数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质随堂练习题

专题36  正弦函数、余弦函数的图象

考点1  正弦函数的图象

1.函数y＝1－sinx，x∈[0,2π]的大致图象是(　　)

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】按五个关键点列表：

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示：

2.用“五点法”画y＝sinx，x∈[－2π，0]的简图时，正确的五个点应为(　　)

A．(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)

B．(0,0)，，(－π，0)，，(－2π，0)

C．(0,1)，，(π，1)，，(2π，－1)

D．(0，－1)，，(－π，1)，，(－2π，－1)

【答案】B

【解析】由五点法作图的概念可知B正确．

3.函数y＝sin(2x－)在区间[－，π]的简图是(　　)

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】当x＝－时，y＝sin[(2×(－)－]＝

－sin(π＋)＝sin＝＞0，故排除A，D；

当x＝时，y＝sin(2×－)＝sin0＝0，故排除C，故选B.

4.给出下列说法：

①作正弦函数的图象时，单位圆的半径与x轴的单位长度要一致；

②y＝sinx，x∈的图象关于点P(π，0)对称；

③y＝sinx，x∈的图象关于直线x＝对称；

④正弦函数y＝sinx的图象不超出直线y＝1和y＝－1所夹的区域．

其中，正确说法的个数是(　　)

A．1    B．2    C．3    D．4

【答案】D

【解析】作出正弦函数y＝sinx的图象，可知①②③④均正确．

5.已知函数f(x)＝|sinx|，x∈[－2π，2π]，则方程f(x)＝的所有根的和等于(　　)

A．0

B．π

C．－π

D．－2π

【答案】A

【解析】若f(x)＝，即|sinx|＝，

∴sinx＝或sinx＝－，∵x∈[－2π，2π]，

∴方程sinx＝的4个根关于x＝－对称，

则对称的2个根之和为－π，则4个根之和为－2π.

由对称性可得sinx＝－的四个根之和为2π.

故选A.

6.如下图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致为(　　)

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】如下图，取AP的中点为D，设∠DOA＝θ，则d＝2sinθ，l＝2θR＝2θ，

∴d＝2sin，根据正弦函数的图象知，C中的图象符合解析式.

7.函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是(　　)

A．[－1,1]

B．(1,3)

C．(－1,0)∪(0,3)

D．[1,3]

【答案】B

【解析】由题意知，f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]＝

在坐标系中画出函数图象：

由其图象可知当直线y＝k，k∈(1,3)时，

与f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，

故选B.

8.求函数f(x)＝lgsinx＋的定义域.

【答案】由题意，知x满足不等式组即作出y＝sinx的图象，如图所示：

结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).

考点2  余弦函数的图象

8.对于余弦函数y＝cosx的图象，有以下三项描述：

①向左向右无限伸展；

②与x轴有无数多个交点；

③与y＝sinx的图象形状一样，只是位置不同.

其中正确的个数为(　　)

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】D

【解析】如图所示为y＝cosx的图象.

可知三项描述均正确.

9.若函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是(　　)

A．4

B．8

C．2

D．4π

【答案】D

【解析】作出函数y＝2cosx，x∈[0,2π]的图象，其与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，∴S平面图形＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.

10.若方程|cosx|＝ax＋1恰有两个解，则实数a的取值集合为(　　)

A．(－，－)∪(，)

B．(－，0)∪(0，)

C．[－，]

D．{－，}

【答案】D

【解析】作出函数y＝|cosx|和y＝ax＋1的图象，

由图象可知当直线经过点(，0)或(－，0)时，

两个图象有两个交点，

此时a＝－或，

故实数a的取值集合为{－，}.

11.利用“五点法”作出函数y＝－1－cosx(0≤x≤2π)的简图.

【答案】(1)取值列表如下：

(2)描点连线，如图所示：

12.根据y＝cosx的图象解不等式：－≤cosx≤，x∈[0,2π].

【答案】函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象如图所示：

根据图象可得不等式的解集为{x|≤x≤或≤x≤}.

考点3  正弦函数和余弦函数的综合应用

13.在(0,2π)内使sinx＞|cosx|的x的取值范围是(　　)

A．

B．∪

C．

D．

【答案】A

【解析】∵sinx＞|cosx|，∴sinx＞0，∴x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sinx，x∈(0，π)与y＝|cosx|，x∈(0，π)的图象，观察图象易得x∈.

14.函数f(x)＝sinx的图象与g(x)＝cosx的图象关于某条直线对称，这条直线可以是(　　)

A．x＝

B．x＝

C．x＝－

D．x＝－

【答案】D

【解析】设这条直线是x＝a，

∵函数f(x)＝sinx的图象与g(x)＝cosx的图象关于x＝a对称，

∴sin(2a－x)＝cosx，即有cos[－(2a－x)]＝cosx，

∴可解得－(2a－x)＝x＋2kπ，k∈Z，

故有a＝－kπ，k∈Z，

∴当k＝2时，a＝－.

