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【江苏南通】2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷3（含解析）
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这是一份【江苏南通】2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷3（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷03（江苏南通卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．端午节我们有吃粽子的习俗，为了保证大家吃上放心的粽子，质监部门对广安市市场上的粽子实行全面调查
B．一组数据﹣1，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是7
C．海底捞月是必然事件
D．甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为1.2，乙同学跳远成绩的方差为1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定
3．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC
4．若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
5．一个不透明的袋子中装有20个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同，若小英每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红球的频率逐渐稳定于0.4，则小英估计袋子中白球的个数约为（ ）
A．50 B．30 C．12 D．8
6．对于两组数据A，B，如果sA2＞sB2，且A＝B，则（ ）
A．这两组数据的波动相同 B．数据B的波动小一些
C．它们的平均水平不相同 D．数据A的波动小一些
7．一元二次方程x2+x+2021＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
8．某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝21 B．x（x﹣1）＝21
C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21
9．如图，是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果网状图，以O为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：
①甲和乙的动手操作能力都很强；
②缺少探索学习的能力是甲自身的不足；
③与甲相比，乙需要加强与他人的沟通和合作能力；
④乙的综合评分比甲要高．
其中合理的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
10．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
11．不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个绿球和6个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
12．若将方程x2﹣4x+1＝0化为（x+m）2＝n的形式，则m＝ ．
13．如图，在△BDE中，∠BDE＝90°，BD＝4，点D的坐标是（6，0），∠BDO＝15°，将△BDE旋转到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为 ．
14．关于x的方程x2﹣3x+m＝0有一个根是1，则方程的另一个根是 ．
15．如图，E是菱形ABCD的对角线的交点，点F在线段CE上，且AF＝AD，若∠CDF＝39°，则∠AFD＝ ．
16．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，直线l1：y＝k1x+b交x轴于点（﹣3，0），则关于x的不等式k2x＜k1x+b＜0的解集为 ．
17．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值为 ．
18．如图1，在菱形ABCD中，动点P从点C出发，沿C﹣A﹣D运动至终点D．设点P的运动路程为x（cm），△BCP的面积为y（cm2）．若y与x的函数图象如图2所示，则图中a的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共64分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）解方程：（2x﹣1）2＝x（3x+2）﹣7
（2）如果实数x满足x2+2x﹣3＝0，求代数式（+2）÷的值．
20．（6分）某校八年级一班20名女生某次体育测试的成绩统计如下：
成绩（分）
60
70
80
90
100
人数（人）
1
3
x
y
1
（1）如果这20名女生体育成绩的平均分数是82.5分，求x、y的值；
（2）在（1）的条件下，设本次测试这20名女生成绩的众数是a、中位数是b，求的值．
21．（8分）小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动，该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．
（1）用画树状图或列表的方法，列出小明参加项目的所有等可能的结果：
（2）求小明恰好抽中B、D两个项目的概率．
22．（8分）如图，在▱ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，∠A＝60°，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间（0≤t≤6）．
（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形？
（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形？
23．（8分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料．
（1）当AB长度是多少时，矩形花园的面积为150m2；
（2）能否围成矩形花园面积为210m2，为什么？
