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【江苏南通卷】模拟卷04-2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷4（含解析）
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这是一份【江苏南通卷】模拟卷04-2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷4（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷04（江苏南通卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．绿色饮品B．绿色食品C．有机食品D．速冻食品
2．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．画一个三角形，其内角和是180°
B．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5
C．在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片
D．明天太阳从东方升起
3．若数据2、4、x、9、8的平均数是5，则这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
4．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．校舞蹈队10名队员的年龄情况统计如下表，则校舞蹈队队员年龄的众数是（ ）
年龄（岁）
12
13
14
15
人数（名）
2
3
4
1
A．12 B．13 C．14 D．15
6．下列曲线反映了变量y随变量x之间的关系，其中y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
7．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．若设商场3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．633.6（1+x）2＝400（1+10%）
B．633.6（1+2x）2＝400×（1+10%）
C．400×（1+10%）（1+2x）2＝633.6
D．400×（1+10%）（1+x）2＝633.6
8．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF＝51°，则∠B的度数是（ ）°．
A．62 B．72 C．78 D．68
9．已知关于x的方程2x2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝3，则b+c的值是（ ）
A．﹣10 B．﹣7 C．﹣14 D．﹣2
10．如图，EF分别是正方形ABCD的边CDAD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，若S△AOB＝10，则S四边形DEOF等于（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
11．直线y＝2x﹣4向右平移m个单位后的解析式为y＝2x﹣10，则m＝ ．
12．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数
100
300
500
1000
1600
2000
“有2个人同月过生日”的次数
80
229
392
779
1251
1562
“有2个人同月过生日”的频率
0.8
0.763
0.784
0.779
0.782
0.781
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是 （精确到0.01）．
13．如图，A、B两地间有一池塘阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB的中点D、E．若DE的长度为30m，则A、B两地的距离为 m．
14．已知5个正数a1，a2，a3，a4，a5的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4＞a5，则数据a1，a2，a3，0，a4，a5的平均数是 ．
15．下表给出的是关于某个一次函数的自变量x及其对应的函数值y的若干信息，请你根据表格中的模式数据计算：m+2n＝ ．
x
……
﹣1
1
2
……
y
……
m
3
n
……
16．已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为 ．
17．函数y＝m|x|与y＝x+m的图象恰有两个公共点，则实数m的取值范围是 ．
18．如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F，则四边形ABFE周长的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共64分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）为提高学生的数学思维能力，某中学开展“迎元旦数学知识竞赛”，八年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，整理5名选手的竞赛成绩（满分为100分）绘制如图所示的统计图和不完整的统计表．
平均数
中位数
众数
八年（1）班
87
80
八年（2）班
85
（1）请你把表格补充完整；
（2）结合两班竞赛成绩的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的竞赛成绩较好；
（3）计算两个班竞赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩较为整齐．
20．（4分）解方程：x（2x﹣5）＝2x﹣5．
21．（8分）某学校需招聘一名教师，从专业知识、语言表达、组织协调三个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了三项素质测试，他们各项测试成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
专业知识
75
93
90
语言表达
81
79
81
组织协调
84
72
69
（1）如果按三项测试成绩的平均成绩最高确定录用人选，那么谁将被录用？
（2）根据工作需要，学校将三项测试项目得分分别按1：3：2的比例确定各人的测试成绩，再按得分最高的录用，那么谁将被录用？
22．（8分）某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．
（1）求该商品平均每月的价格增长率；
（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．
23．（10分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟 米，乙在A地时距地面的高度b为 米；
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：AB＝DF；
（2）若CE＝1，AF＝3，求DF的长．
25．（8分）阅读材料，解决下列问题：
