人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质学案

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授课提示：对应学生用书第18页
[教材提炼]
知识点一 实数a、b大小
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
设a、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A、B，那么A、B的位置与a、b的大小有什么关系？
知识梳理 关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：
如果a－b是正数，那么a＞b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a＜b.反过来也对，这个基本事实可以表示为a＞b⇔a－b＞0；a＝b⇔a－b＝0；a＜b⇔a－b＜0.
从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．
知识点二 等式的基本性质
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
如果a＝b，那么a±c与b±c、ac与bc、eq \f(a,c)与eq \f(b,c)相等吗？
知识梳理 等式有下面的基本性质：
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).
知识点三 不等式的性质
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
如果a＞b，那么a±c与b±c，ac与bc有什么关系？
知识梳理
[自主检测]
1．实数m不超过eq \r(2)，是指( )
A．m＞eq \r(2) B．m≥eq \r(2)
C．m＜eq \r(2) D．m≤eq \r(2)
答案：D
2．已知a＜b＜0，c＜d＜0，那么下列判断中正确的是( )
A．a－c＜b－d B．ac＞bd
C.eq \f(a,d)＜eq \f(b,c) D．ad＞bc
答案：B
3．设a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是( )
A．a－c＞b－d B．ac＞bd
C.eq \f(a,c)＞eq \f(d,b) D．b＋d＜a＋c
答案：D
4．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．
答案：f(x)＞g(x)
授课提示：对应学生用书第19页
探究一 作差法比较大小
[例1] 设x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．
[解析] (x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)(x2＋y2)－(x－y)(x＋y)2
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]
＝(x－y)(－2xy)．
由于x＜y＜0，所以x－y＜0，－2xy＜0，
所以(x－y)(－2xy)＞0，
即(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．
作差法比较两个数大小的步骤及变形方法
(1)作差法比较的步骤：作差→ 变形→ 定号→结论．
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．
将本例中“x＜y＜0”变为“x＞y＞0”，这两个代数式的大小如何？
解析：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝－2xy(x－y)
由x＞y＞0得－2xy＜0，x－y＞0
∴－2xy(x－y)＜0
∴(x2＋y2)(x－y)＜(x2－y2)(x＋y)
探究二 用不等式的性质证明不等式
[例2] [教材P42例2拓展探究]
(1)已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d).
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
又∵a＞b＞0，∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，
即a－c＞b－d＞0，∴0＜eq \f(1,a－c)＜eq \f(1,b－d)，
又∵e＜0，∴eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d).
(2)已知b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，再添加m克糖(m＞0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．
[证明] eq \f(a,b)－eq \f(a＋m,b＋m)＝eq \f(ab＋m－ba＋m,bb＋m)＝eq \f(ma－b,bb＋m)，
∵b＞a＞0，m＞0，∴a－b＜0，
eq \f(ma－b,bb＋m)＜0，
∴eq \f(a,b)＜eq \f(a＋m,b＋m).
利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
探究三 求表达式的范围
[例3] 已知30＜x＜42,16＜y＜24，分别求x＋y，x－3y及eq \f(x,x－3y)的范围．
[解析] 因为30＜x＜42,16＜y＜24，
所以30＋16＜x＋y＜42＋24，
故46＜x＋y＜66.
又30＜x＜42，－72＜－3y＜－48，
所以30－72＜x－3y＜42－48，
故－42＜x－3y＜－6.
又30＜x＜42，－42＜x－3y＜－6，
所以－eq \f(1,6)＜eq \f(1,x－3y)＜－eq \f(1,42)，
所以0＜eq \f(1,42)＜－eq \f(1,x－3y)＜eq \f(1,6)，
所以eq \f(30,42)＜－eq \f(x,x－3y)＜eq \f(42,6)，
故－eq \f(42,6)＜eq \f(x,x－3y)＜－eq \f(30,42)，
得－7＜eq \f(x,x－3y)＜－eq \f(5,7).
根据某些代数式的范围求其它代数式的范围，要整体应用已知的代数式，结合不等式的性质进行推理.
已知1＜a＜2,3＜b＜4，求下列各式的取值范围．
(1)2a＋b；(2)a－b；(3)eq \f(a,b).
解析：(1)∵1＜a＜2，∴2＜2a＜4.又3＜b＜4，∴5＜2a＋b＜8；
(2)∵3＜b＜4，∴－4＜－b＜－3.又∵1＜a＜2，∴－3＜a－b＜－1；
(3)3＜b＜4；∴eq \f(1,4)＜eq \f(1,b)＜eq \f(1,3).又∵1＜a＜2，∴eq \f(1,4)＜eq \f(a,b)＜eq \f(2,3).
授课提示：对应学生用书第20页
一、借不等式性质之根“移花接木”——不等式性质的拓展eq \x(►逻辑推理)
1．由不等式性质4：a＞b，c＞0，那么ac＞bc拓展为倒数性质：若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞b,ab＞0))，则eq \f(1,a)＜eq \f(1,b).
证明：∵ab＞0，∴eq \f(1,ab)＞0
由a＞b得a×eq \f(1,ab)＞b×eq \f(1,ab).
∴eq \f(1,b)＞eq \f(1,a)，即eq \f(1,a)＜eq \f(1,b).
2．由性质7：如果a＞b＞0，那么an＞bn.(n∈N且n≥1)．
拓展为开方性质：如果a＞b＞0，那么eq \r(n,a)＞eq \r(n,b).(n∈N且n≥2)．
证明：假设0＜eq \r(n,a)≤eq \r(n,b).
由性质7得(eq \r(n,a))n≤(eq \r(n,b))n
∴a≤b与a＞b矛盾．
∴eq \r(n,a)＞eq \r(n,b).
[典例] 已知a＞b＞0，求证eq \r(a)＞eq \r(b).
[证明] ∵a＝(eq \r(a))2，b＝(eq \r(b))2.
由a＞b得：(eq \r(a))2＞(eq \r(b))2＞0
∴eq \r(a)＞eq \r(b).
二、同样正确用不等式性质，差别这么大
[典例] 已知1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4，求4a－2b的范围．
[解析] 设4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)
＝(m＋n)a＋(n－m)b，
于是得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝4,n－m＝－2))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝3,n＝1))，
∴4a－2b＝3(a－b)＋(a＋b)
1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4
∴5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10
∴4a－2b范围是[5,10]．
纠错心得 (1)使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用．
(2)注意同一个问题中应用同向不等式相加性质时不能多次使用(因多次使用时取等号的条件会发生改变)，否则不等式范围将会扩大．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.通过具体情境，感受日常生活中的不等关系．
数学抽象
逻辑推理
2.初步学会作差法比较两实数的大小．
3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.
性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a＞b⇔b＜a
⇔
2
传递性
a＞b，b＞c⇒a＞c
⇒
3
可加性
a＞b⇔a＋c＞b＋c
可逆
4
可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＞b,c＞0))⇒ac＞bc
c的符号
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＞b,c＜0))⇒ac＜bc
5
同向可加性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＞b,c＞d))⇒a＋c＞b＋d
同向
6
同向同正可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＞b＞0,c＞d＞0))⇒ac＞bd
同向
7
可乘方性
a＞b＞0⇒an＞bn
(n∈N*，n≥2)
同正