24．（10分）如图①所示，在A、B两地间有一车站C，甲汽车从A地出发经C站匀速驶往B地，乙汽车从B地出发经C站匀速驶往A地，两车速度相同．图②是两辆汽车行驶时离C站的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）填空：a＝ km，b＝ h，AB两地的距离为 km；
（2）求线段MN所表示的y与x之间的函数关系式（自变量取值范围不用写）；
（3）当甲、乙两车距离车站C的路程之和最小时，直接写出行驶时间x的取值范围．
25．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8．
（1）请利用直尺和圆规作菱形AECF，点E、F分别在BC、AD上（不写作法，仅保留作图痕迹）；
（2）求EF的长．
26．（10分）我们定义：对角线垂直的凸四边形叫做“准筝形”．如图1，四边形ABCD中，AC⊥BD，则四边形ABCD是“准筝形”．
（1）“三条边相等的准筝形是菱形”是 命题；（填“真”或“假”）
（2）如图1，在准筝形ABCD中，AD＝3，AB＝2，BC＝4，求CD的长．
（3）如图2，在准筝形ABCD中，AC与BD交于点O，点P在线段AD上，AP＝2，且AD＝3，AO＝，在BD上存在移动的线段EF，E在F的左侧，且EF＝1，使四边形AEFP周长最小，求此时OE的长度．
2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷03（江苏南通卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．
答案：A．
2．下列说法正确的是（ ）
A．端午节我们有吃粽子的习俗，为了保证大家吃上放心的粽子，质监部门对广安市市场上的粽子实行全面调查
B．一组数据﹣1，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是7
C．海底捞月是必然事件
D．甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为1.2，乙同学跳远成绩的方差为1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定
解：A、端午节我们有吃粽子的习俗，为了保证大家吃上放心的粽子，质监部门对广安市市场上的粽子实行抽样调查，本选项说法错误，不符合题意；
B、一组数据﹣1，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是5，本选项说法错误，不符合题意；
C、海底捞月是不可能事件，本选项说法错误，不符合题意；
D、甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为1.2，乙同学跳远成绩的方差为1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定，本选项说法正确，符合题意；
答案：D．
3．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC
解：A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB＝DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO＝CO，BO＝DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB∥DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；
答案：D．
4．若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
答案：D．
5．一个不透明的袋子中装有20个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同，若小英每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红球的频率逐渐稳定于0.4，则小英估计袋子中白球的个数约为（ ）
A．50 B．30 C．12 D．8
解：设袋中白球有x个，
根据题意，得：＝0.4，
解得：x＝30，
经检验：x＝30是分式方程的解，
所以小英估计袋子中白球的个数约为30个，
答案：B．
6．对于两组数据A，B，如果sA2＞sB2，且A＝B，则（ ）
A．这两组数据的波动相同 B．数据B的波动小一些
C．它们的平均水平不相同 D．数据A的波动小一些
解：∵sA2＞sB2，
∴数据B组的波动小一些．
答案：B．
7．一元二次方程x2+x+2021＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
解：∵x2+x+2021＝0，
∴△＝12﹣4×1×2021＜0，
∴该方程无实数根，
答案：D．
8．某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝21 B．x（x﹣1）＝21
C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21
解：依题意得：x（x﹣1）＝21．
答案：B．
9．如图，是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果网状图，以O为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：
①甲和乙的动手操作能力都很强；
②缺少探索学习的能力是甲自身的不足；
③与甲相比，乙需要加强与他人的沟通和合作能力；
④乙的综合评分比甲要高．
其中合理的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
解：由图形可知：
甲和乙的动手操作能力都是5分，即最高等级，故①合理；
甲的探索学习的能力为1分，故缺少探索学习的能力是甲自身的不足，故②合理；
甲与他人的沟通和合作能力为5分，乙与他人的沟通和合作能力为3分，故乙与他人的沟通和合作能力弱于甲，故③合理；
甲的各项得分为5，5，4，4，1；乙的各项得分为5，5，4，4，3，乙的综合评分比甲要高2分，故④合理．
综上，合理的选项有①②③④．
答案：D．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
解：如图：
当点F与点D重合时，点P在P1处，AP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝AP2，
∴P1P2∥DE且P1P2＝DE
当点F在ED上除点D、E的位置处时，有AP＝FP
由中位线定理可知：P1P∥DF且P1P＝DF
