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数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质随堂练习题
展开专题36 正弦函数、余弦函数的图象
考点1 正弦函数的图象
1.函数y=1-sinx,x∈[0,2π]的大致图象是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】按五个关键点列表:
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示:
2.用“五点法”画y=sinx,x∈[-2π,0]的简图时,正确的五个点应为( )
A.(0,0),,(π,0),,(2π,0)
B.(0,0),,(-π,0),,(-2π,0)
C.(0,1),,(π,1),,(2π,-1)
D.(0,-1),,(-π,1),,(-2π,-1)
【答案】B
【解析】由五点法作图的概念可知B正确.
3.函数y=sin(2x-)在区间[-,π]的简图是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】当x=-时,y=sin[(2×(-)-]=
-sin(π+)=sin=>0,故排除A,D;
当x=时,y=sin(2×-)=sin0=0,故排除C,故选B.
4.给出下列说法:
①作正弦函数的图象时,单位圆的半径与x轴的单位长度要一致;
②y=sinx,x∈的图象关于点P(π,0)对称;
③y=sinx,x∈的图象关于直线x=对称;
④正弦函数y=sinx的图象不超出直线y=1和y=-1所夹的区域.
其中,正确说法的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】作出正弦函数y=sinx的图象,可知①②③④均正确.
5.已知函数f(x)=|sinx|,x∈[-2π,2π],则方程f(x)=的所有根的和等于( )
A.0
B.π
C.-π
D.-2π
【答案】A
【解析】若f(x)=,即|sinx|=,
∴sinx=或sinx=-,∵x∈[-2π,2π],
∴方程sinx=的4个根关于x=-对称,
则对称的2个根之和为-π,则4个根之和为-2π.
由对称性可得sinx=-的四个根之和为2π.
故选A.
6.如下图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】如下图,取AP的中点为D,设∠DOA=θ,则d=2sinθ,l=2θR=2θ,
∴d=2sin,根据正弦函数的图象知,C中的图象符合解析式.
7.函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是( )
A.[-1,1]
B.(1,3)
C.(-1,0)∪(0,3)
D.[1,3]
【答案】B
【解析】由题意知,f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]=
在坐标系中画出函数图象:
由其图象可知当直线y=k,k∈(1,3)时,
与f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,
故选B.
8.求函数f(x)=lgsinx+的定义域.
【答案】由题意,知x满足不等式组即作出y=sinx的图象,如图所示:
结合图象可得:x∈[-4,-π)∪(0,π).
考点2 余弦函数的图象
8.对于余弦函数y=cosx的图象,有以下三项描述:
①向左向右无限伸展;
②与x轴有无数多个交点;
③与y=sinx的图象形状一样,只是位置不同.
其中正确的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】D
【解析】如图所示为y=cosx的图象.
可知三项描述均正确.
9.若函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是( )
A.4
B.8
C.2
D.4π
【答案】D
【解析】作出函数y=2cosx,x∈[0,2π]的图象,其与直线y=2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC的面积,又∵OA=2,OC=2π,∴S平面图形=S矩形OABC=2×2π=4π.
10.若方程|cosx|=ax+1恰有两个解,则实数a的取值集合为( )
A.(-,-)∪(,)
B.(-,0)∪(0,)
C.[-,]
D.{-,}
【答案】D
【解析】作出函数y=|cosx|和y=ax+1的图象,
由图象可知当直线经过点(,0)或(-,0)时,
两个图象有两个交点,
此时a=-或,
故实数a的取值集合为{-,}.
11.利用“五点法”作出函数y=-1-cosx(0≤x≤2π)的简图.
【答案】(1)取值列表如下:
(2)描点连线,如图所示:
12.根据y=cosx的图象解不等式:-≤cosx≤,x∈[0,2π].
【答案】函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象如图所示:
根据图象可得不等式的解集为{x|≤x≤或≤x≤}.
考点3 正弦函数和余弦函数的综合应用
13.在(0,2π)内使sinx>|cosx|的x的取值范围是( )
A.
B.∪
C.
D.
【答案】A
【解析】∵sinx>|cosx|,∴sinx>0,∴x∈(0,π),在同一坐标系中画出y=sinx,x∈(0,π)与y=|cosx|,x∈(0,π)的图象,观察图象易得x∈.
14.函数f(x)=sinx的图象与g(x)=cosx的图象关于某条直线对称,这条直线可以是( )
A.x=
B.x=
C.x=-
D.x=-
【答案】D
【解析】设这条直线是x=a,
∵函数f(x)=sinx的图象与g(x)=cosx的图象关于x=a对称,
∴sin(2a-x)=cosx,即有cos[-(2a-x)]=cosx,
∴可解得-(2a-x)=x+2kπ,k∈Z,
故有a=-kπ,k∈Z,
∴当k=2时,a=-.
