高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质同步达标检测题

2021-2022学年高一数学同步课时优练测（人教A版必修第一册）

一、单选题

1．设函数，则下列结论错误的是（    ）

A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称

C．在单调递减 D．的一个零点为

【答案】C

【解析】函数，的最小正周期为，故A正确；

，的图象关于直线对称，故B正确；

当时，，没有单调性，故C错误；

，的一个零点为，故D正确.

综上，错误的选项为C.

故选：C.

2．已知函数，为其图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若，则的单调递增区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为为图象的对称中心，所以,

因为，是该图象上相邻的最高点和最低点，且，

所以,

因此，

要求的单调增区间，则有，得，.

故选：D.

3．已知函数（，，），若的图象经过点，相邻对称轴的距离为，则的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为相邻对称轴的距离为周期的一半，所以函数的最小正周期，又，所以，故选项B，D错误；把点代入选项A，，选项A成立，而把点代入选项C，，选项C不成立.

故选：A.

4．函数的零点的个数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】函数零点的个数就是与的图像交点的个数，在同一直角坐标系中作图，如下，它们共有5个不同的交点，故零点的个数为5，

故选：C.

5．已知函数，则下列结论中正确的个数为（    ）

①为偶函数；②的一个周期为；③在上单调递减；④的值域为

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】解：因为

由条件易知，所以为偶函数，①正确
因为，，，故不是的周期，②错误
当时，，

所以，，从而可知在上单调递减，③正确
当时，，所以，

当时，，，又易知是的周期，故的值域为，④正确．
综上所述，正确的结论为①③④．
故选:C
6．已知函数的部分图象如图，则在区间上零点的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】由题知，故，；

，则，，

又，则，

当时，或，即有2个零点.

故选：C

二、填空题

7．已知函数在上单调函数，则的最大值是______.

【答案】4

【解析】由题可得，

由，得，

令，得，

故在单调，于是，得，

所以的最大值是4，

故答案为：4．

8．若函数是偶函数，则___________.

【答案】

【解析】解：因为函数为偶函数，则，

所以，

整理得，解得，经检验，m的值符合题意

故答案为: .

9．若函数的图象关于点对称，则实数_______．

【答案】3

【解析】由题得，

所以

所以.

当时，函数的图象关于点对称.

故答案为：3

三、解答题

10．已知.

（1）求函数的单调递增区间及最大值；

（2）用“五点法”画出函数在区间上的图象.

【答案】（1）单调递增区间为，；（2）答案见解析.

【解析】（1）

.

∴当，

即时单调递增，

即的单调递增区间为，（）.

当且仅当，

即时，取得最大值，.().

（2）列表：

11．已知函数，其中常数.

（1）在上单调递增，求的取值范围；

（2）若，将函数图像向左平移个单位，得到函数的图像，且过，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题意得，又，得的最小正周期为，

由正弦函数的性质，当，函数取得最小值，函数取得最大值，

∴是函数的一个单调递增区间，

又因为函数()在上单调递增，则，解得.

（2）由（1）得，将函数图像向左平移个单位，得到函数的图像，

即，∵的图像过，∴，

得：，即：，，∴，，∵，∴，

得，，，，

令，参变分离得在恒成立，令，

则函数在上递增，当时，..

12．设函数，已知它的图象的一条对称轴是直线．

（1）求；

（2）求函数的单调递减区间．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意，函数的一条对称轴是直线，

可得，因为，所以.

（2）由（1）知，

令，即

所以函数的递减区间为．