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当CP⊥P1P2时，PC取得最小值
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，
∴△ABE、△CDE、△DCP1为等腰直角三角形，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠DP1C＝45°，∠AED＝90°
∴∠AP2P1＝90°
∴∠AP1P2＝45°
∴∠P2P1C＝90°，即CP1⊥P1P2，
∴CP的最小值为CP1的长
在等腰直角CDP1中，DP1＝CD＝4，
∴CP1＝4
∴PC的最小值是4．
答案：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
11．不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个绿球和6个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
解：由题意可得，
从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是，
答案：．
12．若将方程x2﹣4x+1＝0化为（x+m）2＝n的形式，则m＝ ﹣2 ．
解：方程x2﹣4x+1＝0，
移项得：x2﹣4x＝﹣1，
配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，
则m＝﹣2．
答案：﹣2．
13．如图，在△BDE中，∠BDE＝90°，BD＝4，点D的坐标是（6，0），∠BDO＝15°，将△BDE旋转到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为 （6﹣，） ．
解：如图，AB与BD的垂直平分线的交点即为旋转中心P，
连接PD，过P作PF⊥x轴于F，
∵点C在BD上，
∴点P到AB、BD的距离相等，都是BD，即×4＝2，
∴∠PDB＝45°，PD＝×2＝2，
∵∠BDO＝15°，
∴∠PDO＝45°+15°＝60°，
∴∠DPF＝30°，
∴DF＝PD＝×2＝，
∵点D的坐标是（6，0），
∴OF＝OD﹣DF＝6﹣，
由勾股定理得，PF＝＝＝，
∴旋转中心的坐标为（6﹣，）．
答案：（6﹣，）．
14．关于x的方程x2﹣3x+m＝0有一个根是1，则方程的另一个根是 x＝2 ．
解：设方程的另一根为x，
∵关于x的方程x2﹣3x+m＝0有一个根是1，
∴1+x＝3，
解得，x＝2；
故答案x＝2．
15．如图，E是菱形ABCD的对角线的交点，点F在线段CE上，且AF＝AD，若∠CDF＝39°，则∠AFD＝ 73° ．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠AFD＝∠ACD+∠CDF，
∴∠AFD＝39°+∠ACD，
∵AF＝AD，
∴∠ADF＝∠AFD＝39°+∠ACD，
∵∠DAF+∠ADF+∠AFD＝180°，
∴3∠ACD+39°+39°＝180°，
∴∠ACD＝34°，
∴∠AFD＝34°+39°＝73°，
答案：73°．
16．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，直线l1：y＝k1x+b交x轴于点（﹣3，0），则关于x的不等式k2x＜k1x+b＜0的解集为 ﹣3＜x＜﹣1 ．
解：由图象可知，直线l1和直线l2的交点为（﹣1，﹣2），直线l1中y随x的增大而减小，
∵y＝k1x+b交x轴于点（﹣3，0），关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集为x＜﹣1，
∴关于x的不等式k2x＜k1x+b＜0的解集是﹣3＜x＜﹣1，
答案：﹣3＜x＜﹣1．
17．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值为 2 ．
解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠A＝∠D＝∠DME＝90°，AB∥CD，
∴四边形ADME是矩形，
∴EM＝AD＝AB，
∵BF＝EG，
∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），
∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM，
∵AB∥CD
∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB
∵∠ABF+∠AFB＝90°
∴∠ABF+∠BEG＝90°
∴∠EIF＝90°，
∴BF⊥EG；
∵△EIB是直角三角形，
∴OI＝BE，
∵AB＝6，AE＝2，
∴BE＝6﹣2＝4，OB＝OE＝2，
∵OD﹣OI≤DI，
∴当O、D、I共线时，DI有最小值，
∵IO＝BE＝2，
OD＝＝2，
∴ID＝2，即DI的最小值为2．
答案：2﹣2．
18．如图1，在菱形ABCD中，动点P从点C出发，沿C﹣A﹣D运动至终点D．设点P的运动路程为x（cm），△BCP的面积为y（cm2）．若y与x的函数图象如图2所示，则图中a的值为 ．
解：从图2知，AC＝5，AD＝2a，
当点P在点A时，此时，y＝4a＝S△BCP＝S△ABC，
此时，AB＝BC＝AD＝2a，
即△ABC为等腰三角形，
过点B作BH⊥AC于点H，则CH＝AH＝AC＝，
在△ABC中，S△ABC＝AC×BH＝5×BH＝4a，解得BH＝，
在Rt△HBC中，BC2＝BH2+CH2，即（2a）2＝（）2+（）2，
解得a＝（舍去负值），
答案：．
三、解答题（本大题共8小题，共64分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）解方程：（2x﹣1）2＝x（3x+2）﹣7
（2）如果实数x满足x2+2x﹣3＝0，求代数式（+2）÷的值．
解：（1）原方程可化为：4x2﹣4x+1＝3x2+2x﹣7，即x2﹣6x＝﹣8，
配方得：x2﹣6x+9＝1，即（x﹣3）2＝1，
开方得：x﹣3＝1或x﹣3＝﹣1，
解得：x1＝2，x2＝4；
（2）原式＝•（x+1）＝x2+2x+2，
由x2+2x﹣3＝0，得到x2+2x＝3，
则原式＝3+2＝5．
20．某校八年级一班20名女生某次体育测试的成绩统计如下：
成绩（分）
60
70
80
90
100
人数（人）
1
3
x
y
1
（1）如果这20名女生体育成绩的平均分数是82.5分，求x、y的值；
（2）在（1）的条件下，设本次测试这20名女生成绩的众数是a、中位数是b，求的值．
解：（1）根据题意，得：
解得：；
（2）由（1），众数a＝90，中位数b＝80，
∴＝＝﹣＝3﹣4．
