高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质综合训练题

2021-2022学年高一数学同步课时优练测（人教A版必修第一册）

一、单选题

1.下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递增的是（    ）           

A.                                 B.                                 C.                                 D. 

【答案】 C  

【解析】对于A： 是奇函数，在 上单调递增，A不符合题意；

对于B： 是偶函数，在 上单调递减，B不符合题意符合题意；

对于C： ，其图象为：

图象关于 轴对称，是偶函数且在 上单调递增，C符合题意；

对于D： 定义域为 ，不关于原点对称，所以 既不是奇函数也不是偶函数， D不符合题意，

故答案为：C

2.函数 的单调减区间是（    ）           

A.                                 B.                                 C.                                 D. 

【答案】 B  

【解析】由已知得 ， ，解得： ，

的单调递减区间，

即 的单调递减区间，对称轴为 ，

结合二次函数单调性，

所以 的单调递减区间 。

故答案为：B.

3.设函数 ，下列四个结论正确的是（   ） 

① 是奇函数；② 的图象关于直线 对称；③当 时，   ；④当 时， 单调递增.

A. ①③                                     B. ②④                                     C. ③④                                     D. ②③ 

【答案】 D  

【解析】解：因为 ，所以

画出函数图像如下

由图可知， 的图像关于y轴对称，是偶函数，所以①错；

的图象关于直线 对称，所以②正确；

在 上的值域为 ，所以③正确；

在 时， 没有单调性，所以 ④错．

故答案为：D

4.集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（    ）           

A.                                    B.                                    C.                                    D.   

【答案】 C  

【解析】令 即

若 ，则上式无解，满足 ，符合题意.

若 ，得

令

则

令 得

易得 得最小值为 ，无最大值.

要使 无解，必须 ，即

又 符合题意，所以实数 的取值范围是 .

故答案为：C.

5.定义在R上的偶函数 ，设 ，则（    ）           

A.                            B.                            C.                            D.   

【答案】 C  

【解析】 是偶函数，则 ，即 ， ，解得 ， ，所以 在 上单调递减．又 ，所以 ．

故答案为：C．

6.已知 的定义域为 ， 为 的导函数，且满足 ，则不等式   的解集是（    ）           

A.                                 B.                                 C.                                 D. 

【答案】 B  

【解析】令 ，则 ，所以 在 上单调递减

， ，

，

，

故答案为：B

二、填空题

7.设函数 在 上满足 ，在 上对任意实数 都有 成立，又 ，则 的解是________.   

【答案】   

【解析】由函数 定义域及 ，可知函数 为奇函数，

在 上对任意实数 都有 成立，

函数 在 上为增函数，

又函数 为奇函数， 函数 在 为增函数，

又 ，则 ， 作出函数草图如图所示：

或 ，

根据 的图像可知 的解为： 。

故答案为： 。

8.已知函数 的定义域为R，在 上单调，且为奇函数．若 ，则满足 的x的取值范围是________．   

【答案】   

【解析】因为函数 为奇函数，

所以 ， 在 上单调递增，

则由 可得 或 或 ，

所以 或 或 ．

故答案为： .

9.若函数 为偶函数，则 ________.   

【答案】   

【解析】因为 ，定义域 ，

又 ，

由 ，则 对任意 都成立，

故 ，解得 。

故答案为： 。

三、解答题

10.已知定义域为R的函数 和 ，其中 是奇函数， 是偶函数，且 ．   

（1）求函数 和 的解析式；   

（2）解不等式： ；   

（3）若关于x的方程 有实根，求正实数 的取值范围．   

【答案】 （1）解：因为 是奇函数， 是偶函数，

所以 ， ，

因为 ，所以 ，即 ，

所以 ，
（2）解： 可化为 ，即 ，

所以 ，所以 ，得 ，

所以不等式 的解集为

（3）解：关于x的方程 有实根，即 有实根，

所以 有实根，

令 ，则 有正根，

所以 有正根，

因为 ，

设 ，则 ， ，

当 时， ，

当 且 时， ，

因为 在 上递减，在 上递减，在 上递增，

所以 或 ，

所以 或 ，

综上所述：

【解析】（1）利用已知条件 ，结合奇函数和偶函数的定义，进而解方程组求出 函数 和 的解析式 。
（2）利用（1）求出的函数 和 的解析式，再利用指数与对数的互化公式结合指数函数与对数函数的单调性，进而解出不等式的解集。
（3） 关于x的方程 有实根，即 有实根，所以 有实根，令 ，则 有正根，所以 有正根，因为 ，设 ，则 ， ，再利用分类讨论的方法结合单调函数的定义，进而判断出函数y= 的单调性，再利用函数y= 的单调性，进而求出正实数 的取值范围 。
11.已知函数 为奇函数.   

（1）求 的值，并用函数单调性的定义证明函数 在 上是增函数；   

（2）求不等式 的解集.   

【答案】 （1）解：由已知 ，  

∴ ，

∴ ，

解得 .

∴ .

证明： ，且 ，

则 ，

∵ ，

∴ ，∴ ，又 ， ，

∴ ，

∴ ，

故函数 在 上是增函数
（2）解：∵ ，  

∴ ，

而 为奇函数，

∴ ，

∵ 为 上单调递增函数，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴原不等式的解集为

【解析】(1)根据题意由奇函数的定义即可求出a的值由此即可得出函数的解析式，再由函数单调性的定义即可得证出结论。
(2)首先由已知条件整理得到  ， 再由奇函数的性质和函数的单调性即可得出  ， 由一元二次不等式的解法即可求出t的取值范围即不等式的解集。

12.已知 为R上的奇函数．   

（1）求实数a的值：   

（2） ， ．若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数b的取值范围．   

【答案】 （1）解：∵ 为R上的奇函数，∴ ，  

解得：

经检验：当 时，满足 为奇函数

所以

（2）解：由（1）知    

由复合函数单调性知： 在 上单调递增

所以当 时， ，即

设 在 的值域为A，知

对b讨论：当 时， 显然不符合

当 时，因为 与 在 上均单调递增，同理根据复合函数单调性知：所以 在 上单调递增

所以当 时，

故有：

解得： .

【解析】（1）由奇函数性质  求得a，代入检验即可得；
（2）确定函数的单调性求得  时， 是的值域B，   的值域为A， 由 可得b的范围。