高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示当堂达标检测题

2021-2022学年高一数学同步课时优练测（人教A版必修第一册）

一、单选题

1.已知函数 ， ，若对任意 ，总存在 ，使 ，则实数a的取值范围是（    ）           

A.                                                   B. 
C.                                             D. 

【答案】 B  

【解析】因为对任意 ，总存在 ，使 ，

所以 的值域包含于 的值域，

由 可得其值域为   ，

  ，

当 时， 时， ， 时，   ，

所以有 ，解得   ，

当 时， 时， ， 时，   ，

所以有 ，解得   ，

综上所述：实数a的取值范围是 。

故答案为：B

2. 与 是定义在 上的两个可导函数，若 , 满足 ,则 与 满足（   ）           

A.         B.   为常数函数      C.         D.   为常数函数

【答案】 B  

【解析】 ，则 为常数．

故答案为：B.

3.已知函数 ，则 的定义域为（    ）           

A.                   B.                   C.                   D. 

【答案】 A  

【解析】由 可知： 或 ，

因此有： 或 ，显然 不成立，故 ，解得 或 .

故答案为：A

4.下面各组函数中表示同一函数的是（    ）           

A.                                         B. 
C.                                           D. 

【答案】 C  

【解析】对于A. 定义域为R， 定义域为 ，故不为同一个函数；

对于B. 定义域为 ， 定义域为 ，故不为同一个函数；

对于C. 和 定义域相同，解析式化简后相同，为同一个函数；

对于D. 定义域为 ， 定义域为R，故不为同一个函数．

故答案为：C.

5.已知函数 ，则 （    ）           

A.                             B.                             C.                             D. 

【答案】 A  

【解析】令 ， ， ，

则 ，

所以 。

故答案为：A。

 
6.下列四组函数中，表示相等函数的一组是（    ）           

A.  ，
B.  ，
C.  ，
D.  ，

【答案】 A  

【解析】A.两个函数的定义域相同，并且函数 ，对应关系也相同，所以两个函数是相等函数；

B.函数 的定义域是 ，函数 的定义域是 ，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数；

C.函数 的定义域是 ，函数 的定义域是 ，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数；

D.函数 的定义域是 ，函数 的定义域是 ，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数；

故答案为：A

二、填空题

7.若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为________.   

【答案】   

【解析】 ，解得 ，所以函数 的定义域为 。

故答案为： 。

8.已知 ，则函数 的值域为________．   

【答案】   

【解析】解：因为 ，所以 ，所以 ，令 ，则 ，

所以 ，所以 ，

因为抛物线的对称轴方程为 ，所以 时，函数 单调递增，

所以 ．

故答案为：

9.函数 的值域是________.   

【答案】 {-2，0，4}  

【解析】 的定义域为

当x为第一象限角时， ，

∴ ；

当x为第二象限角时， ，

∴ ；

当x为第三象限角时， ，

∴ ；

当x为第四象限角时， ，

∴ ；

故答案为：{-2，0，4}

三、解答题

10.设 （ ，且 ），其图象经过点 ，又 的图象与 的图象关于直线 对称．   

（1）若 ，求 的值；   

（2）若 在区间 上的值域为 ，且 ，求c的值．   

【答案】 （1）解：因为 （ ，且 ）的图象经过点 ，  

所以 ，所以 ，所以 ，

因为 ，所以 ，

所以 ，所以 ，

所以
（2）解：因为 的图象与 的图象关于直线 对称，所以 ，且为增函数，  

所以 在区间 上的值域为 ，

因为 ，所以 ，所以 ，

所以

【解析】（1）利用待定系数法确定 函数关系式，然后代入求值；
（2）为  的反函数，故 ， 然后利用对数函数的性质解答。

11.如图，M为△ABC的中线AD上一点， ，过点M的直线分别与边AB，AC交于点P、Q(均异于点A)，设 ， ，记x的关系式为 . 

（1）求函数 的解析式和定义域；   

（2）设 的面积为S1  ， ΔABC的面积为S2  ， 且 ，求实数k的取值范围.   

【答案】 （1）解：    

，

由于 三点共线，所以 ，

.

由 得 ，

所以函数 的定义域为 .

（2）解： ，  

所以 .

设 ， ，故 ，

， ，

对于函数 ，其在 上递减，在 上递增，

当 时， ，当 时， ，当 时， ，所以 ，

故 ， ，

所以 的取值范围是 .

【解析】（1）利用  三点共线求得函数 的解析式，根据x，y的取值范围求得函数的定义域；
（2）求得  的表达式，由此求得k的表达式，进而求得k的取值范围。

12.设函数 的值域为 ．   

（1）求 ；   

（2）记 中的正整数的个数为 ，若 ，求n的最小值．   

【答案】 （1）解：当 时， ，  

因为 在 单调递增，

所以 的值域为 ，即

（2）解：因为 在 上单调递增，  

当 时， ， ，

当 时， ， ，

所以n的最小值为11

【解析】（1） 当  时，  ， 根据 在  单调性可得   的值域 ，即得   ；
（2）由  在  上单调递增， 当  ，11时 ，求出的值，即可得出n的最小值。