21．小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动，该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．
（1）用画树状图或列表的方法，列出小明参加项目的所有等可能的结果：
（2）求小明恰好抽中B、D两个项目的概率．
解：（1）画树状图：
由树状图知共有6种等可能结果；
（2）小明恰好抽中B、D两个项目的只有1种情况，
所以小明恰好抽中B、D两个项目的概率为．
22．如图，在▱ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，∠A＝60°，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间（0≤t≤6）．
（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形？
（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形？
解：（1）AP＝2t（cm），AQ＝6﹣t（cm），
∵当△PAQ是等边三角形时，AQ＝AP，
即2t＝6﹣t，
解得t＝2．
∴当t＝2时，△PAQ是等边三角形；
（2）∵△PAQ是直角三角形，
∴∠AQP＝90°，
当∠AQP＝90°时，有∠APQ＝30°，，
即AP＝2AQ，
∴2t＝2（6﹣t），
解得t＝3（秒），
当∠APQ＝90°时，有∠AQP＝30°，，
即AQ＝2AP
∴6﹣t＝2•2t，解得（秒）．
∴当t＝3或时，△PAQ是直角三角形．
23．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料．
（1）当AB长度是多少时，矩形花园的面积为150m2；
（2）能否围成矩形花园面积为210m2，为什么？
解：（1）设BC＝xm，则AB＝CD＝（40﹣x）m，x≤25，
则（40﹣x）x＝150，
解得：x＝10或30（舍去30），
故x＝10（m）；
∴AB＝15（m）．
答：当AB长度是15m时，矩形花园的面积为150m2；
（2）由题意得：则（40﹣x）x＝210，
化简得：x2﹣40x+420＝0，△＝1600﹣4×420＜0，
故不能围成矩形花园面积为210m2．
24．如图①所示，在A、B两地间有一车站C，甲汽车从A地出发经C站匀速驶往B地，乙汽车从B地出发经C站匀速驶往A地，两车速度相同．图②是两辆汽车行驶时离C站的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）填空：a＝ 120 km，b＝ 2 h，AB两地的距离为 420 km；
（2）求线段MN所表示的y与x之间的函数关系式（自变量取值范围不用写）；
（3）当甲、乙两车距离车站C的路程之和最小时，直接写出行驶时间x的取值范围．
解：（1）两车的速度为：300÷5＝60km/h，
a＝60×（7﹣5）＝120，
b＝7﹣5＝2，
AB两地的距离是：300+120＝420，
答案：120，2，420；
（2）设线段MN所表示的y与x之间的函数表达式是y＝mx+n，
∴，
解得，
即线段MN所表示的y与x之间的函数表达式是y＝60x﹣300；
（3）设DE对应的函数解析式为y＝cx+d，
∴，解得，
即DE对应的函数解析式为y＝﹣60x+120，
设EF对应的函数解析式为y＝ex+f，
∴，解得，
即EF对应的函数解析式为y＝60x﹣120，
设甲、乙两车距离车站C的路程之和为skm，
当0≤x≤2时，
s＝（﹣60x+300）+（﹣60x+120）＝﹣120x+420，
则当x＝2时，s取得最小值，此时s＝180，
当2＜x≤5时，
s＝（﹣60x+300）+（60x﹣120）＝180，
当5≤x≤7时，
s＝（60x﹣300）+（60x﹣120）＝120x﹣420，
则当x＝5时，s取得最小值，此时s＝180，
由上可得，
行驶时间x满足2≤x≤5时，甲、乙两车距离车站C的路程之和最小．
25．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8．
（1）请利用直尺和圆规作菱形AECF，点E、F分别在BC、AD上（不写作法，仅保留作图痕迹）；
（2）求EF的长．
解：（1）如图所示，菱形AECF即为所求；
（2）设AE＝CE＝x，则BE＝8﹣x，
∵∠B＝90°，
∴Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴AE＝5，
∵Rt△ABC中，AC＝＝4，
∴AO＝AC＝2，
∴Rt△AOE中，OE＝＝，
∵AE＝CE，OE⊥AC，
∴∠AEO＝∠CEO，
∵AF∥CE，
∴∠CEO＝∠AFO，
∴∠AEO＝∠AFO，
∴AE＝AF，
又∵AO⊥EF，
∴O是EF的中点，
∴EF＝2OE＝．
26．我们定义：对角线垂直的凸四边形叫做“准筝形”．如图1，四边形ABCD中，AC⊥BD，则四边形ABCD是“准筝形”
（1）“三条边相等的准筝形是菱形”是 真 命题；（填“真”或“假”）
（2）如图1，在准筝形ABCD中，AD＝3，AB＝2，BC＝4，求CD的长．
（3）如图2，在准筝形ABCD中，AC与BD交于点O，点P在线段AD上，AP＝2，且AD＝3，AO＝，在BD上存在移动的线段EF，E在F的左侧，且EF＝1，使四边形AEFP周长最小，求此时OE的长度．
解：（1）“三条边相等的准筝形是菱形”是真命题，
答案：真；
（2）如图，设AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是准筝形，
∴AC⊥BD，
∴AO2+OD2＝AD2，AO2+BO2＝AB2，BO2+CO2＝BC2，CO2+DO2＝CD2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2，
∴9+16＝4+CD2，
∴CD＝；
（3）∵四边形ABCD是准筝形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵AD＝3，AO＝，
∴AD＝2AO，OD＝＝，
∴∠ADO＝30°，
如图，作点A关于BD的对称点G，作GH∥EF，且GH＝EF，连接FH，
∴OA＝OG＝，AE＝GE，四边形EFHG是平行四边形，
∴EG＝FH，
∵四边形AEFP周长＝AP+AE+EF+PF＝2+1+AE+PF＝3+FH+PF，
∴点F，点P，点H三点共线时，FH+PF有最小值为PH，即四边形AEFP周长有最小值，
如图3，以点O为原点，OD为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系，过点P作PN⊥BD于N，
∵AP＝2，AD＝3，
∴PD＝1，
∵∠ADO＝30°，PN⊥OD，
∴PN＝PD＝，DN＝PN＝，
∴ON＝OD﹣DN＝，