材料一：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n；则n﹣x＜n+，例如：＜0.51＞＝＜1.49＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.15＞＝4，…
材料二：平面直角坐标系中任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的折线距离，并规定D（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y＝kx+b上的一动点，我们把D（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y＝k+b的折线距离，例如：若P1（﹣1，2），P2（1，3）则D（P1，P2）＝|﹣1﹣1|+|2﹣3|＝3．
（1）如果＜2x＞＝5，则实数x的取值范围为 ②已知点E（a，2），点F（3，3），且D（E，F）＝2，则a的值为 ．
（2）若m为满足＜m＞＝m的最大值，求点M（3m，1）到直线y＝x+1的折线距离．
26．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2．过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E．P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），连接PA，PE，AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）求四边形ABDE的周长和面积；
（3）记△ABP的周长和面积分别为C1和S1，△PDE的周长和面积分别为C2和S2，在点P的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围．
2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷04（江苏南通卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．绿色饮品 B．绿色食品
C．有机食品 D．速冻食品
解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
答案：D．
2．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．画一个三角形，其内角和是180°
B．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5
C．在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片
D．明天太阳从东方升起
解：A、画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件；
B、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5，是随机事件；
C、在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片，是不可能事件；
D、明天太阳从东方升起，是必然事件；
答案：B．
3．若数据2、4、x、9、8的平均数是5，则这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
解：∵数据2、4、x、9、8的平均数是5，
∴＝5，
解得x＝2，
∴这组数据为2、2、4、8、9，
则这组数据的中位数为4，
答案：B．
4．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形，
则使△ABC为直角三角形的概率是：．
答案：B．
5．校舞蹈队10名队员的年龄情况统计如下表，则校舞蹈队队员年龄的众数是（ ）
年龄（岁）
12
13
14
15
人数（名）
2
3
4
1
A．12 B．13 C．14 D．15
解：这组数据中14岁出现频数最大，所以这组数据的众数为14；
答案：C．
6．下列曲线反映了变量y随变量x之间的关系，其中y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，
A、对于x的每一个取值，y都有两个值，故A错误；
B、对于x的每一个取值，y都有两个值，故B错误；
C、对于x的每一个取值，y都有两个值，故C错误；
D、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故D正确；
答案：D．
7．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．若设商场3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．633.6（1+x）2＝400（1+10%）
B．633.6（1+2x）2＝400×（1+10%）
C．400×（1+10%）（1+2x）2＝633.6
D．400×（1+10%）（1+x）2＝633.6
解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，
根据题意得，400×（1+10%）（1+x）2＝633.6．
答案：D．
8．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF＝51°，则∠B的度数是（ ）°．
A．62 B．72 C．78 D．68
解：过F作FG∥AB∥CD，交BC于G；
则四边形ABGF是平行四边形，所以AF＝BG，即G是BC的中点；
∵BC＝2AB，为AD的中点，
∴BG＝AB＝FG＝AF，
连接EG，
在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，
∴BG＝GE＝FG＝BC；
∵AE∥FG，
∴∠EFG＝∠AEF＝∠FEG＝51°，
∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝102°，
∴∠B＝∠BEG＝180°﹣102°＝78°．
答案：C．
9．已知关于x的方程2x2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝3，则b+c的值是（ ）
A．﹣10 B．﹣7 C．﹣14 D．﹣2
解：∵关于x的方程2x2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝3，
∴﹣2+3＝﹣，﹣2×3＝，
∴b＝﹣2，c＝﹣12，
∴b+c＝﹣2﹣12＝﹣14，
答案：C．
10．如图，EF分别是正方形ABCD的边CDAD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，若S△AOB＝10，则S四边形DEOF等于（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE，
即AF＝DE，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
即S△AOB＝S四边形DEOF＝10，
答案：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
11．直线y＝2x﹣4向右平移m个单位后的解析式为y＝2x﹣10，则m＝ 3 ．
