高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.2 等差数列的前n项和练习

专题四  等差数列的前n项和

基本公式

一、等差数列的前n项和公式

若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则前n项和Sn＝.把an＝a1＋(n－1)d代入Sn＝中，就可以得到Sn＝na1＋d.

二、等差数列前n项和的性质　

1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.

2．若Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.

3．设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝.

4．对于等差数列，若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，

①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝；

②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.

5．等差数列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．

6．等差数列{an}中，若Sn＝Sm(m≠n)，则Sm＋n＝0.

例题分析

一、有关等差数列前n项和公式的计算

例1  (1)将含有k项的等差数列插入4和67之间，结果仍成一新的等差数列，并且新的等差数列所有项的和是781，则k的值为(　　)

A．20　　         B．21         C．22　         D．24

(2)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d为(　　)

A．7　　          B．6　　       C．3　　        D．2

(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝2，S9＝5，则S15＝______.

(对应训练一)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.

(对应训练二)已知等差数列{an}中，

(1)a1＝，S4＝20，求S6；

(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d.

二、等差数列前n项和的性质

例2  (1)已知等差数列{an}前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝(　　)

A．12　　       B．14          C．16　　        D．18

(2)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有＝，则＋＝(　　)

A．　　       B．　　        C．　　        D．

(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，试求S110.

 (对应训练一) (1)已知等差数列{an}满足：a2＝2，Sn－Sn－3＝54(n>3)，Sn＝100，则n＝(　　)

A．7　　          B．8            C．9　　          D．10

(2)若{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝5，b1＝15，a100＋b100＝100，求数列{an＋bn}的前100项的和．

(对应训练二)等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，求数列前10项的和．

三、等差数列前n项和的比例问题

例3  已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn且＝，则＝________；

(对应训练)若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和An和Bn满足关系式＝(n∈N*)，求.

四、等差数列前奇数项与偶数项和

例4  一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项，公差，项数．

(对应训练) (1)一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比；

(2)一个等差数列前20项和为75，其中的奇数项和与偶数项和之比为1∶2，求公差d.

五、等差数列前n项和的最值

例5  (1)设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，则k的值为______.

(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2 016>0，S2 017<0，则当n＝__________时，Sn最大．

(对应训练一)已知等差数列{an}中，a1＝13，S3＝S11.那么当n＝_____，Sn取最大值．

(对应训练二)已知{an}为等差数列，若<－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝(　　)

A．11            B．17      C．19            D．21

六、求数列{|an|}的前n项和

例6  已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn.

(对应训练一)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．

 (对应训练二)已知等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝2.

①求数列{an}的通项公式；

②设Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求Tn.

七、等差数列前n项和公式在实际中的应用

例7  某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？

(对应训练一)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．

(对应训练二)某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？

专题训练

1．在等差数列{an}中，a2＋a3＋a4＝3，Sn为等差数列{an}的前n项和，则S5＝(　　)

A．3            B．4         C．5            D．6

2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9＝18，an－4＝30(n>9)，若Sn＝336，则n的值为(　　)

A．18         B．19        C．20         D．21

3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)

A．1           B．2        C．4           D．8

4．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 014，Sk＝S2 009，则正整数k为(　　)

A．2 014         B．2 015         C．2 016         D．2 017

5．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)

A．－12　　　　　 B．－10　　　　　C．10　　　　　   D．12

6．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是(　　)

A．S7　　      B．S8　　    C．S13　　     D．S15

7．一同学在电脑中打出如下图案：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此图案依此规律继续下去，那么在前120个中的●的个数是(　　)

A．12　　       B．13         C．14　　        D．15

8．已知数列{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n的值为(　　)

A．18               B．19             C．20          D．21

9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且3a3＝a6＋4.若S5<10，则a2的取值范围是(　　)

A．(－∞，2)       B．(－∞，0)      C．(1，＋∞)       D．(0,2)

10．“嫦娥”奔月，举国欢庆，据科学计算运载“嫦娥”飞船的“长征3号甲”火箭，点火1 min内通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是(　　)

A．10 min        B．13 min       C．15 min        D．20 min

11．已知等差数列的前n项和为Sn，若S13<0，S12>0，则此数列中绝对值最小的项为(　　)

A．第5项       B．第6项       C．第7项       D．第8项

12．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，，，，…，.

第二步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an.

则a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于(　　)

A．n2           B．(n－1)2             C．n(n－1)       D．n(n＋1)

13．在各项均不为零的等差数列{an}中，若an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)，则S2n－1－4n等于(　　)

A．－2　　　   B．0　　　   C．1　　　　　 D．2

14．已知数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，公差为d，若－＝100，则d的值为(　　)

A．　　        B．          C．10　　        D．20

15．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2(n∈N*)，则当n≥2时，下列不等式成立的是(　　)

A．Sn>na1>nan　　 B．Sn>nan>na1

C．na1>Sn>nan　　 D．nan>Sn>na1

16．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S1<0,2S21＋S25＝0，则Sn取最小值时，n的值为(　　)

A．11          B．12         C．13           D．14

17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，则m＝        .

18．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，则S9＝        .

19．若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有____项．

20．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A、B、C三点共线(该直线不过原点O)，则S200＝____.

21．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为        米．

22．若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝        .

23．设等差数列{an}满足a5＝11，a12＝－3.若{an}的前n项和Sn的最大值为M，则lgM＝____.

24．已知{an}是等差数列，公差为d，首项a1＝3，前n项和为Sn，令cn＝(－1)nSn(n∈N*)，{cn}的前20项和T20＝330.数列{bn}满足bn＝2(a－2)dn－2＋2n－1，a∈R.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＋1≤bn，n∈N*，求a的取值范围．

25．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并求Sn的最小值．

26．已知函数f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7，n∈N*.

(1)设函数y＝f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列；

(2)设函数y＝f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，求{bn}的前n项和Sn.