15.若0＜x＜，则2x与πsinx的大小关系是(　　)

A．2x＞πsinx

B．2x＜πsinx

C．2x＝πsinx

D．与x的取值有关

【答案】B

【解析】在同一坐标平面内作出函数y＝2x与函数y＝πsinx的图象，如图所示：

观察图象易知：

当x＝0时，2x＝πsinx＝0；

当x＝时，2x＝πsinx＝π；

当x∈时，函数y＝2x是直线段，而曲线y＝πsinx是上凸的.所以2x＜πsinx，故选B.

16.已知a是实数，则函数f(x)＝acosax的图象可能是(　　)

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】函数f(x)＝acosax，因为函数f(－x)＝acos(－ax)＝acosax＝f(x)，所以函数是偶函数，所以A、D错误；

结合选项B、C，可知函数的周期为π，所以a＝2，所以B错误，C正确.

17.在同一坐标系中，曲线y＝sinx与y＝cosx的图象的交点是(　　)

A．

B．

C．

D．(kπ，0)k∈Z

【答案】B

【解析】在同一坐标系中，画出曲线y＝sinx与y＝cosx的图象，

观察图形可知选项B正确，

18.若函数f(x)＝2sin(2x＋)＋a－1(a∈R)在区间[0，]上有两个零点x1，x2(x1≠x2)，则x1＋x2－a的取值范围是(　　)

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】函数f(x)＝2sin(2x＋)＋a－1的周期为π，令2x＋＝，求得x＝，可得函数在y轴右侧的第一条对称轴方程为x＝.

由于函数的两个零点为x1，x2，∴x1＋x2＝2×＝.

由函数f(x)＝2sin(2x＋)＋a－1(a∈R)在区间[0，]上有两个零点x1，x2(x1≠x2)，

可得y＝2sin(2x＋)的图象和直线y＝1－a在区间[0，]上有两个交点.

由x∈[0，]，可得2x＋∈[，]，2sin(2x＋)∈[－1,2]，∴1≤1－a＜2，

求得－1＜a≤0，故0≤－a＜1，

∴≤x1＋x2－a＜＋1.

19.如图是函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A＞0，|φ|≤)图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝，则φ的值为(　　)

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】根据函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A＞0，|φ|≤)图象的一部分，可得A＝2，周期为＝π，∴b－a＝.

由f(x1)＝f(x2)，可得函数的图象关于直线x＝＝对称，故a＋b＝x1＋x2.

由五点法作图可得2a＋φ＝0,2b＋φ＝π，∴a＋b＝－φ.

结合f(a＋b)＝f(－φ)＝2sin(π－2φ＋φ)＝2sinφ＝f(x1＋x2)＝，可得sinφ＝，∴φ＝.

20.函数y＝x－2sinx在区间[－，]上的图象大致为(　　)

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】f(－x)＝－x＋2sinx＝－f(x)，

∴函数为奇函数，故排除A，B，

f()＝－，f()＝－1，f()＞f()，

即在x＝时，取到最小值，排除C，故选D.

21.已知函数f(x)＝sinπx和函数g(x)＝cosπx在区间[0,2]上的图象交于A，B两点，则△OAB的面积是(　　)

A．   B．   C．   D．

【答案】A

【解析】如图所示，∵sinπx＝cosπx＝sin(－πx)，x∈[0,2]，

∴解得πx＝π－(－πx)＋2kπ，k∈Z(无解)或πx＝－πx＋2kπ，k∈Z，

∴解得x＝＋k，k∈Z，且x∈[0,2]，∴x＝或，

∴解得坐标A(，)，B(，－).

∴解得直线AB所在的方程为y－＝－(x－)，联立方程y＝0，可解得，x＝，OC＝.

∴S△OAB＝S△OAC＋S△COB＝×OC×＋×OC×＝.故选A.

22.函数f(x)＝2sinπx－，x∈[－2,4]的所有零点之和为________.

【答案】8

【解析】设t＝1－x，则x＝1－t，原函数可化为g(t)＝2sin(π－πt)－＝2sinπt－，其中，t∈[－3,3]，

因g(－t)＝－g(t)，

故g(t)是奇函数，观察函数y＝2sinπt与曲线y＝的图象可知，

在t∈[－3,3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，

其横坐标之和为0，即t1＋t2＋…＋t7＋t8＝0，

从而x1＋x2＋…＋x7＋x8＝8.

23.设0≤x≤2π，且|cosx－sinx|＝sinx－cosx，则x的取值范围为________.

【答案】

【解析】由题意知sinx－cosx≥0，即cosx≤sinx，在同一坐标系内画出y＝sinx，x∈[0,2π]

与y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，如图所示，

观察图象知x∈.

24.若函数f(x)＝2sin(ωx＋)(ω＞0)的图象与x轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为____.

【答案】

【解析】由题意可得，函数的周期为2×2＝，求得ω＝.

25.已知0≤x≤2π，试探索sinx与cosx的大小关系.

【答案】用“五点法”作出y＝sinx，y＝cosx(0≤x≤2π)的简图.

由图象可知①当x＝或x＝时，sinx＝cosx；

②当＜x＜时，sinx＞cosx；

③当0≤x＜或＜x≤2π时，sinx＜cosx.