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人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数教学演示课件ppt
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数教学演示课件ppt，共33页。PPT课件主要包含了目录索引等内容，欢迎下载使用。
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
学以致用·随堂检测全达标
学习单元3 幂函数 本单元放在函数的一般概念和性质之后,通过对几个常用幂函数的学习,利用“一般函数的概念、图象与性质”来进行一类函数的研究,这是本单元的知识明线.明确研究一类具体函数的基本求解过程:一是根据函数的解析式求出函数的定义域;二是画出函数的图象;三是利用图象和解析式,讨论函数的值域、单调性、奇偶性等特征.本单元的具体结构图如图.
知识点一:幂函数的定义一般地,函数 叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 名师点睛幂函数的特征(1)xα的系数为1;(2)xα的底数是自变量x,指数α为常数;幂函数是一个形式化的定义,为复合函数作铺垫.
微思考函数 ,y=3x2中,哪些是幂函数?
提示 函数 =x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数.
知识点二:幂函数的性质与图象
1.在同一平面直角坐标系中,观察幂函数y=x,y=x2,y=x3, ,y=x-1的图象在第一象限内的特征,如图所示.(1)所有的幂函数在(0,+∞)内都有意义,图象都通过点(1,1),并且幂函数的图象都不过第四象限.
(2)当α>0时,幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1),并且在[0,+∞)内都是增函数.当α<0时,幂函数的图象都通过点(1,1),在(0,+∞)内都是减函数,在第一象限内,函数图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近.
微思考1.幂函数的图象一定过定点吗? 2.为何要特别研究幂函数在第一象限内的图象?
提示 因为无论α取何值y=xα,当x=1时,1α=1,因此幂函数的图象一定过定点(1,1).
提示 因为第一象限意味着自变量x>0,对于幂函数来说更具有普遍性,研究更具有价值.
问题1对于一般函数的研究过程,首先是函数的定义及表示,然后是函数的图象及性质的探究.对于具体的一类函数,可否尝试这样研究?
探究点一 幂函数的概念
问题2幂函数有哪些特征?【例1】 已知幂函数y=(k-1)xα的图象过点(2,4),则k+α等于( )
解析 ∵幂函数y=(k-1)xα的图象过点(2,4),∴k-1=1,2α=4,∴k=2,α=2.∴k+α=4,故选D.
规律方法 幂函数的判断方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
探究点二 幂函数的图象
问题3如何画出幂函数的图象?不同的幂函数,其图象有哪些不同?如何区分差异?【例2】 已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为( )A.c
探究点三 利用幂函数的单调性比较大小
问题4单调性是函数的重要性质.幂函数的单调性与什么有关?又可以有哪些应用?
【例3】 比较下列各组中两个数的大小:
规律方法 比较幂大小的三种常用方法
探究点四 幂函数性质的综合应用
问题5多个性质综合在一起,又可以如何联系?【例5】 [2023黑龙江哈尔滨高一月考]函数 是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,则实数m为( )A.1B.-1C.2D.-1或2
解析 ∵函数 是幂函数,∴可得m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.当m=-1时,函数为y=x-1在区间(0,+∞)上单调递减,满足题意,当m=2时,函数为y=x5在(0,+∞)上单调递增,不满足条件.故选B.
规律方法 幂函数y=xα在(0,+∞)上的单调性与α的关系:当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增;当α<0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递减.
【例6】 已知函数f(x)=(m2-2m+2)x1-3m是幂函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论.
解(1)∵函数f(x)=(m2-2m+2)x1-3m是幂函数,∴m2-2m+2=1,解得m=1,故f(x)=x-2(x≠0).(2)函数f(x)=x-2为偶函数.证明:由(1)知f(x)=x-2,其定义域为{x|x≠0},关于原点对称,∵对于定义域内的任意x,都有f(-x)=(-x)-2= =x-2=f(x),故函数f(x)=x-2为偶函数.(3)f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.证明:∀x1,x2∈(0,+∞),不妨设00,x2+x1>0, >0,∴f(x1)>f(x2).∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.
1.(例1对点题)如果幂函数 的图象不过原点,求实数m的取值.
解 由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.综上所述,m=1或m=2.
2.(例2对点题)如图,①②③④对应选项中的四个幂函数的图象,其中②对应的幂函数是( )A.y=x3B.y=x2C.y=xD.y=
解析 根据幂函数的图象以及性质得①是y= ,②是y=x,③是y=x2,④是y=x3.