∴点P（，），
∵OG＝OA＝，GH＝EF＝1，
∴点H（1，﹣），
∴直线PH解析式为：y＝（+1）x﹣﹣，
当y＝0时，x＝+，
∴点F（+，0），
∴OF＝+，
∴OE＝OF﹣EF＝﹣．
2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷03（江苏南通卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．端午节我们有吃粽子的习俗，为了保证大家吃上放心的粽子，质监部门对广安市市场上的粽子实行全面调查
B．一组数据﹣1，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是7
C．海底捞月是必然事件
D．甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为1.2，乙同学跳远成绩的方差为1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定
3．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC
4．若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
5．一个不透明的袋子中装有20个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同，若小英每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红球的频率逐渐稳定于0.4，则小英估计袋子中白球的个数约为（ ）
A．50 B．30 C．12 D．8
6．对于两组数据A，B，如果sA2＞sB2，且A＝B，则（ ）
A．这两组数据的波动相同 B．数据B的波动小一些
C．它们的平均水平不相同 D．数据A的波动小一些
7．一元二次方程x2+x+2021＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
8．某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝21 B．x（x﹣1）＝21
C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21
9．如图，是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果网状图，以O为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：
①甲和乙的动手操作能力都很强；
②缺少探索学习的能力是甲自身的不足；
③与甲相比，乙需要加强与他人的沟通和合作能力；
④乙的综合评分比甲要高．
其中合理的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
10．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
11．不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个绿球和6个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
12．若将方程x2﹣4x+1＝0化为（x+m）2＝n的形式，则m＝ ．
13．如图，在△BDE中，∠BDE＝90°，BD＝4，点D的坐标是（6，0），∠BDO＝15°，将△BDE旋转到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为 ．
14．关于x的方程x2﹣3x+m＝0有一个根是1，则方程的另一个根是 ．
15．如图，E是菱形ABCD的对角线的交点，点F在线段CE上，且AF＝AD，若∠CDF＝39°，则∠AFD＝ ．
16．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，直线l1：y＝k1x+b交x轴于点（﹣3，0），则关于x的不等式k2x＜k1x+b＜0的解集为 ．
17．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值为 ．
18．如图1，在菱形ABCD中，动点P从点C出发，沿C﹣A﹣D运动至终点D．设点P的运动路程为x（cm），△BCP的面积为y（cm2）．若y与x的函数图象如图2所示，则图中a的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共64分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）解方程：（2x﹣1）2＝x（3x+2）﹣7
（2）如果实数x满足x2+2x﹣3＝0，求代数式（+2）÷的值．
20．（6分）某校八年级一班20名女生某次体育测试的成绩统计如下：
成绩（分）
60
70
80
90
100
人数（人）
1
3
x
y
1
（1）如果这20名女生体育成绩的平均分数是82.5分，求x、y的值；
（2）在（1）的条件下，设本次测试这20名女生成绩的众数是a、中位数是b，求的值．
21．（8分）小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动，该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．
（1）用画树状图或列表的方法，列出小明参加项目的所有等可能的结果：
（2）求小明恰好抽中B、D两个项目的概率．
22．（8分）如图，在▱ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，∠A＝60°，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间（0≤t≤6）．
（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形？
（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形？
23．（8分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料．
（1）当AB长度是多少时，矩形花园的面积为150m2；
（2）能否围成矩形花园面积为210m2，为什么？
24．（10分）如图①所示，在A、B两地间有一车站C，甲汽车从A地出发经C站匀速驶往B地，乙汽车从B地出发经C站匀速驶往A地，两车速度相同．图②是两辆汽车行驶时离C站的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）填空：a＝ km，b＝ h，AB两地的距离为 km；