解：∵直线y＝2x﹣4向右平移m个单位后的解析式为y＝2x﹣10，
∴y＝2（x﹣m）﹣4＝2x﹣10，
则﹣2m﹣4＝﹣10，
解得：m＝3．
答案：3．
12．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数
100
300
500
1000
1600
2000
“有2个人同月过生日”的次数
80
229
392
779
1251
1562
“有2个人同月过生日”的频率
0.8
0.763
0.784
0.779
0.782
0.781
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是 0.78 （精确到0.01）．
解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78．
答案：0.78．
13．如图，A、B两地间有一池塘阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB的中点D、E．若DE的长度为30m，则A、B两地的距离为 60 m．
解：∵D、E分别是AC、BC的中点，DE＝30m，
∴AB＝2DE＝60m
答案：60．
14．已知5个正数a1，a2，a3，a4，a5的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4＞a5，则数据a1，a2，a3，0，a4，a5的平均数是 ．
解：由平均数定义可知：（a1+a2+a3+0+a4+a5）＝×5a＝a．
答案：a．
15．下表给出的是关于某个一次函数的自变量x及其对应的函数值y的若干信息，请你根据表格中的模式数据计算：m+2n＝ 9 ．
x
……
﹣1
1
2
……
y
……
m
3
n
……
解：设一次函数解析式为：y＝kx+b，
则可得：﹣k+b＝m①；
k+b＝3②；
2k+b＝n③；
m+2n＝①+2×③＝3k+3b＝3×3＝9．
答案：9．
16．已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为 0＜m＜ ．
解：直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，
则直线与y＝﹣x有一个交点，
∴m＞0，
∵与y＝﹣x2+2x有两个交点，
∴x+m＝﹣x2+2x，
△＝1﹣4m＞0，
∴m＜，
∴0＜m＜；
答案：0＜m＜．
17．函数y＝m|x|与y＝x+m的图象恰有两个公共点，则实数m的取值范围是 m＜﹣1或m＞1 ．
解：根据题意，y＝m|x|的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称；
分两种情况讨论，①m＞0时，过第一、二象限，y＝x+m斜率为1，m＞0时，过第一、二、三象限，若使其图象恰有两个公共点，必有m＞1；
②m＜0时，y＝m|x|过第三、四象限；而y＝x+m过第一、三、四象限；若使其图象恰有两个公共点，必有m＜﹣1；
③m＝0，显然不成立．
综上所述，m的取值范围为m＜﹣1或m＞1，
答案：m＜﹣1或m＞1．
18．如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F，则四边形ABFE周长的最小值是 5+ ．
解：作AM⊥BC于M，如图，
∵∠ABC＝60°，
∴BM＝AB＝1，AM＝BM＝，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥CB，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中
，
∴△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，
∴四边形ABFE周长＝AB+BF+EF+AE＝AB+BF+FC+EF＝AB+BC+EF＝5+EF，
当EF的值最小时，四边形ABFE周长有最小值，此时EF⊥BC，即EF的最小值为，
∴四边形ABFE周长的最小值是5+．
答案：5+．
三、解答题（本大题共8小题，共64分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．为提高学生的数学思维能力，某中学开展“迎元旦数学知识竞赛”，八年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，整理5名选手的竞赛成绩（满分为100分）绘制如图所示的统计图和不完整的统计表．
平均数
中位数
众数
八年（1）班
87
85
80
八年（2）班
89
85
85
（1）请你把表格补充完整；
（2）结合两班竞赛成绩的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的竞赛成绩较好；
（3）计算两个班竞赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩较为整齐．
解：（1）八（1）班5名选手的成绩分别是80分，85分，90分，80分，100分，
把这些数从小大排列为80，80，85，90，100，
则八（1）班成绩的中位数是：85分；
八（2）班成绩的平均数是＝89（分），
85分出现了2次，出现的次数最多，
则众数是85分；
答案：85分，89分，85分；
（2）∵八（1）班的平均成绩是87分，八（2）班的平均成绩是89分，（2）班高于（1）班，
两班的中位数都是85分，八（1）班的众数是80分，八（2）班的众数是85分，（2）班高于（1）班，
则八年级（2）班竞赛成绩较好；
（3）八（1）班的方差是：×[（80﹣87）2+（85﹣87）2+（90﹣87）2+（80﹣87）2+（100﹣87）2]＝56，
八（2）班的方差是：×[（80﹣89）2+（100﹣89）2+（95﹣89）2+（85﹣89）2+（85﹣89）2]＝54，
∵八（1）班的方差大于八（2）班的方差，
∴八（2）班的成绩较为整齐．
20．解方程：x（2x﹣5）＝2x﹣5．
解：∵x（2x﹣5）﹣（2x﹣5）＝0，
∴（2x﹣5）（x﹣1）＝0，
∴2x﹣5＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝，x2＝1．
21．某学校需招聘一名教师，从专业知识、语言表达、组织协调三个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了三项素质测试，他们各项测试成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
专业知识
75
93
90
语言表达
81
79
81
组织协调
84
72
69
（1）如果按三项测试成绩的平均成绩最高确定录用人选，那么谁将被录用？
（2）根据工作需要，学校将三项测试项目得分分别按1：3：2的比例确定各人的测试成绩，再按得分最高的录用，那么谁将被录用？
解：（1）甲的平均成绩是（分），
乙的平均成绩是（分），
丙的平均成绩是（分），
∴应聘者乙将被录用．
（2）根据题意，三人的测试成绩如下：
甲的测试成绩为：（分），
乙的测试成绩为：（分），
丙的测试成绩为：（分），
∴应聘者甲将被录用．
22．某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．
（1）求该商品平均每月的价格增长率；
（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．
