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【江苏南京卷】2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷4（含解析）
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这是一份【江苏南京卷】2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷4（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷（江苏南京卷）
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．在圆，平行四边形、函数y＝x2的图象、y＝﹣的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A．通常加热到100℃时，水沸腾
B．购买一张彩票中奖
C．任意画一个三角形，内角和为360°
D．经过十字路口遇到红灯
3．将分式中x、y的值都扩大到原来的3倍，则扩大后分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍
C．不变 D．缩小到原来的
4．下列说法错误的是（ ）
A．四个角都相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．四条边都相等的四边形是菱形
5．如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
6．如图，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，点E是边AD上一点，以CE为直角边在与点D的同侧作等腰直角△CEG，连接BG，当点E在边AD上运动时，线段BG长度的最小值是（ ）
A．2 B．10 C．10 D．14
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．使有意义的x的取值范围是 ．
8．若分式的值为0，则x的值是 ．
9．计算6÷×所得的结果是 ．
10．做抛掷同一枚啤酒瓶盖的重复试验，经过统计得“凸面朝上”的频率约为0.44，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面朝上”的概率约为 ．
11．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是 ．
12．若点A（﹣2，y1）和点B（﹣1，y2）在反比例函数y＝﹣上的图象上，则y1与y2的大小关系为 ．
13．如图，在菱形ABCD中，边长为1，∠A＝60˚，顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去，…，则四边形A2019B2019C2019D2019的面积是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y＝﹣，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为an，若a1＝2，则a2021＝ ．
15．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE＝ ．
16．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，将△ABD绕着点B顺时针旋转45°得到△BEF，EF交CD于点G，连接BG交AC于点H，连接EH．则下列结论：①△BGE≌△BGC；②四边形EHCG是菱形；③△BDG的面积是8﹣4；④OH＝2﹣．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共68分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）3+2；
（2）（+）．
18．（6分）解方程：
（1）．
（2）．
19．（6分）按要求解下列方程：
（1）3x2+6x﹣4＝0（配方法）；
（2）（2x﹣1）2＝x2+6x+9（因式分解法）．
20．（5分）先化简再求值：（），其中x＝﹣3．
21．（5分）2022年冬奥会将在2月4日到20日在北京和张家口举行。为了调查中学生对冬奥会比赛项目的了解程度，某中学在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A、非常了解B、比较了解C、基本了解D、不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
对冬奥会的了解程度
百分比
A非常了解
10%
B比较了解
15%
C基本了解
35%
D不了解
n%
（1）本次调查的样本容量是 ，n＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校准备开展冬奥会的知识竞赛，该校共有4000名学生，请你估计这所学校本次竞赛“非常了解”和“比较了解”的学生总数．
22．（6分）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设．玉林良睦隧道是全线控制性工程，首期打通共有土石方总量为600千立方米，设计划平均每天挖掘土石方x千立方米，总需用时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
23．（6分）如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接CE，AF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若AB＝，BC＝3，求CE的长．
24．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝2有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝1时，求方程x2﹣2x+m＝2的解．
25．（6分）已知：如图，某区政府为了方便居民的生活，在S区域计划修建一个购物中心P，要求到住宅小区A、B的距离必须相等，到两条公路m和n的距离也必须相等．请标出购物中心P的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