（2）求线段MN所表示的y与x之间的函数关系式（自变量取值范围不用写）；
（3）当甲、乙两车距离车站C的路程之和最小时，直接写出行驶时间x的取值范围．
25．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8．
（1）请利用直尺和圆规作菱形AECF，点E、F分别在BC、AD上（不写作法，仅保留作图痕迹）；
（2）求EF的长．
26．（10分）我们定义：对角线垂直的凸四边形叫做“准筝形”．如图1，四边形ABCD中，AC⊥BD，则四边形ABCD是“准筝形”．
（1）“三条边相等的准筝形是菱形”是 命题；（填“真”或“假”）
（2）如图1，在准筝形ABCD中，AD＝3，AB＝2，BC＝4，求CD的长．
（3）如图2，在准筝形ABCD中，AC与BD交于点O，点P在线段AD上，AP＝2，且AD＝3，AO＝，在BD上存在移动的线段EF，E在F的左侧，且EF＝1，使四边形AEFP周长最小，求此时OE的长度．
2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷03（江苏南通卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．
答案：A．
2．下列说法正确的是（ ）
A．端午节我们有吃粽子的习俗，为了保证大家吃上放心的粽子，质监部门对广安市市场上的粽子实行全面调查
B．一组数据﹣1，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是7
C．海底捞月是必然事件
D．甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为1.2，乙同学跳远成绩的方差为1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定
解：A、端午节我们有吃粽子的习俗，为了保证大家吃上放心的粽子，质监部门对广安市市场上的粽子实行抽样调查，本选项说法错误，不符合题意；
B、一组数据﹣1，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是5，本选项说法错误，不符合题意；
C、海底捞月是不可能事件，本选项说法错误，不符合题意；
D、甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为1.2，乙同学跳远成绩的方差为1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定，本选项说法正确，符合题意；
答案：D．
3．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC
解：A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB＝DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO＝CO，BO＝DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB∥DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；
答案：D．
4．若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
答案：D．
5．一个不透明的袋子中装有20个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同，若小英每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红球的频率逐渐稳定于0.4，则小英估计袋子中白球的个数约为（ ）
A．50 B．30 C．12 D．8
解：设袋中白球有x个，
根据题意，得：＝0.4，
解得：x＝30，
经检验：x＝30是分式方程的解，
所以小英估计袋子中白球的个数约为30个，
答案：B．
6．对于两组数据A，B，如果sA2＞sB2，且A＝B，则（ ）
A．这两组数据的波动相同 B．数据B的波动小一些
C．它们的平均水平不相同 D．数据A的波动小一些
解：∵sA2＞sB2，
∴数据B组的波动小一些．
答案：B．
7．一元二次方程x2+x+2021＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
解：∵x2+x+2021＝0，
∴△＝12﹣4×1×2021＜0，
∴该方程无实数根，
答案：D．
8．某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝21 B．x（x﹣1）＝21
C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21
解：依题意得：x（x﹣1）＝21．
答案：B．
9．如图，是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果网状图，以O为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：
①甲和乙的动手操作能力都很强；
②缺少探索学习的能力是甲自身的不足；
③与甲相比，乙需要加强与他人的沟通和合作能力；
④乙的综合评分比甲要高．
其中合理的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
解：由图形可知：
甲和乙的动手操作能力都是5分，即最高等级，故①合理；
甲的探索学习的能力为1分，故缺少探索学习的能力是甲自身的不足，故②合理；
甲与他人的沟通和合作能力为5分，乙与他人的沟通和合作能力为3分，故乙与他人的沟通和合作能力弱于甲，故③合理；
甲的各项得分为5，5，4，4，1；乙的各项得分为5，5，4，4，3，乙的综合评分比甲要高2分，故④合理．
综上，合理的选项有①②③④．
答案：D．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
解：如图：
当点F与点D重合时，点P在P1处，AP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝AP2，
∴P1P2∥DE且P1P2＝DE
当点F在ED上除点D、E的位置处时，有AP＝FP
由中位线定理可知：P1P∥DF且P1P＝DF
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当CP⊥P1P2时，PC取得最小值
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，