3.(例2对点题)如图是幂函数y=xα的部分图象,已知α分别取 ,3,-3,- 这四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相应的α依次为( )
解析 根据幂函数的图象与性质,当x>1时,图象越靠近x轴的指数越小,因此相应于曲线C1,C2,C3,C4相应的α依次为
A.c
7.(例6对点题)已知幂函数f(x)=(m2-2m+1) 的图象过点(4,2).(1)求f(x)的解析式;(2)判断f(x)的单调性,并进行证明;(3)若f(a+1)>f(2a-3),求实数a的取值范围.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
学以致用·随堂检测全达标
学习单元3 幂函数 本单元放在函数的一般概念和性质之后,通过对几个常用幂函数的学习,利用“一般函数的概念、图象与性质”来进行一类函数的研究,这是本单元的知识明线.明确研究一类具体函数的基本求解过程:一是根据函数的解析式求出函数的定义域;二是画出函数的图象;三是利用图象和解析式,讨论函数的值域、单调性、奇偶性等特征.本单元的具体结构图如图.
知识点一:幂函数的定义一般地,函数 叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 名师点睛幂函数的特征(1)xα的系数为1;(2)xα的底数是自变量x,指数α为常数;幂函数是一个形式化的定义,为复合函数作铺垫.
微思考函数 ,y=3x2中,哪些是幂函数?
提示 函数 =x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数.
知识点二:幂函数的性质与图象
1.在同一平面直角坐标系中,观察幂函数y=x,y=x2,y=x3, ,y=x-1的图象在第一象限内的特征,如图所示.(1)所有的幂函数在(0,+∞)内都有意义,图象都通过点(1,1),并且幂函数的图象都不过第四象限.
(2)当α>0时,幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1),并且在[0,+∞)内都是增函数.当α<0时,幂函数的图象都通过点(1,1),在(0,+∞)内都是减函数,在第一象限内,函数图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近.
微思考1.幂函数的图象一定过定点吗? 2.为何要特别研究幂函数在第一象限内的图象?
提示 因为无论α取何值y=xα,当x=1时,1α=1,因此幂函数的图象一定过定点(1,1).
提示 因为第一象限意味着自变量x>0,对于幂函数来说更具有普遍性,研究更具有价值.
问题1对于一般函数的研究过程,首先是函数的定义及表示,然后是函数的图象及性质的探究.对于具体的一类函数,可否尝试这样研究?
探究点一 幂函数的概念
问题2幂函数有哪些特征?【例1】 已知幂函数y=(k-1)xα的图象过点(2,4),则k+α等于( )
解析 ∵幂函数y=(k-1)xα的图象过点(2,4),∴k-1=1,2α=4,∴k=2,α=2.∴k+α=4,故选D.
规律方法 幂函数的判断方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
探究点二 幂函数的图象
问题3如何画出幂函数的图象?不同的幂函数,其图象有哪些不同?如何区分差异?【例2】 已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为( )A.c
探究点三 利用幂函数的单调性比较大小
问题4单调性是函数的重要性质.幂函数的单调性与什么有关?又可以有哪些应用?
【例3】 比较下列各组中两个数的大小:
规律方法 比较幂大小的三种常用方法
探究点四 幂函数性质的综合应用
问题5多个性质综合在一起,又可以如何联系?【例5】 [2023黑龙江哈尔滨高一月考]函数 是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,则实数m为( )A.1B.-1C.2D.-1或2
解析 ∵函数 是幂函数,∴可得m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.当m=-1时,函数为y=x-1在区间(0,+∞)上单调递减,满足题意,当m=2时,函数为y=x5在(0,+∞)上单调递增,不满足条件.故选B.
规律方法 幂函数y=xα在(0,+∞)上的单调性与α的关系:当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增;当α<0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递减.
【例6】 已知函数f(x)=(m2-2m+2)x1-3m是幂函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论.
解(1)∵函数f(x)=(m2-2m+2)x1-3m是幂函数,∴m2-2m+2=1,解得m=1,故f(x)=x-2(x≠0).(2)函数f(x)=x-2为偶函数.证明:由(1)知f(x)=x-2,其定义域为{x|x≠0},关于原点对称,∵对于定义域内的任意x,都有f(-x)=(-x)-2= =x-2=f(x),故函数f(x)=x-2为偶函数.(3)f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.证明:∀x1,x2∈(0,+∞),不妨设0
1.(例1对点题)如果幂函数 的图象不过原点,求实数m的取值.
解 由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.综上所述,m=1或m=2.
2.(例2对点题)如图,①②③④对应选项中的四个幂函数的图象,其中②对应的幂函数是( )A.y=x3B.y=x2C.y=xD.y=
解析 根据幂函数的图象以及性质得①是y= ,②是y=x,③是y=x2,④是y=x3.
3.(例2对点题)如图是幂函数y=xα的部分图象,已知α分别取 ,3,-3,- 这四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相应的α依次为( )
解析 根据幂函数的图象与性质,当x>1时,图象越靠近x轴的指数越小,因此相应于曲线C1,C2,C3,C4相应的α依次为
A.c
7.(例6对点题)已知幂函数f(x)=(m2-2m+1) 的图象过点(4,2).(1)求f(x)的解析式;(2)判断f(x)的单调性,并进行证明;(3)若f(a+1)>f(2a-3),求实数a的取值范围.
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