解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，
依题意，得：50（1+m）2＝72，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商品平均每月的价格增长率为20%．
（2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，
整理，得：x2﹣300x+14400＝0，
解得：x1＝60，x2＝240．
∵商家需尽快将这批商品售出，
∴x＝60．
答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元．
23．甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟 10 米，乙在A地时距地面的高度b为 30 米；
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？
解：（1）甲登山上升的速度是：（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），
b＝15÷1×2＝30．
答案：10；30；
（2）当0≤x＜2时，y＝15x；
当x≥2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30．
当y＝30x﹣30＝300时，x＝11．
∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝；
（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝10x+100（0≤x≤20）．
当10x+100﹣（30x﹣30）＝70时，解得：x＝3；
当30x﹣30﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝10；
当300﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝13．
答：登山3分钟、10分钟或13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米．
24．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：AB＝DF；
（2）若CE＝1，AF＝3，求DF的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，AD∥BC，∠B＝∠C＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，AE＝BC，
∴∠AFD＝90°，AE＝AD，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AB＝DF；
（2）解：由（1）△ABE≌△DFA，
∴AF＝BE＝3，DF＝AB＝CD，
∵∠DFE＝∠DCE＝90°，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），
∴CE＝EF＝1，
∴AE＝4，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得AB＝＝，
∴DF＝AB＝．
25．阅读材料，解决下列问题：
材料一：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n；则n﹣x＜n+，例如：＜0.51＞＝＜1.49＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.15＞＝4，…
材料二：平面直角坐标系中任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的折线距离，并规定D（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y＝kx+b上的一动点，我们把D（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y＝k+b的折线距离，例如：若P1（﹣1，2），P2（1，3）则D（P1，P2）＝|﹣1﹣1|+|2﹣3|＝3．
（1）如果＜2x＞＝5，则实数x的取值范围为 ②已知点E（a，2），点F（3，3），且D（E，F）＝2，则a的值为 4或2 ．
（2）若m为满足＜m＞＝m的最大值，求点M（3m，1）到直线y＝x+1的折线距离．
解：（1）①∵＜2x＞＝5，
∴5﹣≤2x＜5+，
∴实数x的取值范围为：；
②∵点E（a，2），点F（3，3），且D（E，F）＝2，
∴|a﹣3|+|2﹣3|＝2，
∴a的值为4或2；
答案：；4或2；
（2）∵＜m＞＝m，
∴，
∴﹣1＜m≤1，
∵为整数，
∴m的最大值为，
∴点M（2，1），
设Q（x，y）是直线y＝x+1上的一动点，
点M（2，1）到Q（x，y）的折线距离为：D（M，Q）＝|x﹣2|+|x+1﹣1|＝|x﹣2|+|x|，它的最小值为2，
∴点M（3m，1）到直线y＝x+1的折线距离为2．
26．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2．过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E．P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），连接PA，PE，AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）求四边形ABDE的周长和面积；
（3）记△ABP的周长和面积分别为C1和S1，△PDE的周长和面积分别为C2和S2，在点P的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围．
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
即AB∥DE．…………………………………（1分）
∵BD∥AE，
∴四边形ABDE是平行四边形．…………………………………（2分）
（2）解：设对角线AC与BD相交于点O．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBP＝∠ABC＝30°，AC⊥BD．
在Rt△AOB中，AO＝AB＝1，…………………………………（3分）
∴OB＝．…………………………………（4分）
∴BD＝2BO＝2．
∴▱ABDE的周长为：2AB+2BD＝4+4，…………………………………（5分）
▱ABDE的面积为：BD•AO＝2×1＝2．…………………………………（6分）
（3）①∵C1+C2＝AB+PB+AP+PD+PE+DE＝2AB+BD+AP+PE＝4+2+AP+PE，
∵C和A关于直线BD对称，
∴当P在D处时，AP+PE的值最小，最小值是2+2＝4，
当P在点B处时，AP+PE的值最大，如图2，
过E作EG⊥BD，交BD的延长线于G，
∵∠BDE＝150°，
∴∠EDG＝30°，
∵DE＝2，
∴EG＝1，DG＝，
Rt△PEG中，BG＝2+＝3，
由勾股定理得：PE＝＝＝2，
∴AP+PE的最大值是：2+2，
∵P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），
