人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试单元测试课后复习题

指数函数与对数函数

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．集合，集合，若集合只有一个子集，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．下列说法中，正确的是（    ）

①任取都有；

②当时，任取都有；

③是增函数；

④的最小值为；

⑤在同一坐标中，与的图象关于轴对称．

A．①②④ B．④⑤ C．②③④ D．①⑤

3．函数的定义域是（    ）

A．  B．

C． D．

4．函数的图像的大致形状是（    ）

A．  B．

C．  D．

5．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

6．若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

7．根据有关资料，围棋状态空间复杂度上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：）

A． B． C． D．

8．设是定义在上以为周期的偶函数，已知当时，，则函数在上（    ）

A．是增函数，且 B．是增函数，且

C．是减函数，且 D．是减函数，且

9．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

10．设，函数，则使的的取值

范围是（    ）

A．  B．

C．  D．

11．已知函数，若，则此函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．

若实数满足，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）

13．的值域是        ．

14．已知，，则用，表示为        ．

15．若函数在上是增函数，则的取值范围为      ．

16．若函数（且）有两个零点，则实数的取值范围是     ．

三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．（10分）计算：．

18．（12分）设，是上的偶函数（其中）．

（1）求的值；

（2）证明：在上是增函数．

19．（12分）已知函数（且）在区间上的最大值与最小值之和为，记．

（1）求的值；

（2）证明：；

（3）求的值．

20．（12分）已知函数（为常数）是奇函数．

（1）求的值与函数的定义域；

（2）若当时，恒成立．求实数的取值范围．

21．（12分）已知，，为正数，，且．

（1）求的值；

（2）求证：．

22．（12分）定义在上的单调函数满足，且对任意，都有．

（1）求证：为奇函数；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

答 案

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．【答案】B

【解析】∵，如果只有一个子集，则，∴．

2．【答案】B

【解析】①可取，则，故①错；

②可取，则，故②错；

③即在上是单调减函数，故③错；

④由于，则，即时，取最小值，故④对；

⑤由图象对称的特点可得，在同一坐标系中，与的图象关于轴对称，故⑤对．

故答案为④⑤．

3．【答案】A

【解析】因为，所以要使函数有意义，需使，即．

4．【答案】D

【解析】且，根据指数函数的图象和性质，时，函数为减函数，时，函数为增函数，故选D．

5．【答案】B

【解析】根据分段函数可得，

则，所以B正确．

6．【答案】C

【解析】∵为奇函数，∴，即，

而，∴，∴，即为，

当时，，∴，解得；

当时，，∴，无解．

∴的取值范围为．

7．【答案】D

【解析】由题意，，

又，，，，

故与最接近的是．

8．【答案】D

【解析】由于时，，所以在区间上单调递增且，

又因为是偶函数，所以在区间上单调递减且，

又因为是周期为的周期函数，所以在区间上单调递减且，

故选D．

9．【答案】B

【解析】，，，．

又是定义在上的偶函数，且在上是增函数，

故在上单调递减，∴，

即．

10．【答案】C

【解析】，

因为，所以，即或，

所以或（舍去），因此，故选C．

11．【答案】D

【解析】∵，∴．

由，得函数的定义域为．

设，则此函数在上为增函数，在上为减函数，

根据复合函数的单调性可知函数的单调递增区间是，故选D．

12．【答案】C

【解析】由于为偶函数，所以且，

因为在区间上单调递增，所以，

即的最小值为．故选C．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）

13．【答案】

【解析】函数由，复合而成，其中是减函数，

在上单调递减，在上单调递增，

所以原函数在上单调递增，在上单调递减，从而函数在处取得最大值，最大值为，则值域为．

14．【答案】

【解析】由已知得，则，

因为，

所以，即．

15．【答案】

【解析】函数是由和复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方法．

（1）当时，若使在上是增函数，则在上是增函数且大于零．故有，解得，∴；

（2）当时，若使在上是增函数，

则在上是减函数且大于零，，

不等式组无解，

综上所述，存在实数使得函数在上是增函数．

16．【答案】

【解析】设函数（，且）和函数，则函数（，且）有两个零点，就是函数（，

且）与函数有两个交点．

由图象可知，当时，两函数只有一个交点，不符合；

当时，因为函数的图像过点，而直线所过的点一定在点的上方，

所以一定有两个交点，所以实数的取值范围是．

三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．【答案】．

【解析】原式

．

18．【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）依题意，对一切有，即，

所以对一切成立，由此可得，即．

又因为，所以．

（2）证明：设，，

由于，，，得，，，

∴，即在上是增函数．

19．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．

【解析】（1）函数（且）在上的最大值与最小值之和为，

∴，得或（舍去）．

（2）由（1）知，

∴

．

（3）由（2）知，

，

，

，

∴

．

20．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）因为函数是奇函数，所以，

所以，即，所以，

令，解得或，

所以函数的定义域为．

（2），

当时，，所以．

因为，恒成立，所以，

所以的取值范围是．

21．【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）设（显然，且），

则，，，

由，得，

∵，∴．

（2）证明：，

又∵，∴．

22．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：由，

令，得．令，得，

又，则有，

即对任意成立，所以是奇函数．

（2），即，

又是上的单调函数，所以在上是增函数．

又由（1）知是奇函数．

，

分离参数得，即对任意恒成立，

令，当时的最小值为，

则要使对任意不等式恒成立，只要使得，

故的取值范围是．