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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试习题
展开这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试习题，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教版2019必修一 第四章 指数函数与对数函数单元练习
一、单选题
1.以下运算正确的是（ ）
A. lg2×lg3=lg6 B. (lg2)2=lg4 C. lg2+lg3=lg5 D. lg4-lg2=lg2
2.已知 a=2 ， b=313 ， c=log32 ，则（ ）
A. a
A. B. C. D.
4.已知函数 f(x)={1-ex,x≤0,x2-2x,x>0 ，若函数 y=f(x)-m 有两个不同的零点，则 m 的取值范围（ ）
A. B. C. D.
5.已知 f(x)=|3x-1|+2 ，若关于 x 的方程 [f(x)]2-(2+a)f(x)+2a=0 有三个实根，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.当 a>0 且 a≠1 时，函数 f(x)=ax-2-3 必过定点
A. B. C. D.
7.若xlog23=1，则3x+9x的值为（ ）
A. 3 B. 6 C. 2 D.
8.已知函数 y=xa(a∈R) 的图象如图所示，则函数 y=a-x 与 y=logax 在同一直角坐标系中的图象是
A. B. C. D.
9.若a>1，b>0，ab＋a－b＝2 2 ，则ab－a－b等于( )
A. B. 2或－2 C. －2 D. 2
10.已知1是函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的一个零点，若存在实数x0 ． 使得f（x0）＜0．则f（x）的另一个零点可能是（ ）
A. B. C. D.
11.设函数 f(x)={21-x,x≤11-log2x,x>1 ，则满足 f(x)≤2 的x的取值范围是
A. B. C. D.
12.给出定义：若 m-12
二、填空题
13.计算： 823÷(14)-12 =________.
14.计算： log354+4log23-log3536= ________．
15.已知函数f(x)= log0.5(x2-4) ，则f(x)的单调递增区间是________．
16.定义在R上的奇函数 f(x) ，当 x≥0 时，则 f(x)={3x-1,x∈[0,1]|2x-5|-1,x∈(1,+∞) ，则关于x的函数 F(x)=f(x)-1 的所有零点之和为________．
三、解答题
17.不用计算器求下列各式的值
（1）(94)12-(-8.6)0-(827)-13 ；
（2）lg25+lg4+7log72+2log33 ．
18.已知函数f（x）=ax-1（x≥0）．其中a＞0，a≠1．
（1）若f（x）的图象经过点（ 32 ，2），求a的值；
（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．
19.设 f(x)=loga(1+x）+loga(3-x）(a>0,a≠1) ，且 f(1)=2 ．
（1）求 a 的值及 f(x) 的定义域；
（2）求 f(x) 在区间 [0,32] 上的值域．
20.已知函数 f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5 有两个零点．
（1）若函数的两个零点是 -1 和 -3 ，求 k 的值；
（2）若函数的两个零点是 α 和 β ，求 α2+β2 的取值范围．
21.某地区预计从明年初开始的前几个月内，对某种商品的需求总量f（x）（万件）与月份数x的近似关系为f（x）= 1150 x（x+1）（35﹣2x）（x∈N，x≤12）．
（1）写出明年第x个月的需求量g（x）（万件）与月份数x的函数关系；
（2）求出需求量最大的月份数x，并求出这前x个月的需求总量．
22.已知函数f（x）=log2（x+1），当点（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点（ x3 ， y2 ）是函数y=g（x）图象上的点．
（1）写出函数y=g（x）的表达式；
（2）当g（x）﹣f（x）≥0时，求x的取值范围．
（3）若方程f（x）﹣g（x）﹣m=0有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解】根据对数的运算， lg2+lg3=lg6 从而判断A，C都错误， lg2+lg2=lg4 ，从而判断B不符合题意， lg4-lg2=lg42=lg2 ，从而判断D符合题意．
故答案为：D．
2.【答案】 C
【解】由 a=2>1 ， b=313>30=1 ，可得 a6=(212)6=23=8 ， b6=(313)6=32=9 ，
则有 a6≤b6 ，所以 1
3.【答案】 B
解：∵ f(-2)=2-2+14×(-2)=14-12<0 ， f(-1)=2-1-14=12-14>0 ，
∴函数 f(x) 的零点在区间 (-2,-1) ．
故答案为： ．
4.【答案】 A
【解】 f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,x>0
画出函数y=f（x）与y=m的图象，如图所示，
∵函数y=f（x）-m有2不同的零点，∴函数y=f（x）与y=m的图象有2交点，
由图象可得m的取值范围为（-1，1）．
故答案为：A
5.【答案】 C
【解】因为 [f(x)]2-(2+a)f(x)+2a=0 ，所以 f(x)=2 或 f(x)=a ,
由图象得 f(x)=2 有一个实根0，所以要使 f(x)=a 有两个不同非零实根，需 2
故答案为：C.