∴4+4+2＜C1+C2＜4+2+2+2，即8+2＜C1+C2＜6+2+2；（8分）
（写对一边的范围给一分）
②S1+S2的值为定值，这个定值为；
理由是：S1+S2＝＝（BP+PD）＝×1＝．…………………………………（10分）
2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷04（江苏南通卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．绿色饮品B．绿色食品C．有机食品D．速冻食品
2．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．画一个三角形，其内角和是180°
B．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5
C．在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片
D．明天太阳从东方升起
3．若数据2、4、x、9、8的平均数是5，则这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
4．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．校舞蹈队10名队员的年龄情况统计如下表，则校舞蹈队队员年龄的众数是（ ）
年龄（岁）
12
13
14
15
人数（名）
2
3
4
1
A．12 B．13 C．14 D．15
6．下列曲线反映了变量y随变量x之间的关系，其中y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
7．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．若设商场3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．633.6（1+x）2＝400（1+10%）
B．633.6（1+2x）2＝400×（1+10%）
C．400×（1+10%）（1+2x）2＝633.6
D．400×（1+10%）（1+x）2＝633.6
8．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF＝51°，则∠B的度数是（ ）°．
A．62 B．72 C．78 D．68
9．已知关于x的方程2x2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝3，则b+c的值是（ ）
A．﹣10 B．﹣7 C．﹣14 D．﹣2
10．如图，EF分别是正方形ABCD的边CDAD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，若S△AOB＝10，则S四边形DEOF等于（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
11．直线y＝2x﹣4向右平移m个单位后的解析式为y＝2x﹣10，则m＝ ．
12．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数
100
300
500
1000
1600
2000
“有2个人同月过生日”的次数
80
229
392
779
1251
1562
“有2个人同月过生日”的频率
0.8
0.763
0.784
0.779
0.782
0.781
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是 （精确到0.01）．
13．如图，A、B两地间有一池塘阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB的中点D、E．若DE的长度为30m，则A、B两地的距离为 m．
14．已知5个正数a1，a2，a3，a4，a5的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4＞a5，则数据a1，a2，a3，0，a4，a5的平均数是 ．
15．下表给出的是关于某个一次函数的自变量x及其对应的函数值y的若干信息，请你根据表格中的模式数据计算：m+2n＝ ．
x
……
﹣1
1
2
……
y
……
m
3
n
……
16．已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为 ．
17．函数y＝m|x|与y＝x+m的图象恰有两个公共点，则实数m的取值范围是 ．
18．如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F，则四边形ABFE周长的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共64分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）为提高学生的数学思维能力，某中学开展“迎元旦数学知识竞赛”，八年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，整理5名选手的竞赛成绩（满分为100分）绘制如图所示的统计图和不完整的统计表．
平均数
中位数
众数
八年（1）班
87
80
八年（2）班
85
（1）请你把表格补充完整；
（2）结合两班竞赛成绩的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的竞赛成绩较好；
（3）计算两个班竞赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩较为整齐．
20．（4分）解方程：x（2x﹣5）＝2x﹣5．
21．（8分）某学校需招聘一名教师，从专业知识、语言表达、组织协调三个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了三项素质测试，他们各项测试成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
专业知识
75
93
90
语言表达
81
79
81
组织协调
84
72
69
（1）如果按三项测试成绩的平均成绩最高确定录用人选，那么谁将被录用？
（2）根据工作需要，学校将三项测试项目得分分别按1：3：2的比例确定各人的测试成绩，再按得分最高的录用，那么谁将被录用？
22．（8分）某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．
（1）求该商品平均每月的价格增长率；
（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．
23．（10分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟 米，乙在A地时距地面的高度b为 米；
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：AB＝DF；
（2）若CE＝1，AF＝3，求DF的长．
25．（8分）阅读材料，解决下列问题：
材料一：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n；则n﹣x＜n+，例如：＜0.51＞＝＜1.49＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.15＞＝4，…