26．（8分）已知，点P是直角△ABC斜边AB上一点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的关系是 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，若AC＝BC，CE：AE＝1：3，△EFQ的面积等于4，求△AQE的面积；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，请画出符合条件的图形．若AC＝BC，AE：CE＝1：3，四边形AEFQ的面积等于4，请直接写出△BQF的面积．
27．（8分）问题发现：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D为AB上一点，且AD＝2DB，过点D作DE∥BC，填空：＝ ，＝ ；
类比探究：（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A逆时针旋转得到△AMN，连接DM，BM，EN，CN，请求出，的值；
拓展延伸：（3）如图3，△ABC和△DEF同为等边三角形，且AB＝3EF＝6，连接AD，BE，将△DEF绕AC（DF）的中点O逆时针自由旋转，请直接写出在旋转过程中BE﹣AD的最大值．
2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷（江苏南京卷）
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．在圆，平行四边形、函数y＝x2的图象、y＝﹣的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：圆是轴对称图形又是中心对称图形；
平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；
函数y＝x2的图象是轴对称图形，不是中心对称图形；
y＝﹣的图象是中心对称图形，是轴对称图形；
答案：C．
2．下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A．通常加热到100℃时，水沸腾
B．购买一张彩票中奖
C．任意画一个三角形，内角和为360°
D．经过十字路口遇到红灯
解：A、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件，不符合题意；
B、购买一张彩票中奖，是随机事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，内角和为360°是不可能事件，符合题意；
D、经过十字路口遇到红灯是随机事件，不符合题意，
答案：C．
3．将分式中x、y的值都扩大到原来的3倍，则扩大后分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍
C．不变 D．缩小到原来的
解：＝＝，
即分式的值扩大到原来的3倍，
答案：A．
4．下列说法错误的是（ ）
A．四个角都相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．四条边都相等的四边形是菱形
解：A．四个角都相等的四边形是矩形，故选项A正确；
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项B错误；
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项C正确；
D．四条边都相等的四边形是菱形，故选项D正确．
答案：B．
5．如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
解：根据题意可知：S△AOB＝|k|＝3，
又反比例函数的图象位于第二象限，k＜0，
则k＝﹣6．
答案：A．
6．如图，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，点E是边AD上一点，以CE为直角边在与点D的同侧作等腰直角△CEG，连接BG，当点E在边AD上运动时，线段BG长度的最小值是（ ）
A．2 B．10 C．10 D．14
解：如图作GH⊥BA交BA的延长线于H，EM⊥HG于M，交BC于N．则MN⊥BC．设AE＝m．
∵∠EMG＝∠ENC＝∠CEG＝90°，
∴∠MEG+∠CEN＝90°，∠CEN+∠ECN＝90°，
∴∠MEG＝∠ECN，
∵EG＝EC，
∴△MEG≌△NCE（AAS），
∴EM＝CN＝AH＝8﹣m，MG＝EN＝AB＝6，
在Rt△BHG中，
BG＝＝
＝，
∴m＝4时，BG有最大值，最大值为10，
答案：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．使有意义的x的取值范围是 x≥2 ．
解：根据二次根式的意义，得
x﹣2≥0，解得x≥2．
8．若分式的值为0，则x的值是 ﹣1 ．
解：由分式的值为0，得
x+1＝0且x﹣1≠0．
解得x＝﹣1，
答案：﹣1．
9．计算6÷×所得的结果是 2 ．
解：原式＝6××
＝6×
＝2．
10．做抛掷同一枚啤酒瓶盖的重复试验，经过统计得“凸面朝上”的频率约为0.44，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面朝上”的概率约为 0.44 ．
解：∵凸面向上”的频率约为0.44，
∴估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为0.44＝44%，
答案：0.44．
11．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是 ﹣4，21 ．
解：x2﹣8x﹣5＝0，
x2﹣8x＝5，
x2﹣8x+42＝5+42，
（x﹣4）2＝21，
所以a＝﹣4，b＝21，
答案：﹣4，21．
12．若点A（﹣2，y1）和点B（﹣1，y2）在反比例函数y＝﹣上的图象上，则y1与y2的大小关系为 y1＜y2 ．
解：∵k＝﹣4＜0，
∴反比例函数y＝﹣上的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵点A（﹣2，y1）和点B（﹣1，y2）都在第二象限，且﹣2＜﹣1，
∴y1＜y2．
故答案为y1＜y2．
