数学必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试授课课件ppt

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性质4可乘性： ⇒______， ⇒______.性质5同向可加性： ⇒________.性质6同向同正可乘性： ⇒______.性质7可乘方性：a>b>0⇒_____ (n∈N，n≥1).性质8可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2).
1.不等式的性质性质1对称性：a>b⇔____.性质2传递性：a>b，b>c⇒____.性质3可加性：a>b⇔________.
2.一元二次不等式及其解法
一元二次方程根的分布问题 一元二次方程根的分布问题 求解一元二次方程根的分布问题的基本思路是：由一元二次方程构造一元二次函数，勾画函数图象，由图象直观地找出满足题意的根的分布的条件，即列出关于判别式、根与系数关系、求根公式、函数值的符号、对称轴等的不等式，通过解不等式解决根的分布问题.
【例1】关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两根，一个小于1，一个大于1，求实数k的取值范围.【审题指导】本题考查一元二次方程根的分布问题，因为此方程有两根，所以2k≠0,即k≠0，另外要注意对k的讨论.【规范解答】∵关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0有两个不同实根，∴2k≠0.又∵一个小于1，一个大于1，∴设f(x)=2kx2-2x-3k-2,则当k>0时，f(1)<0,即2k-2-3k-2<0,整理得k>-4,∴k>0;
当k<0时，f(1)>0,即2k-2-3k-2>0,整理得k<-4,∴k<-4.综上所述，当k∈(-∞,-4)∪(0,+∞)时，方程2kx2-2x-3k-2 =0的两根，一个小于1，一个大于1.
　　　　　　 不等式中恒成立问题 解有关不等式恒成立问题常用方法：（1）直接将参数从不等式中分离出来变成k≥f(x)（或k≤f(x)），从而转化成f(x）求最值.（2）如果参数不能分离，而x可以分离，如g(x)≤f(k)（或g(x)≥f(k)），则f(k)恒大于g(x)的最大值或恒小于g(x)的最小值，然后解关于参数k的不等式.（3）若不等式对于x，参数都是二次的，则借助二次函数在某区间上恒大于0或恒小于0求解.
【例3】 已知f(x)=x2-2ax+2(a∈R)，当x∈［-1,+∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围.【审题指导】解答此类题要正确理解好f(x)≥a恒成立的意义，一是可转化为f(x)min≥a，二是重新构造新函数F(x)=f(x)-a≥0恒成立.
【规范解答】方法一：f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为x=a.①当a∈(-∞,-1)时，f(x)在［-1，+∞)上单调递增，f(x)min=f(-1)=2a+3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a,即2a+3≥a,解得-3≤a<-1;②当a∈［-1,+∞)时，f(x)min=f(a)=2-a2,由2-a2≥a,解得-1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围为［-3,1］.
方法二：令g(x)=x2-2ax+2-a,由已知，得x2-2ax+2-a≥0在［-1，+∞)上恒成立，即Δ=4a2-4(2-a)≤0或 解得-3≤a≤1.即所求a的取值范围为［-3,1］.
　　　　　　 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值的方法 基本不等式通常用来求最值问题：一般用a+b≥ (a>0,b>0)解“定积求和，和最小”问题，用ab≤ 解“定和求积，积最大”问题.一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”.特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证.
若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题.【特别提醒】在解题过程中，一定要注意等号成立的条件.
【例4】设函数f(x)= x∈［0,+∞).（1）当a=2时，求函数f(x)的最小值；（2）当0∵x∈［0,+∞),∴x+1>0, >0,∴x+1+ 当且仅当x+1= 即x= -1时，f(x)取最小值.此时，f(x)min= -1.(2)当0设x1>x2≥0，则f(x1)-f(x2)=x1+ ［1- ］,∵x1>x2≥0,∴x1-x2>0,x1+1>1,x2+1≥1,∴(x1+1)(x2+1)>1,而00,∴f(x)在［0，+∞)上单调递增，∴f(x)min=f(0)=a.
函数与方程思想【名师指津】函数与方程思想 不等式与函数、方程三者密不可分，相互联系，相互转化，有关求参数的取值范围问题，用函数f(x)=x+ 的单调性解决最值问题，实际应用问题等，都要首先考虑函数与方程思想.
【例6】 已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β)，且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.【审题指导】审题时要明确不等式的解集与方程的根的关系，以及根与系数的关系的应用.【规范解答】由已知不等式可得a<0，且α、β为方程ax2+bx+c=0的两根，∴由根与系数的关系可得
方法一：∵a<0,∴由②得c<0，则cx2+bx+a<0可化为x2+ x+ >0.①÷②，得 由②得∴ 为方程 的两根.又∵0<α<β,∴ ∴不等式 的解集为{x|x< 或x> },即不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x< 或x> }.
方法二：∵a<0，由cx2+bx+a<0,得将①②代入，得αβx2-(α+β)x+1>0,即（αx-1)(βx-1)>0.∵0<α<β,∴0< ∴所求不等式的解集为{x|x< 或x> }.
1.已知a>0,b>0,则 的最小值是( )(A)2 (B) (C)4 (D)5【解析】选C.∵a>0,b>0,∴ 当且仅当a=b时取等号.∴ 的最小值为4.
2.在R上定义运算⊙：a⊙b=ab+2a+b,则满足x⊙(x-2)<0的实数x的取值范围为（ ）(A)(0,2) (B)(-2,1)(C)(-∞,-2)∪(1,+∞) (D)(-1,2)【解析】选B.根据给出的定义得x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2) =x2+x-2=(x+2)(x-1),又x⊙(x-2)<0，则(x+2)(x-1)<0，故这个不等式的解集是（-2，1）.故选B.
3.若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0, ］成立，则a的最小值为（ ）(A)0 (B)-2 (C)- (D)-3【解析】选C.由已知可得不等式a≥ =-( +x)对于一切x∈(0, ］成立，又由函数f(x)=-( +x)在x∈(0, ］上为增函数，可得f(x)的最大值为f( )= 从而得a的最小值为
4.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集是（1,m)，则m=____.【解析】∵ax2-6x+a2<0的解集是（1，m），∴a＞0且1、m是方程ax2-6x+a2=0的两个根，并且m>1.∴ 解得答案：2
5.设不等式2x-1>m(x2-1)对满足-2≤m≤2的一切实数m都成立，求x的取值范围.【解析】把不等式2x-1>m(x2-1)看作关于m的一次不等式，则(x2-1)m+(1-2x)<0,记函数f(m)=(x2-1)m+(1-2x)，它的图象为一条线段，结合图形易知需解得 即x的取值范围是（ ）.