高中数学2.2 基本不等式巩固练习

人教A版（2019）必修第一册《2.2 基本不等式》提升训练

一 、单选题（本大题共10小题，共50分）

1.（5分）等差数列的公差，，且，，成等比数列．为的前项和，则的值为

A.  B.  C.  D.

2.（5分）记为等差数列的前项和．已知，，则   

A.
B.
C.
D.

3.（5分）设等差数列的前项和为，则是的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.（5分）已知数列是各项均为正数的等比数列，且是方程的两个根．则

A.  B.  C.  D.

5.（5分）为了参加冬季运动会的长跑比赛，某同学给自己制定了天的训练计划：第天跑，以后何天比前天多跑，则这个同学天一共将跑

A.  B.  C.  D.

6.（5分）已知数列的前项和为，，若存在两项，使得，则的最小值为   

A.  B.  C.  D.

7.（5分）已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

8.（5分）若数列满足，则的前项的和是

A.  B.  C.  D.

9.（5分）已知数列的前项和，且，则

A.  B.  C.  D.

10.（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列，，，，，，，，，，，，，，，，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为的整数幂，那么该款软件的激活码是    

A.
B.
C.
D.

二 、多选题（本大题共4小题，共20分）

11.（5分）记等差数列的前项和为，已知，，则有

A.  B.  C.  D.

12.（5分）已知是等差数列的前项和，且，以下有四个命题，其中正确的有

A. 数列的公差 B. 数列中的最大项为
C.  D.

13.（5分）设数列的前项和为，，，则下列结论正确的是

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

14.（5分）各项均为正数的等比数列的前项积为，若，公比，则下列命题正确的是

A. 若，则必有 B. 若，则必有是中最大的项
C. 若，则必有 D. 若，则必有

三 、填空题（本大题共4小题，共20分）

15.（5分）等差数列的前项和为，，，则______．

16.（5分）在和之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个正数分别是______.

17.（5分）已知数列中：，记的前项和为，且满足：，若对任意，都有，则首项的取值范围为 ______.

18.（5分）已知定义在上的奇函数满足，，数列的前项和为，且，，则______．

四 、解答题（本大题共6小题，共72分）

19.（12分）已知首项为的等比数列的前项和为． 
求的通项公式； 
著，，求数列的前项和．

20.（12分）在①，，成等比数列，且；②，且这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答． 
已知数列是公差不为的等差数列，，其前项和为，数列的前项和为，若______ 
求数列，的通项公式； 
求数列的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

21.（12分）已知数列满足， 
求的通项公式； 
设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.

22.（12分）在数列中，已知，， 
求数列的通项公式；

设数列的前项和为，问是否存在正整数，，使得若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．

23.（12分）已知数列的前项和为，，且 
求的通项公式； 
若，数列的前项和为，求证：

24.（12分）已知数列满足 
证明：是等比数列； 
令，求数列的前项和．

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：设等差数列的公差为，，，成等比数列．  
可得：，  
解得，或舍去． 
． 
故选：． 
利用等比关系求出数列的公差，然后求解的值．  
此题主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，等差数列的求和，考查计算能力．
 

2.【答案】A;

【解析】 
该题考查等差数列的通项公式以及前项和公式，属于基础题． 
根据题意，设等差数列的公差为，则有，求出首项和公差，然后求出通项公式和前项和即可． 
 
解：设等差数列的公差为， 
由，， 
得， 
， 
，， 
故选：．
 

3.【答案】A;

【解析】 
根据等差数列的通项公式和前项和公式，将左右两端进行转化，再进行判断． 
此题主要考查等差数列的通项公式，前项和公式的简单应用，及充要条件的判断．属于基础题． 
 
解：设：，： 
化简：； 
：，即 ， 即 
易知是的充分不必要条件． 
故选
 

4.【答案】A;

【解析】解：根据题意，数列是各项均为正数的等比数列，且与方程的两个根，  
则，则有，  
则；  
故选：． 
根据题意，由根与系数的关系可得，又由等比数列的性质可得，进而结合对数的运算性质计算即可得答案． 
该题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，属于基础题．
 

5.【答案】A;

【解析】解：此同学每天跑步的长度组成等差数列，，． 
这个同学天一共将跑． 
故选：． 
此同学每天跑步的长度组成等差数列，，利用求和公式即可得出． 
此题主要考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

6.【答案】B;