15.若0<x<,则2x与πsinx的大小关系是( )
A.2x>πsinx
B.2x<πsinx
C.2x=πsinx
D.与x的取值有关
【答案】B
【解析】在同一坐标平面内作出函数y=2x与函数y=πsinx的图象,如图所示:
观察图象易知:
当x=0时,2x=πsinx=0;
当x=时,2x=πsinx=π;
当x∈时,函数y=2x是直线段,而曲线y=πsinx是上凸的.所以2x<πsinx,故选B.
16.已知a是实数,则函数f(x)=acosax的图象可能是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】函数f(x)=acosax,因为函数f(-x)=acos(-ax)=acosax=f(x),所以函数是偶函数,所以A、D错误;
结合选项B、C,可知函数的周期为π,所以a=2,所以B错误,C正确.
17.在同一坐标系中,曲线y=sinx与y=cosx的图象的交点是( )
A.
B.
C.
D.(kπ,0)k∈Z
【答案】B
【解析】在同一坐标系中,画出曲线y=sinx与y=cosx的图象,
观察图形可知选项B正确,
18.若函数f(x)=2sin(2x+)+a-1(a∈R)在区间[0,]上有两个零点x1,x2(x1≠x2),则x1+x2-a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】函数f(x)=2sin(2x+)+a-1的周期为π,令2x+=,求得x=,可得函数在y轴右侧的第一条对称轴方程为x=.
由于函数的两个零点为x1,x2,∴x1+x2=2×=.
由函数f(x)=2sin(2x+)+a-1(a∈R)在区间[0,]上有两个零点x1,x2(x1≠x2),
可得y=2sin(2x+)的图象和直线y=1-a在区间[0,]上有两个交点.
由x∈[0,],可得2x+∈[,],2sin(2x+)∈[-1,2],∴1≤1-a<2,
求得-1<a≤0,故0≤-a<1,
∴≤x1+x2-a<+1.
19.如图是函数f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,|φ|≤)图象的一部分,对不同的x1,x2∈[a,b],若f(x1)=f(x2),有f(x1+x2)=,则φ的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据函数f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,|φ|≤)图象的一部分,可得A=2,周期为=π,∴b-a=.
由f(x1)=f(x2),可得函数的图象关于直线x==对称,故a+b=x1+x2.
由五点法作图可得2a+φ=0,2b+φ=π,∴a+b=-φ.
结合f(a+b)=f(-φ)=2sin(π-2φ+φ)=2sinφ=f(x1+x2)=,可得sinφ=,∴φ=.
20.函数y=x-2sinx在区间[-,]上的图象大致为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】f(-x)=-x+2sinx=-f(x),
∴函数为奇函数,故排除A,B,
f()=-,f()=-1,f()>f(),
即在x=时,取到最小值,排除C,故选D.
21.已知函数f(x)=sinπx和函数g(x)=cosπx在区间[0,2]上的图象交于A,B两点,则△OAB的面积是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示,∵sinπx=cosπx=sin(-πx),x∈[0,2],
∴解得πx=π-(-πx)+2kπ,k∈Z(无解)或πx=-πx+2kπ,k∈Z,
∴解得x=+k,k∈Z,且x∈[0,2],∴x=或,
∴解得坐标A(,),B(,-).
∴解得直线AB所在的方程为y-=-(x-),联立方程y=0,可解得,x=,OC=.
∴S△OAB=S△OAC+S△COB=×OC×+×OC×=.故选A.
22.函数f(x)=2sinπx-,x∈[-2,4]的所有零点之和为________.
【答案】8
【解析】设t=1-x,则x=1-t,原函数可化为g(t)=2sin(π-πt)-=2sinπt-,其中,t∈[-3,3],
因g(-t)=-g(t),
故g(t)是奇函数,观察函数y=2sinπt与曲线y=的图象可知,
在t∈[-3,3]上,两个函数的图象有8个不同的交点,
其横坐标之和为0,即t1+t2+…+t7+t8=0,
从而x1+x2+…+x7+x8=8.
23.设0≤x≤2π,且|cosx-sinx|=sinx-cosx,则x的取值范围为________.
【答案】
【解析】由题意知sinx-cosx≥0,即cosx≤sinx,在同一坐标系内画出y=sinx,x∈[0,2π]
与y=cosx,x∈[0,2π]的图象,如图所示,
观察图象知x∈.
24.若函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)的图象与x轴相邻两个交点间的距离为2,则实数ω的值为____.
【答案】
【解析】由题意可得,函数的周期为2×2=,求得ω=.
25.已知0≤x≤2π,试探索sinx与cosx的大小关系.
【答案】用“五点法”作出y=sinx,y=cosx(0≤x≤2π)的简图.
由图象可知①当x=或x=时,sinx=cosx;
②当<x<时,sinx>cosx;
③当0≤x<或<x≤2π时,sinx<cosx.
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