13．如图，在菱形ABCD中，边长为1，∠A＝60˚，顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去，…，则四边形A2019B2019C2019D2019的面积是 ．
解：连接AC、BD．则AC⊥BD，
∵菱形ABCD中，边长为1，∠A＝60°，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝1×1×sin60°＝，
∵顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1，
∴四边形A1B1C1D1是矩形，
矩形A1B1C1D1的面积＝AC•BD＝AC•BD＝S菱形ABCD＝＝，
菱形A2B2C2D2的面积＝×矩形A1B1C1D1的面积＝S菱形ABCD，＝＝，
则四边形A2019B2019C2019D2019的面积＝，
答案：．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y＝﹣，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为an，若a1＝2，则a2021＝ ﹣ ．
解：当a1＝2时，B1的横坐标与A1的横坐标相等为a1＝2，
A2的纵坐标和B1的纵坐标相同为y2＝﹣＝﹣，
B2的横坐标和A2的横坐标相同为a2═﹣，
A3的纵坐标和B2的纵坐标相同为y3＝﹣＝，
B3的横坐标和A3的横坐标相同为a3＝﹣，
A4的纵坐标和B3的纵坐标相同为y4＝﹣＝3，
B4的横坐标和A4的横坐标相同为a4＝2＝a1，
…
由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，…，3个为一组依次循环，
∵2021÷3＝673…2，
∴a2021＝a2＝﹣，
答案：﹣．
15．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE＝ 2.8 ．
解：过点E作EH⊥AD于H，
∵ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD＝AB＝4，
∴∠BAD＝∠HDE＝60°，
∵E是CD中点，
∴DE＝2，
在Rt△DHE，中，DE＝2，HE⊥DH，∠HDE＝60°，
∴DH＝1，HE＝，
∵将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，
∴AG＝GE，
在Rt△HGE中，GE2＝GH2+HE2，
∴GE2＝（4﹣GE+1）2+3，
∴GE＝2.8．
答案：2.8．
16．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，将△ABD绕着点B顺时针旋转45°得到△BEF，EF交CD于点G，连接BG交AC于点H，连接EH．则下列结论：①△BGE≌△BGC；②四边形EHCG是菱形；③△BDG的面积是8﹣4；④OH＝2﹣．其中正确结论的序号是 ①②④ ．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝2，AC＝BD＝2，AO＝BO＝CO＝DO＝，AC⊥BD，
∵将△ABD绕着点B顺时针旋转45°得到△BEF，
∴AB＝BE＝2，AD＝EF＝2，∠BEF＝∠BAD＝90°，
∴BE＝BC＝2，
在Rt△BEG和Rt△BCG中，
，
∴Rt△BEG≌Rt△BCG（HL），故①正确；
∴∠EBG＝∠CBG＝22.5°，
∴∠BGC＝67.5°，∠GHC＝∠GBC+∠ACB＝67.5°，
∴∠BGC＝∠GHC，
∴CH＝CG，
在△BEH和△BCH中，
，
∴△BEH≌△BCH（SAS），
∴EH＝CH，∠BCH＝∠BEH＝45°，
∴CH＝EH＝EG＝CG，
∴四边形EHCG是菱形，故②正确，
∵∠BEH＝45°，∠EOH＝90°，
∴∠OEH＝∠OHE＝45°，
∴OH＝OE＝BE﹣OB＝2﹣，故④正确；
∴EH＝OH＝2﹣2，
∴CG＝EH＝2﹣2，
∴DG＝CD﹣CG＝4﹣2，
∴△BDG的面积＝×DG×BC＝×（4﹣2）×2＝4﹣2，故③错误，
答案：①②④．
三、解答题（本大题共11小题，共68分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）3+2；
（2）（+）．
解：（1）原式＝5；
（2）原式＝×+×
＝3+1
＝4．
18．（6分）解方程：
（1）．
（2）．
解：（1）去分母得：2x﹣5+3（x﹣2）＝3x﹣3，
去括号得：2x﹣5+3x﹣6＝3x﹣3，
合并得：2x＝8，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣2≠0，
所以x＝4是方程的解．
（2）去分母得3x＝x﹣2，
解得x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是分式方程的解．
所以，原分式方程的解为x＝﹣1．
19．按要求解下列方程：
（1）3x2+6x﹣4＝0（配方法）；
（2）（2x﹣1）2＝x2+6x+9（因式分解法）．
解：（1）∵3x2+6x﹣4＝0．
∴x2+2x＝，
配方得：x2+2x+1＝+1，
即（x+1）2＝，
开方得：x+1＝±，
∴原方程的解是：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
（2）∵（2x﹣1）2＝x2+6x+9．
∴（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0，
因式分解得（3x+2）（x﹣4）＝0，
∴3x+2＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝﹣，x2＝4．
20．（5分）先化简再求值：（），其中x＝﹣3．
解：原式＝[﹣]•
＝[﹣]•
＝•
＝，
当x＝﹣3时，
原式＝＝．
21．2022年冬奥会将在2月4日到20日在北京和张家口举行。为了调查中学生对冬奥会比赛项目的了解程度，某中学在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A、非常了解B、比较了解C、基本了解D、不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
对冬奥会的了解程度
百分比
A非常了解
10%