【解析】 
该题考查数列的通项公式的求法，考查基本不等式的运用，注意检验等号成立的条件，属于中档题． 
运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得求得，，运用基本不等式，检验等号成立的条件，即可得到所求最小值． 
 
 
解：，可得，即， 
时，，又， 
相减可得，即， 
是首项为，公比为的等比数列． 
所以． 
，即， 
得， 
所以 
 
， 
当且仅当时取等号，即为，． 
因为、取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则， 
验证可得，当，时，取得最小值为． 
故选：．
 

7.【答案】B;

【解析】 
此题主要考查了等比数列的通项公式，基本不等式，属于中档题．正项等比数列满足，，则，即，解出，即可得到当，时、的关系式，进而得到结论． 
【解析】 
解：依题意，正项等比数列满足， 
所以，即， 
解得或， 
因为数列是正项等比数列， 
所以， 
所以， 
又知道， 
所以，即， 
所以， 
当且仅当时等号成立，故等号不成立， 
当，时，， 
当时，， 
当，时，， 
故选： 

 

8.【答案】D;

【解析】解：， 
可得，，，，， 
设，则，，，，，，， 
，，，，， 
可得每隔项的和构成首项为，公差为的等差数列， 
即有的前项的和是． 
故选：． 
通过计算数列的前几项，归纳得到每隔项的和为首项为，公差为的等差数列，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和． 
该题考查数列的求和，注意运用归纳法，以及等差数列的求和公式，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
 

9.【答案】B;

【解析】解：因为， 
所以当时，， 
故 
故选： 
，又由，后由累乘法可得答案． 
此题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
 

10.【答案】A;

【解析】 
该题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前项和，考查计算能力，属于难题． 
由题意求得数列的每一项，及前项和，及总共的项数，由题意可知：为的整数幂．只需将消去即可，从而可求得的值． 
 
解：由题意可知，数列可看作：第一项，第二项：，第三项：，，第项：， 
根据等比数列前项和公式，求得每项和分别为：，，，，， 
每项含有的项数为：，，，，， 
总共的项数为， 
所有项数的和为  
， 
由题意可知：为的整数幂，只需将消去即可， 
则，解得：， 
总共有，不满足， 
，解得：， 
总共有，不满足， 
，解得：， 
总共有，不满足， 
，解得：， 
总共有，满足， 
该款软件的激活码是． 
故选A．
 

11.【答案】ACD;

【解析】解：设等差数列的公差为， 
由，得，解得，，选项正确； 
所以，选项错误；，选项正确； 
又，所以，选项正确． 
故选： 
设等差数列的公差为，根据，，从而求解出与的值即可对选项进行逐一判断． 
此题主要考查等差数列的通项公式，前项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
 

12.【答案】AC;

【解析】解：已知是等差数列的前项和，且， 
所以，即，由于，即， 
对于：所以，故公差，故A正确， 
对于：由于，，所以数列的中的最大项为最大，故B错误； 
对于：，故C正确， 
对于：由于，故D错误． 
故选：． 
直接利用等差数列的性质和等差数列的前项和的应用判断、、、的结论． 
此题主要考查的知识要点：等差数列的性质，等差数列的前项和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
 

13.【答案】AD;

【解析】 
此题主要考查等差数列，等比数列的求和公式及性质，周期数列的性质，属于中档题。解：当，时，，所以 
因为，所以是首项为，公比为的等比数列，则，故正确.

当，时，，即因为，所以，

则，故错误. 
当，时，，因为，所以，， 
所以是周期为的周期数列，则，故错误. 
当，时，，则，

即 
因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，

即，故正确.
 

14.【答案】ABC;

【解析】解：由等比数列，可知，由等比数列的前项积结合等差数列性质可知：， 
对于，若，可得，即，，故正确； 
对于，若，可得，即， 
又，故，又，可知， 
利用等比数列性质知，可知，，，，故是中最大的项，故正确； 
对于，若，则， 
即，又，则，可得，故，故正确； 
对于，若，则，无法判断其与““的大小关系，故错误． 
故选： 
根据题意，结合等比数列的通项公式、等差数列的前项和公式，以及等比数列的性质，逐项分析，即可求解． 
此题主要考查了等比数列的通项公式及等差数列前项和公式，以及等比数列的性质的应用，属于中档题．
 

15.【答案】;