∴△ABE、△CDE、△DCP1为等腰直角三角形，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠DP1C＝45°，∠AED＝90°
∴∠AP2P1＝90°
∴∠AP1P2＝45°
∴∠P2P1C＝90°，即CP1⊥P1P2，
∴CP的最小值为CP1的长
在等腰直角CDP1中，DP1＝CD＝4，
∴CP1＝4
∴PC的最小值是4．
答案：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
11．不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个绿球和6个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
解：由题意可得，
从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是，
答案：．
12．若将方程x2﹣4x+1＝0化为（x+m）2＝n的形式，则m＝ ﹣2 ．
解：方程x2﹣4x+1＝0，
移项得：x2﹣4x＝﹣1，
配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，
则m＝﹣2．
答案：﹣2．
13．如图，在△BDE中，∠BDE＝90°，BD＝4，点D的坐标是（6，0），∠BDO＝15°，将△BDE旋转到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为 （6﹣，） ．
解：如图，AB与BD的垂直平分线的交点即为旋转中心P，
连接PD，过P作PF⊥x轴于F，
∵点C在BD上，
∴点P到AB、BD的距离相等，都是BD，即×4＝2，
∴∠PDB＝45°，PD＝×2＝2，
∵∠BDO＝15°，
∴∠PDO＝45°+15°＝60°，
∴∠DPF＝30°，
∴DF＝PD＝×2＝，
∵点D的坐标是（6，0），
∴OF＝OD﹣DF＝6﹣，
由勾股定理得，PF＝＝＝，
∴旋转中心的坐标为（6﹣，）．
答案：（6﹣，）．
14．关于x的方程x2﹣3x+m＝0有一个根是1，则方程的另一个根是 x＝2 ．
解：设方程的另一根为x，
∵关于x的方程x2﹣3x+m＝0有一个根是1，
∴1+x＝3，
解得，x＝2；
故答案x＝2．
15．如图，E是菱形ABCD的对角线的交点，点F在线段CE上，且AF＝AD，若∠CDF＝39°，则∠AFD＝ 73° ．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠AFD＝∠ACD+∠CDF，
∴∠AFD＝39°+∠ACD，
∵AF＝AD，
∴∠ADF＝∠AFD＝39°+∠ACD，
∵∠DAF+∠ADF+∠AFD＝180°，
∴3∠ACD+39°+39°＝180°，
∴∠ACD＝34°，
∴∠AFD＝34°+39°＝73°，
答案：73°．
16．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，直线l1：y＝k1x+b交x轴于点（﹣3，0），则关于x的不等式k2x＜k1x+b＜0的解集为 ﹣3＜x＜﹣1 ．
解：由图象可知，直线l1和直线l2的交点为（﹣1，﹣2），直线l1中y随x的增大而减小，
∵y＝k1x+b交x轴于点（﹣3，0），关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集为x＜﹣1，
∴关于x的不等式k2x＜k1x+b＜0的解集是﹣3＜x＜﹣1，
答案：﹣3＜x＜﹣1．
17．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值为 2 ．
解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠A＝∠D＝∠DME＝90°，AB∥CD，
∴四边形ADME是矩形，
∴EM＝AD＝AB，
∵BF＝EG，
∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），
∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM，
∵AB∥CD
∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB
∵∠ABF+∠AFB＝90°
∴∠ABF+∠BEG＝90°
∴∠EIF＝90°，
∴BF⊥EG；
∵△EIB是直角三角形，
∴OI＝BE，
∵AB＝6，AE＝2，
∴BE＝6﹣2＝4，OB＝OE＝2，
∵OD﹣OI≤DI，
∴当O、D、I共线时，DI有最小值，
∵IO＝BE＝2，
OD＝＝2，
∴ID＝2，即DI的最小值为2．
答案：2﹣2．
18．如图1，在菱形ABCD中，动点P从点C出发，沿C﹣A﹣D运动至终点D．设点P的运动路程为x（cm），△BCP的面积为y（cm2）．若y与x的函数图象如图2所示，则图中a的值为 ．
解：从图2知，AC＝5，AD＝2a，
当点P在点A时，此时，y＝4a＝S△BCP＝S△ABC，
此时，AB＝BC＝AD＝2a，
即△ABC为等腰三角形，
过点B作BH⊥AC于点H，则CH＝AH＝AC＝，
在△ABC中，S△ABC＝AC×BH＝5×BH＝4a，解得BH＝，
在Rt△HBC中，BC2＝BH2+CH2，即（2a）2＝（）2+（）2，
解得a＝（舍去负值），
答案：．
三、解答题（本大题共8小题，共64分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）解方程：（2x﹣1）2＝x（3x+2）﹣7
（2）如果实数x满足x2+2x﹣3＝0，求代数式（+2）÷的值．
解：（1）原方程可化为：4x2﹣4x+1＝3x2+2x﹣7，即x2﹣6x＝﹣8，
配方得：x2﹣6x+9＝1，即（x﹣3）2＝1，
开方得：x﹣3＝1或x﹣3＝﹣1，
解得：x1＝2，x2＝4；
（2）原式＝•（x+1）＝x2+2x+2，
由x2+2x﹣3＝0，得到x2+2x＝3，
则原式＝3+2＝5．
20．某校八年级一班20名女生某次体育测试的成绩统计如下：
成绩（分）
60
70
80
90
100
人数（人）
1
3
x
y
1
（1）如果这20名女生体育成绩的平均分数是82.5分，求x、y的值；
（2）在（1）的条件下，设本次测试这20名女生成绩的众数是a、中位数是b，求的值．
解：（1）根据题意，得：
解得：；
（2）由（1），众数a＝90，中位数b＝80，
∴＝＝﹣＝3﹣4．
21．小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动，该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．
（1）用画树状图或列表的方法，列出小明参加项目的所有等可能的结果：
（2）求小明恰好抽中B、D两个项目的概率．