B比较了解
15%
C基本了解
35%
D不了解
n%
（1）本次调查的样本容量是 400 ，n＝ 40 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校准备开展冬奥会的知识竞赛，该校共有4000名学生，请你估计这所学校本次竞赛“非常了解”和“比较了解”的学生总数．
解：（1）样本容量为：40÷10%＝400，
n%＝1﹣10%﹣15%﹣35%＝40%，n＝40．
故答案为400，40；
（2）D等级人数为：400﹣40﹣60﹣140＝160，
补全条形统计图如图所示：
（3）4000×（10%+15%）＝1000（名）．
答：估计这所学校本次竞赛“非常了解”和“比较了解”的学生总数为1000名．
22．南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设．玉林良睦隧道是全线控制性工程，首期打通共有土石方总量为600千立方米，设计划平均每天挖掘土石方x千立方米，总需用时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
解：（1）根据题意可得：y＝，
∵y≤600，
∴x≥1；
（2）设实际挖掘了m天才能完成首期工程，根据题意可得：
﹣＝0.2，
解得：m＝﹣600（舍）或500，
检验得：m＝500是原方程的根，
答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．
23．如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接CE，AF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若AB＝，BC＝3，求CE的长．
（1）证明：如图，连接AC，与BD相交于点O，
在矩形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；
（2）解：∵AB＝，BC＝3，
∴BD＝＝＝2，
∵∠ABE＝∠DBA，∠AEB＝∠DAB＝90°，
∴△ABE∽△ABD，
∴＝＝，
即＝＝，
解得，BE＝，AE＝，
∴EF＝BD﹣2BE＝2﹣×2＝，
CF＝AE＝，
在Rt△CEF中，CE＝＝＝．
24．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝2有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝1时，求方程x2﹣2x+m＝2的解．
解：（1）由题意可得，△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝12﹣4m，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝12﹣4m＞0．
解得m＜3；
（2）当m＝1时，原方程为x2﹣2x﹣1＝0，
（x﹣1）2＝2，
解得x1＝1+，x2＝1﹣．
25．（6分）已知：如图，某区政府为了方便居民的生活，在S区域计划修建一个购物中心P，要求到住宅小区A、B的距离必须相等，到两条公路m和n的距离也必须相等．请标出购物中心P的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
解：如图所示：点P即为所求．
26．（8分）已知，点P是直角△ABC斜边AB上一点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的关系是 AE∥BF，QE＝QF ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，若AC＝BC，CE：AE＝1：3，△EFQ的面积等于4，求△AQE的面积；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，请画出符合条件的图形．若AC＝BC，AE：CE＝1：3，四边形AEFQ的面积等于4，请直接写出△BQF的面积．
解：（1）当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE＝BF，
理由：如图1中，
∵Q为AB的中点，
∴AQ＝BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ＝∠BFQ＝90°，
在△AEQ和△BFQ中，
，
∴△AEQ≌△BFQ（AAS），
∴QE＝QF，
答案：AE∥BF，QE＝QF．
（2）延长BF交EQ于T．
∵AE⊥CF，CF⊥BF，
∴∠AEC＝∠CFB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF，CE＝BF，
∵BF∥AE，
∴∠T＝∠AEQ，
在△AEQ和△BTQ中，
，
∴△AEQ≌△BTQ（AAS），
∴TQ＝QE，AE＝BT，
∵FT＝BT﹣BF＝CF﹣EC＝EF，
∴△ETF是等腰直角三角形，
∵TQ＝EQ，
∴FQ⊥QE，
∴FQ＝QE，
∵△EFQ的面积为4，
∴QF＝QE＝2，
∴EF＝QF＝4，
∵AE：EC＝3：1，
∴EF＝2EC，
∴EC＝2，CF＝AE＝6，
过点Q作QH⊥AE于H．
∵∠FEQ＝∠AEQ＝45°，
∴QH＝QE＝2，
∴S△AQE＝•AE•QH＝×6×2＝6．
（3）如图3中，延长EQ交FB的延长线于T，连接CQ，过点Q作QH⊥EF于H，设AE＝a，EC＝3a，
同法可证，△AQE≌△BQT，△AEC≌△CFB，
∴AE＝BT＝CF，QE＝TQ，CE＝BF，
∴EF＝FT，
∴△EFT是等腰直角三角形，
∵QE＝QT，
∴QF⊥ET，
∴QF＝QE＝TQ＝2a，
∵QH⊥EF，
∴EH＝FH＝2a，
∵∠AQC＝∠EQF＝90°，
∴∠AQE＝∠CQF，
在△AQE和△CQF中，
，
∴△AQE≌△CQF（SAS），
∴S四边形AEFQ＝S△QEF+S△CQF＝4，
∴×4a×2a+×a×2a＝4，
∴a2＝，
∴S△BQF＝S△QTF﹣S△QBT＝×4a×2a﹣×a×2a＝3a2＝．
27．（8分）问题发现：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D为AB上一点，且AD＝2DB，过点D作DE∥BC，填空：＝ ，＝ ；
类比探究：（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A逆时针旋转得到△AMN，连接DM，BM，EN，CN，请求出，的值；