【解析】 
该题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力，属于中档题． 
利用已知条件求出等差数列的前项和，然后化简所求的表达式，求解即可． 
【解析】 
解：等差数列的前项和为，，， 
由， 
可得，等差数列的公差为，首项为， 
所以 
，， 
则 
． 
故答案为．
 

16.【答案】6，18;

【解析】解：设此数列为，，， 
于是有， 
解得， 
故插入的两个正数为，， 
故答案为：， 
依题意设出此数列，进而根据等比中项的性质和等差中项的性质联立方程组求得和，则插入的两个数可求． 
此题主要考查等比数列的性质．考查了考生分析问题和解决问题的能力．
 

17.【答案】;

【解析】解：①， 
②， 
由②①得，即， 
， 
当，时，， 
当，时，， 
当，时，， 
又当时，， 
对任意，都有，， 
，， 
，解得， 
故首项的取值范围为， 
故答案为： 
根据数列的递推式，利用作差法可得，即，结合等差数列的定义，分类讨论，，，求出通项，列出关于首项的不等式组，求解即可得出答案． 
此题主要考查由数列的递推式求出数列的通项和等差数列的定义，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】3;

【解析】解：函数是奇函数 
 
， 
， 
， 
 
是以为周期的周期函数． 
数列满足，且，，， 
即，，以为首项，为公比的等比数列． 
． 
， 
 
故答案为：． 
先由函数是奇函数，，推知，得到是以为周期的周期函数．再由，且，推知，计算即可． 
这道题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式，在函数性质综合应用中相互结合转化中奇偶性，对称性和周期性之间是一个重点．
 

19.【答案】解：（1）设公比为q，则1+q+=3， 
解得q=1或q=-2， 
所以=1或． 
（2）依题意可得=n-1， 
所以， 
所以…．;

【解析】 
由，求出，代入即可；  
求出，裂项相消法，求出即可． 
考查求等比数列的通项公式和裂项相消法求前项和，基础题．
 

20.【答案】解：设等差数列的公差为，则，

选①，因为，，成等比数列，故，即，

解得或舍，所以

由可得，所以，即

又当时，，得，故

所以为定值，数列是首项为，公比为的等比数列，故

所以，

由可知，，

所以，

，

所以，

即，

所以;

【解析】此题主要考查等差，等比数列的通项公式及求和公式，考查错位相减法求和，属中档题. 
设等差数列的公差为，则， 
选①得，求得，即可求得，由得，得数列是首项为，公比为的等比数列，得 
由可知，，根据错位相减法求和即可.
 

21.【答案】;

【解析】 
依题意可得，再结合等比数列的定义即可求解； 
由可得，再分为偶数和奇数两类情况并结合裂项求和法讨论即可． 
此题主要考查了等比数列的通项公式和裂项相消求和，属于中档题．
 

22.【答案】解：由，， 
可得数列的奇数项是以为首项，公差为的等差数列； 
偶数项是以为首项，公比为的等比数列． 
对任意正整数，； 
数列的通项公式， 
…… 
 
， 
 
假设存在正整数，，使得， 
则， 
， 
从而，， 
又，，， 
①当时，式左边大于，右边等于，不成立． 
②当时，式左边等于，，解得， 
③当时，式可化为，显然不满足， 
当时，存在，，，使得，，且， 
从而，，， 
，，于是， 
综上可知，符合条件的正整数对只有两对：，;

【解析】此题主要考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前项和公式，属于难题． 
由题意可得数列的奇数项是以为首项，公差为的等差数列；偶数项是以为首项，公比为的等比数列，分别利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出． 
，，假设存在正整数，，使得，化为，可得，，分类讨论即可得出．
 

23.【答案】;

【解析】 
根据题意，由与的关系可得是以为首项，为公比的等比数列，从而求得结果； 
根据题意，由裂项相消法即可求得，即可证明． 
此题主要考查等比数列的定义与通项公式的应用，裂项求和法的应用，属中档题．
 

24.【答案】解：（1）证明：由S1=2-1得：=1， 
因为Sn-Sn-1=（2-n）-（2-（n-1））（n≥2）， 
所以=2+1，从而由+1=2（+1）得（n≥2）， 
所以{+1}是以2为首项，2为公比的等比数列； 
（2）由（1）得， 
所以，即， 
所以=．;

【解析】 
由数列的递推式和等比数列的定义，即可得证； 
求得，即，再由裂项相消求和，化简计算可得所求和． 
此题主要考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式，以及数列的裂项相消求和求和，考查化简运算能力，属于中档题．