高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.1.2 集合的基本关系教学设计

1.1.2集合的基本关系

课本从学生最为熟悉的班级所有同学组成的集合出发，引入集合间的关系，形成子集、真子集相等概念表述．在学习此内容时要注意两点，一是学习时注意顺序性，按子集、真子集、集合相等顺序逐一探究、尝试、发现、理解；二是把握维恩图的“出场”时机，体会其丰富的数学内涵。在没有谈及真子集前，用维恩图表述是不完整的，还可能有相等，这里会引起纠缠不清的问题。

教学目标：

1. 理解集合之间包含与相等的含义；

2. 能识别给定集合的子集；

3. 能判断给定集合间的关系.

核心素养：

1.数学抽象：依据具体实例从集合的元素的角度分析集合间的关系，抽象出子集、真子集等概念；

2.逻辑推理：通过子集、真子集的定义理解相关性质及集合相等概念；

3.直观想象：使用Venn图合理表达集合间的关系；

4.数学运算：给定集合子集个数运算及推广。

1.教学重点：理解集合间包含与相等的含义．

2.教学难点：包含关系的判断与证明．（空集与任意集合的关系）.

探究问题一   如果一个班级中，所有同学组成的集合记为,而所有女同学组成的集合记为.

1.你觉得集合和之间有怎样的关系？

    2.你能从什么样的角度把他们的关系分析得更清楚？

3.刚入学你可能对我们班的全部同学还没有熟悉，是否考虑从简单的数学问题把类似关系说清楚呢？

给定两个集合,，它们之间有什么区别于联系呢？

（1）集合中的元素个数有差异；

（2）集合的元素都是集合的元素.

针对上述（2），我们可以举出很多相同类型的例子,也能判断探究问题中集合的任意一个元素都是集合的元素。

1.子集

一般地，如果集合的任意一个元素都是集合的元素，那么集合称为集合的子集.

（1）记作(或);

（2）读作“包含于”（或“包含”）；

（3）不是的子集，记作(或).

尝试与发现

尝试(1)根据子集的定义判断，如果，那么吗？

根据子集的定义，；

    发现(1)：非空集合都是它自身的子集，即成立.

尝试（2）：是的子集吗？

根据子集的定义，是的子集.

发现(2)：成立

尝试（3）:你认为可以规定空集是任意一个集合的子集吗？为什么？

    因为空集不包含任何元素，不会出现“内有元素不在集合”的可能，

    因此，这里的也可以是空集.

    发现(3)：空集是任意一个集合的子集.

体会这两个词出现在此处有没有意义：请君入瓮、孙猴子跳不出如来佛的手心.

    探究问题二  对于探究问题一中的集合，，如果中有男同学，还成立吗？

2.真子集

一般地，如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于，那么集合称为集合的真子集，

（1）记作（或）；

    （2）读作“真包含于”（或“真包含”） .

    尝试与发现

    尝试(1)：分析集合,之间的关系。

    发现(1)：.

尝试(2):是任意任意一个集合的真子集吗？

发现(2)：是任意任意一个非空集合的真子集 .

尝试(3): 能否借助图形来形象地表示两个集合的真子集关系？

，，

发现（3）如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可以作出示意图来形象地表示集合之间的关系,这种示意图通常称为维恩图.

尝试（4）：对于集合，，,如果，，那么， 之间有什么关系？

发现（4）：对于集合，，,如果，，则.

尝试（5）：对于集合，，,如果，，那么， 之间有什么关系？如何用维恩图来描述它们之间的关系？

发现（5）：对于集合，，,如果，，则.

尝试（6）：对于集合，，,如果，，那么， 之间有什么关系？

发现（6）：对于集合，，,如果，，则.

例题讲解：

例1  写出集合的所有子集和真子集.

分析：该集合有3个元素，可以考虑从元素个数的不同选取入手，形成不同的集合。罗列如下：

（1）元素个数为0，只有；

（2）元素个数为1，有，，；

（3）元素个数为2，有，，；

（4）元素个数为3，有.

解：集合的所有子集为，，，，，，，.

集合的所有真子集为，，，，，，.

例2  已知区间，，且，求实数的取值范围.

解：用数轴表示他们之间关系如下,

从而可知

尝试与发现：

尝试（1）：若改为，实数的取值范围有变化吗？

发现：

尝试（2）：若改为，实数的取值范围是怎样的？

发现：

总结：从数轴角度研究定区间与动区间的关系时，要关注动区间的动端点的位置移动，这也是今后研究二次函数在指定区间函数值的取值变化的基础。

探究问题三  已知,这两个集合的元素有什么关系？

显然，这两个集合的元素完全相同。

3.集合的相等

一般地，如果集合和集合的元素完全相同，则称集合与集合相等.

(1)记作;

(2)读作“等于”;

(3)且，则；

(4),则且.

例3  写出下列每对集合之间的关系：

（1）,;

（2），；

（3），;

（4），

.

解：（1）；

（2），,;

 (3) 在数轴上表述出两个区间，如图所示，.

(4)从子集的定义考虑：

,,.

思考1:（4）的解答为我们提供了证明集合相等的方法：

如果集合里的元素数的清，直接判断元素完全相同；

如果集合里的元素数不清，利用互为子集进行判断。

思考2:（4）的解答还为我们提供了子集含义的分类形式：真子集和相等.

例4．已知集合

(1)用列举法分别表示, ;

(2)说明,之间的关系；

(3)若把改为,判断,之间的关系.

解：（1）

（2）；

（3）

因此.

不难发现：

（1）针对中的每一个取值，,中的元素“错落有致”，由于的无限遍取，才使得；

（2）判断两个用描述法表示的集合间的关系时，可以通过适当的变化，使描述元素的式子出现明显的关联特征。

尝试：集合中有3个元素，其子集为8个，有没有一种合适的表达方式？

发现：集合中有个元素，其子集为个.

拓展：其真子集为个，其非空真子集为个.

1.用合适的符号填空：

（1）;（2）;（3）;（4）;(5) ; (6) .

2.写出集合的所有子集.

3.已知集合满足，用列举法写出所有可能的.

4.已知，求实数的取值范围.

5.表示下面集合的关系:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) .

6.已知分别列出这两个集合中最小的3个元素，并

证明.

证明：，

对于任意的，，，所以.

而，但,

因此.

1、子集、真子集概念；

2、数轴、Venn图的运用；

3、空集的定义和性质；

4、集合之间的基本关系的主要结论.

5.集合相等概念；

6.数轴、Venn图的运用；

7.集合关系的判断与证明；

8.当一个集合有n个元素的时候，其子集有个，真子集有个，非空真子集有个.

课堂作业：1-1A  3,4;   1-1B  4.

补充:已知集合，，若，求实数的值.

1.若，，则（　　）

A. B.  C.  D.

2.设集合，，若，则的取值范围是（   ）

A．        B．    C.       D.

3.集合，则的值为(　　)

A．　　　B．　C．　　D．

4.已知集合 ，， 则的关系（　　）

A.  B.  C.    D.

5.已知集合与集合是同一个集合，求.

【答案】：1-4: AACB

5.解：两个集合为同一个集合，则这两个集合的元素完全相同且与元素的顺序无关，

于是或，

解得或或，

又当时，不满足互异性，舍去．

因此或 .