拓展延伸：（3）如图3，△ABC和△DEF同为等边三角形，且AB＝3EF＝6，连接AD，BE，将△DEF绕AC（DF）的中点O逆时针自由旋转，请直接写出在旋转过程中BE﹣AD的最大值．
解：（1）如图1中，
在Rt△ABC中，，
∵AD＝2DB，
∴AB＝AD+DB＝3DB，
∵DE∥BC，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
答案：，．
（2）由旋转性质可知：AD＝AM，AE＝AN，∠BAM＝∠CAN，
∵，∠BAM＝∠CAN，
∴△ABM～△ACN，
∴，∠ABM＝∠ACN，
∵，∠ABM＝∠ACN，
∴△DBM～△ECN，
∴．
（3）如图3中，连接OB，OE，由三线合一性质可知∠BOC＝∠DOE＝90°，
∴∠BOD＝∠COE，
∴∠AOB+∠BOD＝∠BOC+∠COE，即∠AOD＝∠BOE，
∵，∠AOD＝∠BOE，
∴△AOD～△BOE，
∴，
∵AB＝3EF＝6，
∴，，
在△BOE中，由三边关系可得，BE＜BO+OE，
当B、O、E三点共线时，BE存在最大值为，
∵，
∴当BE存在最大值时，BE﹣AD的最大值＝．
2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷（江苏南京卷）
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．在圆，平行四边形、函数y＝x2的图象、y＝﹣的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A．通常加热到100℃时，水沸腾
B．购买一张彩票中奖
C．任意画一个三角形，内角和为360°
D．经过十字路口遇到红灯
3．将分式中x、y的值都扩大到原来的3倍，则扩大后分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍
C．不变 D．缩小到原来的
4．下列说法错误的是（ ）
A．四个角都相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．四条边都相等的四边形是菱形
5．如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
6．如图，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，点E是边AD上一点，以CE为直角边在与点D的同侧作等腰直角△CEG，连接BG，当点E在边AD上运动时，线段BG长度的最小值是（ ）
A．2 B．10 C．10 D．14
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．使有意义的x的取值范围是 ．
8．若分式的值为0，则x的值是 ．
9．计算6÷×所得的结果是 ．
10．做抛掷同一枚啤酒瓶盖的重复试验，经过统计得“凸面朝上”的频率约为0.44，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面朝上”的概率约为 ．
11．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是 ．
12．若点A（﹣2，y1）和点B（﹣1，y2）在反比例函数y＝﹣上的图象上，则y1与y2的大小关系为 ．
13．如图，在菱形ABCD中，边长为1，∠A＝60˚，顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去，…，则四边形A2019B2019C2019D2019的面积是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y＝﹣，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为an，若a1＝2，则a2021＝ ．
15．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE＝ ．
16．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，将△ABD绕着点B顺时针旋转45°得到△BEF，EF交CD于点G，连接BG交AC于点H，连接EH．则下列结论：①△BGE≌△BGC；②四边形EHCG是菱形；③△BDG的面积是8﹣4；④OH＝2﹣．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共68分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）3+2；
（2）（+）．
18．（6分）解方程：
（1）．
（2）．
19．（6分）按要求解下列方程：
（1）3x2+6x﹣4＝0（配方法）；
（2）（2x﹣1）2＝x2+6x+9（因式分解法）．
20．（5分）先化简再求值：（），其中x＝﹣3．
21．（5分）2022年冬奥会将在2月4日到20日在北京和张家口举行。为了调查中学生对冬奥会比赛项目的了解程度，某中学在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A、非常了解B、比较了解C、基本了解D、不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
对冬奥会的了解程度
百分比
A非常了解
10%
B比较了解
15%
C基本了解
35%
D不了解
n%
（1）本次调查的样本容量是 ，n＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校准备开展冬奥会的知识竞赛，该校共有4000名学生，请你估计这所学校本次竞赛“非常了解”和“比较了解”的学生总数．
22．（6分）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设．玉林良睦隧道是全线控制性工程，首期打通共有土石方总量为600千立方米，设计划平均每天挖掘土石方x千立方米，总需用时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