材料二：平面直角坐标系中任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的折线距离，并规定D（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y＝kx+b上的一动点，我们把D（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y＝k+b的折线距离，例如：若P1（﹣1，2），P2（1，3）则D（P1，P2）＝|﹣1﹣1|+|2﹣3|＝3．
（1）如果＜2x＞＝5，则实数x的取值范围为 ②已知点E（a，2），点F（3，3），且D（E，F）＝2，则a的值为 ．
（2）若m为满足＜m＞＝m的最大值，求点M（3m，1）到直线y＝x+1的折线距离．
26．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2．过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E．P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），连接PA，PE，AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）求四边形ABDE的周长和面积；
（3）记△ABP的周长和面积分别为C1和S1，△PDE的周长和面积分别为C2和S2，在点P的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围．
2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷04（江苏南通卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．绿色饮品 B．绿色食品
C．有机食品 D．速冻食品
解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
答案：D．
2．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．画一个三角形，其内角和是180°
B．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5
C．在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片
D．明天太阳从东方升起
解：A、画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件；
B、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5，是随机事件；
C、在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片，是不可能事件；
D、明天太阳从东方升起，是必然事件；
答案：B．
3．若数据2、4、x、9、8的平均数是5，则这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
解：∵数据2、4、x、9、8的平均数是5，
∴＝5，
解得x＝2，
∴这组数据为2、2、4、8、9，
则这组数据的中位数为4，
答案：B．
4．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形，
则使△ABC为直角三角形的概率是：．
答案：B．
5．校舞蹈队10名队员的年龄情况统计如下表，则校舞蹈队队员年龄的众数是（ ）
年龄（岁）
12
13
14
15
人数（名）
2
3
4
1
A．12 B．13 C．14 D．15
解：这组数据中14岁出现频数最大，所以这组数据的众数为14；
答案：C．
6．下列曲线反映了变量y随变量x之间的关系，其中y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，
A、对于x的每一个取值，y都有两个值，故A错误；
B、对于x的每一个取值，y都有两个值，故B错误；
C、对于x的每一个取值，y都有两个值，故C错误；
D、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故D正确；
答案：D．
7．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．若设商场3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．633.6（1+x）2＝400（1+10%）
B．633.6（1+2x）2＝400×（1+10%）
C．400×（1+10%）（1+2x）2＝633.6
D．400×（1+10%）（1+x）2＝633.6
解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，
根据题意得，400×（1+10%）（1+x）2＝633.6．
答案：D．
8．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF＝51°，则∠B的度数是（ ）°．
A．62 B．72 C．78 D．68
解：过F作FG∥AB∥CD，交BC于G；
则四边形ABGF是平行四边形，所以AF＝BG，即G是BC的中点；
∵BC＝2AB，为AD的中点，
∴BG＝AB＝FG＝AF，
连接EG，
在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，
∴BG＝GE＝FG＝BC；
∵AE∥FG，
∴∠EFG＝∠AEF＝∠FEG＝51°，
∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝102°，
∴∠B＝∠BEG＝180°﹣102°＝78°．
答案：C．
9．已知关于x的方程2x2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝3，则b+c的值是（ ）
A．﹣10 B．﹣7 C．﹣14 D．﹣2
解：∵关于x的方程2x2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝3，
∴﹣2+3＝﹣，﹣2×3＝，
∴b＝﹣2，c＝﹣12，
∴b+c＝﹣2﹣12＝﹣14，
答案：C．
10．如图，EF分别是正方形ABCD的边CDAD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，若S△AOB＝10，则S四边形DEOF等于（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE，
即AF＝DE，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
即S△AOB＝S四边形DEOF＝10，
答案：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
11．直线y＝2x﹣4向右平移m个单位后的解析式为y＝2x﹣10，则m＝ 3 ．
解：∵直线y＝2x﹣4向右平移m个单位后的解析式为y＝2x﹣10，
∴y＝2（x﹣m）﹣4＝2x﹣10，
则﹣2m﹣4＝﹣10，
解得：m＝3．
答案：3．
12．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数
100
300