6.【答案】 B
【解】因为 a0=1 ，故 f(2)=-2 ，所以函数f (x)=ax-2-3 必过定点 (2,-2)
故答案为：B．
.
7.【答案】 B
【解】由题意x= 1log23=log32 ，
所以3x= 3log32 =2，
所以9x=4，所以3x+9x=6
故答案为：B．
8.【答案】 C
【解】由已知中函数y=xa（a∈R）的图象可知：a∈（0，1），
故函数y=a﹣x为增函数与y=logax为减函数，
故答案为：C．
9.【答案】 D
【解】∵a>1，b>0，
∴ab>a－b ， (ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2 2 )2－4＝4，
∴ab－a－b＝2.
故答案为：D.
10.【答案】 B
【解】∵1是函数f（x）=ax2+bx+c的一个零点，
∴a+b+c=0，
∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，且|a|＞|b|，得 -1
所以 -12<-b2a<12
画出函数大致图象如图：
当 0≤-b2a<12 时，函数的另一零点x1∈[-1，0），x0∈（-1，1）
则x0-3∈（-4，-2）， x0-12∈(-12,12) ， x0+32∈(12,52) ， x0+2∈(1,3)
当 -12<-b2a<0 时，函数的另一零点x1∈（-2，-1），x0∈（-2，1）
则x0-3∈（-5，-2）， x0-12∈(-52,12) ， x0+32∈(-12,52) ， x0+2∈(0,3)
综上可知f（x）的另一个零点可能是 x0-12
故答案为：B
11.【答案】 D
【解】因为函数 f(x)={21-x,x≤11-log2x,x>1 则满足 f(x)≤2∴{x≤121-x≤2或{x>11-log2x≤2 ，解得x的取值范围是 [0,+∞) ，
故答案为：D
12.【答案】 C
【解】当 m-12
a=-4,b=1 时 1-ba= 0；此时 y=f(x) 与 y=g(x)只 有一个交点（0，0），
a=-2,b=-1 时 1-ba=-1<-12 , 此时y=f(x) 与 y=g(x)只 有一个交点（0，0），
a=-5,b=-1 时 1-ba=-25 ; 此时y=f(x) 与 y=g(x) 有两个交点（0，0）， （-25，-25） ;
a=5,b=1 时 1-ba=0；y=f(x) 与 y=g(x)只 有一个交点（0，0），
故答案为：C.
二、填空题
13.【答案】 2
【解】 823÷(14)-12 =(23)23÷(2-2)-12=4÷2=2.
故答案为:2.
14.【答案】 11
【解】 log354+4log23-log3536
=log354536+22log23
=log39+2log232
=2+9
=11 .
15.【答案】
【解】由 x2-4>0 ，解得 x<-2 或 x>2 ．
令 g(x)=x2-4 ，
则当 x<-2 时，函数 g(x) 单调递减；当 x>2 时，函数 g(x) 单调递增．
又函数 y=log0.5x 在 (0,+∞) 上单调递减，
所以当 x<-2 时，函数 f(x)=log0.5(x2-4) 单调递增，
所以函数 f(x)=log0.5(x2-4) 的单调递增区间为 (-∞,-2) ．
故答案为： (-∞,-2) ．
16.【答案】
解：根据题意，函数 F(x)=f(x)-1 的零点即方程 f(x)=1 的根，
当 x≥0 时，则 f(x)={3x-1,x∈[0,1]|2x-5|-1,x∈(1,+∞) ，
则 [0,1] 上， f(x)=3x-1 ，若 3x-1=1 ，则 x=log32 ，又由 f(x)=3x-1≥0 ， f(x)=-1 无解；
在 (1,+∞) 上， f(x)=|2x-5|-1 ，若 f(x)=|2x-5|-1=1 ，则有 x=32 或 72 ，
若 f(x)=|2x-5|-1=-1 ，则有 x=52 ，
又由 f(x) 为奇函数，则 f(-x)=-f(x) ，
则有 f(-52)=-f(52)=1 ，即当 x<0 ， f(x)=1 的解为 x=-52 ；
综合可得：则当 x≥0 时， f(x)=1 的根为 log32 或 32 或 72 或 -52 ，
