当且仅当 a=b 时等号成立，故B正确；
C选项：因为 ab≤a+b2，所以 ab≤a+b22，
当且仅当 a=b 时等号成立，故C正确；
D选项：若 a+b22≥a2+b22，
则 2ab+a2+b24≥a2+b22，
所以 a2+b2+2ab≥2a2+2b2，
所以 2ab≥a2+b2，
显然不成立，故D错误．
4. C
5. D
6. B
7. A
8. D
9. A
10. B
【解析】设 BC=x，则 CD=1000x，
所以，
S平行四边形A1B1C1D1=x+101000x+4=1040+4x+10000x≥1040+24x⋅10000x=1440,
当且仅当 4x=10000x，即 x=50 时，取“=”号，
所以当 x=50 时，S平行四边形A1B1C1D1 最小．
11. B
12. B
13. C
【解析】由 x=t,y=x2+2 可得 At,t2+2，所以 AB=t2+2，则 △ABC 的面积
S=12×t+1t−t×t2+2=12×t2+2t=12t+2t≥12×2t×2t=2,
当且仅当 t=2t，即 t=2 时等号成立，所以 △ABC 面积的最小值为 2．
14. B
15. ①a=b，②a+b2，③ab
16. 24 m，18 m．
【解析】设鱼池的相邻两边长分别为 x m，y m，则 xy=432，所以
x+6y+8=xy+6y+8x+48=480+6y+8x≥480+248xy=768,
当且仅当 6y=8x，即 x=18，y=24 时，等号成立．
17. 22．
18. 1
【解析】a，b 都为正数，且 a+b=4，则
1a+1b=141a+1ba+b=142+ba+ab≥142+2ab⋅ba=1,
当且仅当 ba=ab 且 a+b=4，即 a=b=2 时取等号．
19. 100aa+1
20. 3300
【解析】设利润为 y 元，租金定为 3000+50x0≤x≤70,x∈N 元．则 y=3000+50x70−x−10070−x=2900+50x70−x=5058+x70−x≤5058+x+70−x22，当且仅当 58+x=70−x，即 x=6 时，等号成立，故每月租金定为 3000+300=3300（元）时，公司得最大利润．
21. 20
【解析】a>0，b>0，且 1a+2+1b+2=16，则
a+b=6a+2+b+21a+2+1b+2−4=62+b+2a+2+a+2b+2−4≥62+2b+2a+2⋅a+2b+2−4=20,
当且仅当 b+2a+2=a+2b+2 且 1a+2+1b+2=16，
即 a=b=10 时取等号，a+b 的最小值 20．
22. （1） a2+b2≥2ab
（2） a+b2≥ab
（3） 第一个不等式成立的条件是 a，b 为实数，第二个不等式成立的条件是 a，b 为正实数．对于第二个不等式，还可以化为 ab≤a+b22 作为积化和的公式．
（4） 算术平均数；几何平均数
23. 这个证明过程不正确．过程中 b2+a2ab≥2abab 这一步不成立，这是因为 ab 的正负没有确定．
24. 由题意，当每批购入 x 台时，全年需付保管费 S=2000x⋅k，
所以总费用为 y=3600x⋅400+2000x⋅k，
又当 x=400 时，y=43600⇒k=120，
y=3600x⋅400+100x≥21440000x⋅100x=24000.
当且仅当 x=120 时，ymin=24000．
25. 因为 a>0，b>0，
所以 a2b+b≥2a2b⋅b=2a，b2a+a≥2b2a⋅a=2b，
所以 a2b+b+b2a+a≥2a+2b，
所以 a2b+b2a≥a+b，
当且仅当 a=b 时，等号成立．
26. 由题意可得，总造价
y=3×2x×150+3×12x×400+5800=900x+16x+58000
当且仅当 x=16x，即 x=4 时取等号．
若 a≥4，则当 x=4 时，y 有最小值 13000；
若 a<4，任取 x1,x2∈0,a 且 x1
因为 x1
所以当 x=a 时，y 有最小值 900a+16a+5800．
综上，若 a≥4，当 x=4 时，总造价有最小值为 13000 元；
若 a<4，当 x=a 时，总造价有最小值为 900a+16a+5800 元．
27. （1） 因为 a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，
三式相加并除以 2，便得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca．
（2） ①因为 a,b,c>0，所以 a+b≥2ab>0，1a+1b≥21ab>0，
两式相乘得 a+b1a+1b≥2ab⋅21ab=4；
②因为 a,b,c>0，所以 a+b+c≥33abc>0，1a+1b+1c≥331abc>0，
两式相乘得 a+b+c1a+1b+1c≥33abc⋅331abc=9．
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