500
1000
1600
2000
“有2个人同月过生日”的次数
80
229
392
779
1251
1562
“有2个人同月过生日”的频率
0.8
0.763
0.784
0.779
0.782
0.781
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是 0.78 （精确到0.01）．
解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78．
答案：0.78．
13．如图，A、B两地间有一池塘阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB的中点D、E．若DE的长度为30m，则A、B两地的距离为 60 m．
解：∵D、E分别是AC、BC的中点，DE＝30m，
∴AB＝2DE＝60m
答案：60．
14．已知5个正数a1，a2，a3，a4，a5的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4＞a5，则数据a1，a2，a3，0，a4，a5的平均数是 ．
解：由平均数定义可知：（a1+a2+a3+0+a4+a5）＝×5a＝a．
答案：a．
15．下表给出的是关于某个一次函数的自变量x及其对应的函数值y的若干信息，请你根据表格中的模式数据计算：m+2n＝ 9 ．
x
……
﹣1
1
2
……
y
……
m
3
n
……
解：设一次函数解析式为：y＝kx+b，
则可得：﹣k+b＝m①；
k+b＝3②；
2k+b＝n③；
m+2n＝①+2×③＝3k+3b＝3×3＝9．
答案：9．
16．已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为 0＜m＜ ．
解：直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，
则直线与y＝﹣x有一个交点，
∴m＞0，
∵与y＝﹣x2+2x有两个交点，
∴x+m＝﹣x2+2x，
△＝1﹣4m＞0，
∴m＜，
∴0＜m＜；
答案：0＜m＜．
17．函数y＝m|x|与y＝x+m的图象恰有两个公共点，则实数m的取值范围是 m＜﹣1或m＞1 ．
解：根据题意，y＝m|x|的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称；
分两种情况讨论，①m＞0时，过第一、二象限，y＝x+m斜率为1，m＞0时，过第一、二、三象限，若使其图象恰有两个公共点，必有m＞1；
②m＜0时，y＝m|x|过第三、四象限；而y＝x+m过第一、三、四象限；若使其图象恰有两个公共点，必有m＜﹣1；
③m＝0，显然不成立．
综上所述，m的取值范围为m＜﹣1或m＞1，
答案：m＜﹣1或m＞1．
18．如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F，则四边形ABFE周长的最小值是 5+ ．
解：作AM⊥BC于M，如图，
∵∠ABC＝60°，
∴BM＝AB＝1，AM＝BM＝，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥CB，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中
，
∴△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，
∴四边形ABFE周长＝AB+BF+EF+AE＝AB+BF+FC+EF＝AB+BC+EF＝5+EF，
当EF的值最小时，四边形ABFE周长有最小值，此时EF⊥BC，即EF的最小值为，
∴四边形ABFE周长的最小值是5+．
答案：5+．
三、解答题（本大题共8小题，共64分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．为提高学生的数学思维能力，某中学开展“迎元旦数学知识竞赛”，八年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，整理5名选手的竞赛成绩（满分为100分）绘制如图所示的统计图和不完整的统计表．
平均数
中位数
众数
八年（1）班
87
85
80
八年（2）班
89
85
85
（1）请你把表格补充完整；
（2）结合两班竞赛成绩的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的竞赛成绩较好；
（3）计算两个班竞赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩较为整齐．
解：（1）八（1）班5名选手的成绩分别是80分，85分，90分，80分，100分，
把这些数从小大排列为80，80，85，90，100，
则八（1）班成绩的中位数是：85分；
八（2）班成绩的平均数是＝89（分），
85分出现了2次，出现的次数最多，
则众数是85分；
答案：85分，89分，85分；
（2）∵八（1）班的平均成绩是87分，八（2）班的平均成绩是89分，（2）班高于（1）班，
两班的中位数都是85分，八（1）班的众数是80分，八（2）班的众数是85分，（2）班高于（1）班，
则八年级（2）班竞赛成绩较好；
（3）八（1）班的方差是：×[（80﹣87）2+（85﹣87）2+（90﹣87）2+（80﹣87）2+（100﹣87）2]＝56，
八（2）班的方差是：×[（80﹣89）2+（100﹣89）2+（95﹣89）2+（85﹣89）2+（85﹣89）2]＝54，
∵八（1）班的方差大于八（2）班的方差，
∴八（2）班的成绩较为整齐．
20．解方程：x（2x﹣5）＝2x﹣5．
解：∵x（2x﹣5）﹣（2x﹣5）＝0，
∴（2x﹣5）（x﹣1）＝0，
∴2x﹣5＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝，x2＝1．
21．某学校需招聘一名教师，从专业知识、语言表达、组织协调三个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了三项素质测试，他们各项测试成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
专业知识
75
93
90
语言表达
81
79
81
组织协调
84
72
69
（1）如果按三项测试成绩的平均成绩最高确定录用人选，那么谁将被录用？
（2）根据工作需要，学校将三项测试项目得分分别按1：3：2的比例确定各人的测试成绩，再按得分最高的录用，那么谁将被录用？
解：（1）甲的平均成绩是（分），
乙的平均成绩是（分），
丙的平均成绩是（分），
∴应聘者乙将被录用．
（2）根据题意，三人的测试成绩如下：
甲的测试成绩为：（分），
乙的测试成绩为：（分），
丙的测试成绩为：（分），
∴应聘者甲将被录用．
22．某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．
（1）求该商品平均每月的价格增长率；
（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．
解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，
依题意，得：50（1+m）2＝72，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商品平均每月的价格增长率为20%．