解：（1）画树状图：
由树状图知共有6种等可能结果；
（2）小明恰好抽中B、D两个项目的只有1种情况，
所以小明恰好抽中B、D两个项目的概率为．
22．如图，在▱ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，∠A＝60°，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间（0≤t≤6）．
（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形？
（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形？
解：（1）AP＝2t（cm），AQ＝6﹣t（cm），
∵当△PAQ是等边三角形时，AQ＝AP，
即2t＝6﹣t，
解得t＝2．
∴当t＝2时，△PAQ是等边三角形；
（2）∵△PAQ是直角三角形，
∴∠AQP＝90°，
当∠AQP＝90°时，有∠APQ＝30°，，
即AP＝2AQ，
∴2t＝2（6﹣t），
解得t＝3（秒），
当∠APQ＝90°时，有∠AQP＝30°，，
即AQ＝2AP
∴6﹣t＝2•2t，解得（秒）．
∴当t＝3或时，△PAQ是直角三角形．
23．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料．
（1）当AB长度是多少时，矩形花园的面积为150m2；
（2）能否围成矩形花园面积为210m2，为什么？
解：（1）设BC＝xm，则AB＝CD＝（40﹣x）m，x≤25，
则（40﹣x）x＝150，
解得：x＝10或30（舍去30），
故x＝10（m）；
∴AB＝15（m）．
答：当AB长度是15m时，矩形花园的面积为150m2；
（2）由题意得：则（40﹣x）x＝210，
化简得：x2﹣40x+420＝0，△＝1600﹣4×420＜0，
故不能围成矩形花园面积为210m2．
24．如图①所示，在A、B两地间有一车站C，甲汽车从A地出发经C站匀速驶往B地，乙汽车从B地出发经C站匀速驶往A地，两车速度相同．图②是两辆汽车行驶时离C站的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）填空：a＝ 120 km，b＝ 2 h，AB两地的距离为 420 km；
（2）求线段MN所表示的y与x之间的函数关系式（自变量取值范围不用写）；
（3）当甲、乙两车距离车站C的路程之和最小时，直接写出行驶时间x的取值范围．
解：（1）两车的速度为：300÷5＝60km/h，
a＝60×（7﹣5）＝120，
b＝7﹣5＝2，
AB两地的距离是：300+120＝420，
答案：120，2，420；
（2）设线段MN所表示的y与x之间的函数表达式是y＝mx+n，
∴，
解得，
即线段MN所表示的y与x之间的函数表达式是y＝60x﹣300；
（3）设DE对应的函数解析式为y＝cx+d，
∴，解得，
即DE对应的函数解析式为y＝﹣60x+120，
设EF对应的函数解析式为y＝ex+f，
∴，解得，
即EF对应的函数解析式为y＝60x﹣120，
设甲、乙两车距离车站C的路程之和为skm，
当0≤x≤2时，
s＝（﹣60x+300）+（﹣60x+120）＝﹣120x+420，
则当x＝2时，s取得最小值，此时s＝180，
当2＜x≤5时，
s＝（﹣60x+300）+（60x﹣120）＝180，
当5≤x≤7时，
s＝（60x﹣300）+（60x﹣120）＝120x﹣420，
则当x＝5时，s取得最小值，此时s＝180，
由上可得，
行驶时间x满足2≤x≤5时，甲、乙两车距离车站C的路程之和最小．
25．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8．
（1）请利用直尺和圆规作菱形AECF，点E、F分别在BC、AD上（不写作法，仅保留作图痕迹）；
（2）求EF的长．
解：（1）如图所示，菱形AECF即为所求；
（2）设AE＝CE＝x，则BE＝8﹣x，
∵∠B＝90°，
∴Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴AE＝5，
∵Rt△ABC中，AC＝＝4，
∴AO＝AC＝2，
∴Rt△AOE中，OE＝＝，
∵AE＝CE，OE⊥AC，
∴∠AEO＝∠CEO，
∵AF∥CE，
∴∠CEO＝∠AFO，
∴∠AEO＝∠AFO，
∴AE＝AF，
又∵AO⊥EF，
∴O是EF的中点，
∴EF＝2OE＝．
26．我们定义：对角线垂直的凸四边形叫做“准筝形”．如图1，四边形ABCD中，AC⊥BD，则四边形ABCD是“准筝形”
（1）“三条边相等的准筝形是菱形”是 真 命题；（填“真”或“假”）
（2）如图1，在准筝形ABCD中，AD＝3，AB＝2，BC＝4，求CD的长．
（3）如图2，在准筝形ABCD中，AC与BD交于点O，点P在线段AD上，AP＝2，且AD＝3，AO＝，在BD上存在移动的线段EF，E在F的左侧，且EF＝1，使四边形AEFP周长最小，求此时OE的长度．
解：（1）“三条边相等的准筝形是菱形”是真命题，
答案：真；
（2）如图，设AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是准筝形，
∴AC⊥BD，
∴AO2+OD2＝AD2，AO2+BO2＝AB2，BO2+CO2＝BC2，CO2+DO2＝CD2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2，
∴9+16＝4+CD2，
∴CD＝；
（3）∵四边形ABCD是准筝形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵AD＝3，AO＝，
∴AD＝2AO，OD＝＝，
∴∠ADO＝30°，
如图，作点A关于BD的对称点G，作GH∥EF，且GH＝EF，连接FH，
∴OA＝OG＝，AE＝GE，四边形EFHG是平行四边形，
∴EG＝FH，
∵四边形AEFP周长＝AP+AE+EF+PF＝2+1+AE+PF＝3+FH+PF，
∴点F，点P，点H三点共线时，FH+PF有最小值为PH，即四边形AEFP周长有最小值，
如图3，以点O为原点，OD为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系，过点P作PN⊥BD于N，
∵AP＝2，AD＝3，
∴PD＝1，
∵∠ADO＝30°，PN⊥OD，
∴PN＝PD＝，DN＝PN＝，
∴ON＝OD﹣DN＝，
∴点P（，），
∵OG＝OA＝，GH＝EF＝1，
∴点H（1，﹣），
∴直线PH解析式为：y＝（+1）x﹣﹣，
当y＝0时，x＝+，
∴点F（+，0），
∴OF＝+，
∴OE＝OF﹣EF＝﹣．
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