23．（6分）如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接CE，AF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若AB＝，BC＝3，求CE的长．
24．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝2有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝1时，求方程x2﹣2x+m＝2的解．
25．（6分）已知：如图，某区政府为了方便居民的生活，在S区域计划修建一个购物中心P，要求到住宅小区A、B的距离必须相等，到两条公路m和n的距离也必须相等．请标出购物中心P的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
26．（8分）已知，点P是直角△ABC斜边AB上一点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的关系是 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，若AC＝BC，CE：AE＝1：3，△EFQ的面积等于4，求△AQE的面积；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，请画出符合条件的图形．若AC＝BC，AE：CE＝1：3，四边形AEFQ的面积等于4，请直接写出△BQF的面积．
27．（8分）问题发现：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D为AB上一点，且AD＝2DB，过点D作DE∥BC，填空：＝ ，＝ ；
类比探究：（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A逆时针旋转得到△AMN，连接DM，BM，EN，CN，请求出，的值；
拓展延伸：（3）如图3，△ABC和△DEF同为等边三角形，且AB＝3EF＝6，连接AD，BE，将△DEF绕AC（DF）的中点O逆时针自由旋转，请直接写出在旋转过程中BE﹣AD的最大值．
2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷（江苏南京卷）
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．在圆，平行四边形、函数y＝x2的图象、y＝﹣的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：圆是轴对称图形又是中心对称图形；
平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；
函数y＝x2的图象是轴对称图形，不是中心对称图形；
y＝﹣的图象是中心对称图形，是轴对称图形；
答案：C．
2．下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A．通常加热到100℃时，水沸腾
B．购买一张彩票中奖
C．任意画一个三角形，内角和为360°
D．经过十字路口遇到红灯
解：A、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件，不符合题意；
B、购买一张彩票中奖，是随机事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，内角和为360°是不可能事件，符合题意；
D、经过十字路口遇到红灯是随机事件，不符合题意，
答案：C．
3．将分式中x、y的值都扩大到原来的3倍，则扩大后分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍
C．不变 D．缩小到原来的
解：＝＝，
即分式的值扩大到原来的3倍，
答案：A．
4．下列说法错误的是（ ）
A．四个角都相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．四条边都相等的四边形是菱形
解：A．四个角都相等的四边形是矩形，故选项A正确；
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项B错误；
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项C正确；
D．四条边都相等的四边形是菱形，故选项D正确．
答案：B．
5．如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
解：根据题意可知：S△AOB＝|k|＝3，
又反比例函数的图象位于第二象限，k＜0，
则k＝﹣6．
答案：A．
6．如图，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，点E是边AD上一点，以CE为直角边在与点D的同侧作等腰直角△CEG，连接BG，当点E在边AD上运动时，线段BG长度的最小值是（ ）
A．2 B．10 C．10 D．14
解：如图作GH⊥BA交BA的延长线于H，EM⊥HG于M，交BC于N．则MN⊥BC．设AE＝m．
∵∠EMG＝∠ENC＝∠CEG＝90°，
∴∠MEG+∠CEN＝90°，∠CEN+∠ECN＝90°，
∴∠MEG＝∠ECN，
∵EG＝EC，
∴△MEG≌△NCE（AAS），
∴EM＝CN＝AH＝8﹣m，MG＝EN＝AB＝6，
在Rt△BHG中，
BG＝＝
＝，
∴m＝4时，BG有最大值，最大值为10，
答案：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．使有意义的x的取值范围是 x≥2 ．
解：根据二次根式的意义，得
x﹣2≥0，解得x≥2．
8．若分式的值为0，则x的值是 ﹣1 ．
解：由分式的值为0，得
x+1＝0且x﹣1≠0．
解得x＝﹣1，
答案：﹣1．
9．计算6÷×所得的结果是 2 ．
解：原式＝6××
＝6×
＝2．
10．做抛掷同一枚啤酒瓶盖的重复试验，经过统计得“凸面朝上”的频率约为0.44，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面朝上”的概率约为 0.44 ．
解：∵凸面向上”的频率约为0.44，
∴估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为0.44＝44%，
答案：0.44．