（2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，
整理，得：x2﹣300x+14400＝0，
解得：x1＝60，x2＝240．
∵商家需尽快将这批商品售出，
∴x＝60．
答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元．
23．甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟 10 米，乙在A地时距地面的高度b为 30 米；
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？
解：（1）甲登山上升的速度是：（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），
b＝15÷1×2＝30．
答案：10；30；
（2）当0≤x＜2时，y＝15x；
当x≥2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30．
当y＝30x﹣30＝300时，x＝11．
∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝；
（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝10x+100（0≤x≤20）．
当10x+100﹣（30x﹣30）＝70时，解得：x＝3；
当30x﹣30﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝10；
当300﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝13．
答：登山3分钟、10分钟或13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米．
24．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：AB＝DF；
（2）若CE＝1，AF＝3，求DF的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，AD∥BC，∠B＝∠C＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，AE＝BC，
∴∠AFD＝90°，AE＝AD，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AB＝DF；
（2）解：由（1）△ABE≌△DFA，
∴AF＝BE＝3，DF＝AB＝CD，
∵∠DFE＝∠DCE＝90°，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），
∴CE＝EF＝1，
∴AE＝4，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得AB＝＝，
∴DF＝AB＝．
25．阅读材料，解决下列问题：
材料一：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n；则n﹣x＜n+，例如：＜0.51＞＝＜1.49＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.15＞＝4，…
材料二：平面直角坐标系中任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的折线距离，并规定D（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y＝kx+b上的一动点，我们把D（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y＝k+b的折线距离，例如：若P1（﹣1，2），P2（1，3）则D（P1，P2）＝|﹣1﹣1|+|2﹣3|＝3．
（1）如果＜2x＞＝5，则实数x的取值范围为 ②已知点E（a，2），点F（3，3），且D（E，F）＝2，则a的值为 4或2 ．
（2）若m为满足＜m＞＝m的最大值，求点M（3m，1）到直线y＝x+1的折线距离．
解：（1）①∵＜2x＞＝5，
∴5﹣≤2x＜5+，
∴实数x的取值范围为：；
②∵点E（a，2），点F（3，3），且D（E，F）＝2，
∴|a﹣3|+|2﹣3|＝2，
∴a的值为4或2；
答案：；4或2；
（2）∵＜m＞＝m，
∴，
∴﹣1＜m≤1，
∵为整数，
∴m的最大值为，
∴点M（2，1），
设Q（x，y）是直线y＝x+1上的一动点，
点M（2，1）到Q（x，y）的折线距离为：D（M，Q）＝|x﹣2|+|x+1﹣1|＝|x﹣2|+|x|，它的最小值为2，
∴点M（3m，1）到直线y＝x+1的折线距离为2．
26．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2．过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E．P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），连接PA，PE，AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）求四边形ABDE的周长和面积；
（3）记△ABP的周长和面积分别为C1和S1，△PDE的周长和面积分别为C2和S2，在点P的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围．
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
即AB∥DE．…………………………………（1分）
∵BD∥AE，
∴四边形ABDE是平行四边形．…………………………………（2分）
（2）解：设对角线AC与BD相交于点O．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBP＝∠ABC＝30°，AC⊥BD．
在Rt△AOB中，AO＝AB＝1，…………………………………（3分）
∴OB＝．…………………………………（4分）
∴BD＝2BO＝2．
∴▱ABDE的周长为：2AB+2BD＝4+4，…………………………………（5分）
▱ABDE的面积为：BD•AO＝2×1＝2．…………………………………（6分）
（3）①∵C1+C2＝AB+PB+AP+PD+PE+DE＝2AB+BD+AP+PE＝4+2+AP+PE，
∵C和A关于直线BD对称，
∴当P在D处时，AP+PE的值最小，最小值是2+2＝4，
当P在点B处时，AP+PE的值最大，如图2，
过E作EG⊥BD，交BD的延长线于G，
∵∠BDE＝150°，
∴∠EDG＝30°，
∵DE＝2，
∴EG＝1，DG＝，
Rt△PEG中，BG＝2+＝3，
由勾股定理得：PE＝＝＝2，
∴AP+PE的最大值是：2+2，
∵P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），
∴4+4+2＜C1+C2＜4+2+2+2，即8+2＜C1+C2＜6+2+2；（8分）
（写对一边的范围给一分）
②S1+S2的值为定值，这个定值为；
理由是：S1+S2＝＝（BP+PD）＝×1＝．…………………………………（10分）
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