即函数 F(x)=f(x)-1 的零点有4个，分别为 log32 或 32 或 72 或 -52 ，
故函数 F(x)=f(x)-1 的所有零点之和为 log32+52 ，
故答案为： log32+52 ．。
三、解答题
17.【答案】 （1）解：原式 =[(32)2]12-1-[(23)3]-13=32-1-32=-1
（2）解：原式 =lg(25×4)+2+log3(3)2=lg100+2+log33=2+2+1=5 ．
18.【答案】 （1）解：∵函数f（x）=ax-1（x≥0）的图象经过点（ 32 ，2），∴ a12 =2，∴a=4
（2）解：对于函数y=f（x）=ax-1 ， 当a＞1时，单调递增，
∵x≥0，x-1≥-1，∴f（x）≥a-1= 1a ，故函数的值域为[ 1a ，+∞）．
对于函数y=f（x）=ax-1 ， 当0＜a＜1时，单调递减，
∵x≥0，x-1≥-1，∴f（x）≤a-1= 1a ，又f（x）＞0，故函数的值域为 (0，1a] ．
综上:当a＞1时，值域为[ 1a ，+∞）．当0＜a＜1时，值域为 (0，1a]
19.【答案】 （1）解: ∵ f(1)=2 ，∴ loga4=2(a>0,a≠1) ，∴ a=2 ．
由 {1+x>03-x>0 ，得 x∈(-1,3) ，∴函数 f(x) 的定义域为 (-1,3)
（2）解: f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2(1+x)(3-x)=log2[-(x-1)2+4] ，
∴当 x∈(-1,1) 时， f(x) 是增函数；当 x∈(1,3) 时， f(x) 是减函数，
函数 f(x) 在 [0,32] 上的最大值是 f(1)=log24=2 ，
函数 f(x) 在 [0,32] 上的最小值是 f(0)=log23 ，
∴ f(x) 在区间 [0,32] 上的值域是 [log23,2] ．
20.【答案】 （1）解：∵ -1 和 -3 是函数 f(x) 的两个零点，
∴ -1 和 -3 是方程 x2-(k-2)x+k2+3k+5=0 的两个实数根．
则 {-1-3=k-2, (-1)×(-3)=k2+3k+5,
解得 k=-2
（2）解：∵函数的两个零点为 α 和 β ，
∴ α 和 β 是方程 x2-(k-2)x+k2+3k+5=0 的两根，
∴ {α+β=k-2, αβ=k2+3k+5, Δ=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)>0,
则 {α2+β2=(α+β)2-2αβ=-k2-10k-6,-4
21.【答案】 （1）解：当x≥2时，
g（x）=f（x）﹣f（x﹣1）
= 1150 x（x+1）（35﹣2x）﹣ 1150 （x﹣1）x（37﹣2x）
= 1150 x[（x+1）（35﹣2x）﹣（x﹣1）（37﹣2x）]
= 125 x（12﹣x），
当x=1时，g（x）=f（1）= 125 ×1×（12﹣1），
∴g（x）= 125 x（12﹣x）（x∈N，x≤12）
（2）解：∵g（x）= 12x-x225 = 36-(x-6)225 ，
∴当x=6时，g（x）最大为 3625 ，此时f（x）= 16125
22.【答案】 （1）解：令 x3 =m， y2 =n，则x=3m，y=2n，由点（x，y）在y=log2（x+1）的图象上可得2n=log2（3m+1），故n= 12 log2（3m+1），
又（m，n）是函数y=g（x）的图象上的点，故g（x）= 12 log2（3x+1）（x＞﹣ 13 ）
（2）解：因为g（x）﹣f（x）≥0，所以 12 log2（3x+1）≥log2（x+1）．
由对数函数的性质可得 {3x+1>0x+1>03x+1≥(x+1)2 ，解得0≤x≤1
（3）解：g（x）﹣f（x）= 12 log2（3x+1）﹣log2（x+1）= 12 log2 3x+1(x+1)2 = 12 log2 9(3x+1)+43x+1+4 ≤ 12 log2 98 ．
因为方程f（x）﹣g（x）﹣m=0有两个不同的实数根，
所以﹣m＜ 12 log2 98 ，
所以m＞﹣ 12 log2 98
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