11．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是 ﹣4，21 ．
解：x2﹣8x﹣5＝0，
x2﹣8x＝5，
x2﹣8x+42＝5+42，
（x﹣4）2＝21，
所以a＝﹣4，b＝21，
答案：﹣4，21．
12．若点A（﹣2，y1）和点B（﹣1，y2）在反比例函数y＝﹣上的图象上，则y1与y2的大小关系为 y1＜y2 ．
解：∵k＝﹣4＜0，
∴反比例函数y＝﹣上的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵点A（﹣2，y1）和点B（﹣1，y2）都在第二象限，且﹣2＜﹣1，
∴y1＜y2．
故答案为y1＜y2．
13．如图，在菱形ABCD中，边长为1，∠A＝60˚，顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去，…，则四边形A2019B2019C2019D2019的面积是 ．
解：连接AC、BD．则AC⊥BD，
∵菱形ABCD中，边长为1，∠A＝60°，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝1×1×sin60°＝，
∵顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1，
∴四边形A1B1C1D1是矩形，
矩形A1B1C1D1的面积＝AC•BD＝AC•BD＝S菱形ABCD＝＝，
菱形A2B2C2D2的面积＝×矩形A1B1C1D1的面积＝S菱形ABCD，＝＝，
则四边形A2019B2019C2019D2019的面积＝，
答案：．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y＝﹣，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为an，若a1＝2，则a2021＝ ﹣ ．
解：当a1＝2时，B1的横坐标与A1的横坐标相等为a1＝2，
A2的纵坐标和B1的纵坐标相同为y2＝﹣＝﹣，
B2的横坐标和A2的横坐标相同为a2═﹣，
A3的纵坐标和B2的纵坐标相同为y3＝﹣＝，
B3的横坐标和A3的横坐标相同为a3＝﹣，
A4的纵坐标和B3的纵坐标相同为y4＝﹣＝3，
B4的横坐标和A4的横坐标相同为a4＝2＝a1，
…
由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，…，3个为一组依次循环，
∵2021÷3＝673…2，
∴a2021＝a2＝﹣，
答案：﹣．
15．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE＝ 2.8 ．
解：过点E作EH⊥AD于H，
∵ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD＝AB＝4，
∴∠BAD＝∠HDE＝60°，
∵E是CD中点，
∴DE＝2，
在Rt△DHE，中，DE＝2，HE⊥DH，∠HDE＝60°，
∴DH＝1，HE＝，
∵将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，
∴AG＝GE，
在Rt△HGE中，GE2＝GH2+HE2，
∴GE2＝（4﹣GE+1）2+3，
∴GE＝2.8．
答案：2.8．
16．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，将△ABD绕着点B顺时针旋转45°得到△BEF，EF交CD于点G，连接BG交AC于点H，连接EH．则下列结论：①△BGE≌△BGC；②四边形EHCG是菱形；③△BDG的面积是8﹣4；④OH＝2﹣．其中正确结论的序号是 ①②④ ．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝2，AC＝BD＝2，AO＝BO＝CO＝DO＝，AC⊥BD，
∵将△ABD绕着点B顺时针旋转45°得到△BEF，
∴AB＝BE＝2，AD＝EF＝2，∠BEF＝∠BAD＝90°，
∴BE＝BC＝2，
在Rt△BEG和Rt△BCG中，
，
∴Rt△BEG≌Rt△BCG（HL），故①正确；
∴∠EBG＝∠CBG＝22.5°，
∴∠BGC＝67.5°，∠GHC＝∠GBC+∠ACB＝67.5°，
∴∠BGC＝∠GHC，
∴CH＝CG，
在△BEH和△BCH中，
，
∴△BEH≌△BCH（SAS），
∴EH＝CH，∠BCH＝∠BEH＝45°，
∴CH＝EH＝EG＝CG，
∴四边形EHCG是菱形，故②正确，
∵∠BEH＝45°，∠EOH＝90°，
∴∠OEH＝∠OHE＝45°，
∴OH＝OE＝BE﹣OB＝2﹣，故④正确；
∴EH＝OH＝2﹣2，
∴CG＝EH＝2﹣2，
∴DG＝CD﹣CG＝4﹣2，
∴△BDG的面积＝×DG×BC＝×（4﹣2）×2＝4﹣2，故③错误，
答案：①②④．
三、解答题（本大题共11小题，共68分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）3+2；
（2）（+）．
解：（1）原式＝5；
（2）原式＝×+×
＝3+1
＝4．
18．（6分）解方程：
（1）．
（2）．
解：（1）去分母得：2x﹣5+3（x﹣2）＝3x﹣3，
去括号得：2x﹣5+3x﹣6＝3x﹣3，
合并得：2x＝8，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣2≠0，
所以x＝4是方程的解．
（2）去分母得3x＝x﹣2，
解得x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是分式方程的解．
所以，原分式方程的解为x＝﹣1．
19．按要求解下列方程：
（1）3x2+6x﹣4＝0（配方法）；
（2）（2x﹣1）2＝x2+6x+9（因式分解法）．
解：（1）∵3x2+6x﹣4＝0．
∴x2+2x＝，
配方得：x2+2x+1＝+1，
即（x+1）2＝，
开方得：x+1＝±，
∴原方程的解是：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
（2）∵（2x﹣1）2＝x2+6x+9．
∴（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0，
因式分解得（3x+2）（x﹣4）＝0，
