高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.3 利用导数解决实际问题测试题

专题七  利用导数解决实际问题

基本知识点

1．利用导数解决有关函数的最大值、最小值的实际问题，体现在以下几个方面：

(1)与几何有关的最值问题(求几何图形或几何体的面积与体积的最值)；

(2)与物理学有关的最值问题；

(3)与利润及其成本有关的最值问题．

2．优化问题：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．

3．利用导数求优化问题的步骤．

(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；

(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；

(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小．最大(小)者为最大(小)值．

例题分析

一、面积容积最大最小问题

例1  用长为18 m的钢条围成一个长方体的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

(对应训练)横梁的强度和它的矩形断面的宽成正比，并和高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，问断面的高和宽应是多少？

二、费用最省(成本最低)问题

例2  为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

(对应训练)要设计一个容积为V的有盖圆柱形储油罐，已知侧面积的单位面积造价是底面积造价的一半；而储油罐盖的单位面积造价又是侧面积造价的一半，问储油罐的半径r和高h之比为何值时造价最省？

三、利润最大问题

例3  某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．

(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；

(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出利润L的最大值Q(a)．

(对应训练一)甲、乙两地相距400千米，一汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时．已知该汽车每小时的运输成本t(元)关于速度x(千米/时)的函数关系式是t＝x4－x3＋15x.

(1)当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本为多少元？

(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求出此时运输成本的最小值．

(对应训练二)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．

(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；

(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

专题训练

1．把一段长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(　　)

A.cm2         B．4 cm2          C．3 cm2          D．2 cm2

2．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为(　　)

A．2πr2         B．πr2           C．4πr2        D.πr2

3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是(　　)

A．100         B．150         C．200         D．300

4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x(0≤x≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是(　　)

A．150　        B．200          C．250         D．300

5．甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为v3元．为使全程运输成本最小，汽车应以________km/h的速度行驶．

6．圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S，要使它的容积最大，它的高h与底面半径R的比应为________．

7．某厂生产x件产品的总成本为C万元，产品单价为P万元，且满足C＝1 200＋x3，P＝，则当x＝________时，总利润最高．

8．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0，4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为________．

9．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．

10．一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为_________ m时，帐篷的体积最大．

11．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．

12．一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？

13．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．

(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？

(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)

14．统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为y＝x3－x＋8(0<x<120)．

(1)当x＝64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？

(2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？