∴3x+2＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝﹣，x2＝4．
20．（5分）先化简再求值：（），其中x＝﹣3．
解：原式＝[﹣]•
＝[﹣]•
＝•
＝，
当x＝﹣3时，
原式＝＝．
21．2022年冬奥会将在2月4日到20日在北京和张家口举行。为了调查中学生对冬奥会比赛项目的了解程度，某中学在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A、非常了解B、比较了解C、基本了解D、不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
对冬奥会的了解程度
百分比
A非常了解
10%
B比较了解
15%
C基本了解
35%
D不了解
n%
（1）本次调查的样本容量是 400 ，n＝ 40 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校准备开展冬奥会的知识竞赛，该校共有4000名学生，请你估计这所学校本次竞赛“非常了解”和“比较了解”的学生总数．
解：（1）样本容量为：40÷10%＝400，
n%＝1﹣10%﹣15%﹣35%＝40%，n＝40．
故答案为400，40；
（2）D等级人数为：400﹣40﹣60﹣140＝160，
补全条形统计图如图所示：
（3）4000×（10%+15%）＝1000（名）．
答：估计这所学校本次竞赛“非常了解”和“比较了解”的学生总数为1000名．
22．南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设．玉林良睦隧道是全线控制性工程，首期打通共有土石方总量为600千立方米，设计划平均每天挖掘土石方x千立方米，总需用时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
解：（1）根据题意可得：y＝，
∵y≤600，
∴x≥1；
（2）设实际挖掘了m天才能完成首期工程，根据题意可得：
﹣＝0.2，
解得：m＝﹣600（舍）或500，
检验得：m＝500是原方程的根，
答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．
23．如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接CE，AF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若AB＝，BC＝3，求CE的长．
（1）证明：如图，连接AC，与BD相交于点O，
在矩形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；
（2）解：∵AB＝，BC＝3，
∴BD＝＝＝2，
∵∠ABE＝∠DBA，∠AEB＝∠DAB＝90°，
∴△ABE∽△ABD，
∴＝＝，
即＝＝，
解得，BE＝，AE＝，
∴EF＝BD﹣2BE＝2﹣×2＝，
CF＝AE＝，
在Rt△CEF中，CE＝＝＝．
24．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝2有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝1时，求方程x2﹣2x+m＝2的解．
解：（1）由题意可得，△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝12﹣4m，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝12﹣4m＞0．
解得m＜3；
（2）当m＝1时，原方程为x2﹣2x﹣1＝0，
（x﹣1）2＝2，
解得x1＝1+，x2＝1﹣．
25．（6分）已知：如图，某区政府为了方便居民的生活，在S区域计划修建一个购物中心P，要求到住宅小区A、B的距离必须相等，到两条公路m和n的距离也必须相等．请标出购物中心P的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
解：如图所示：点P即为所求．
26．（8分）已知，点P是直角△ABC斜边AB上一点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的关系是 AE∥BF，QE＝QF ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，若AC＝BC，CE：AE＝1：3，△EFQ的面积等于4，求△AQE的面积；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，请画出符合条件的图形．若AC＝BC，AE：CE＝1：3，四边形AEFQ的面积等于4，请直接写出△BQF的面积．
解：（1）当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE＝BF，
理由：如图1中，
∵Q为AB的中点，
∴AQ＝BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ＝∠BFQ＝90°，
在△AEQ和△BFQ中，
，
∴△AEQ≌△BFQ（AAS），
∴QE＝QF，
答案：AE∥BF，QE＝QF．
（2）延长BF交EQ于T．
∵AE⊥CF，CF⊥BF，
∴∠AEC＝∠CFB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF，CE＝BF，
∵BF∥AE，
∴∠T＝∠AEQ，
在△AEQ和△BTQ中，
，
∴△AEQ≌△BTQ（AAS），
∴TQ＝QE，AE＝BT，
∵FT＝BT﹣BF＝CF﹣EC＝EF，
∴△ETF是等腰直角三角形，
∵TQ＝EQ，
∴FQ⊥QE，
∴FQ＝QE，
∵△EFQ的面积为4，
∴QF＝QE＝2，
∴EF＝QF＝4，
∵AE：EC＝3：1，
∴EF＝2EC，
∴EC＝2，CF＝AE＝6，
过点Q作QH⊥AE于H．
∵∠FEQ＝∠AEQ＝45°，
∴QH＝QE＝2，
∴S△AQE＝•AE•QH＝×6×2＝6．
（3）如图3中，延长EQ交FB的延长线于T，连接CQ，过点Q作QH⊥EF于H，设AE＝a，EC＝3a，
同法可证，△AQE≌△BQT，△AEC≌△CFB，
∴AE＝BT＝CF，QE＝TQ，CE＝BF，
∴EF＝FT，
∴△EFT是等腰直角三角形，
∵QE＝QT，
∴QF⊥ET，
∴QF＝QE＝TQ＝2a，
∵QH⊥EF，
∴EH＝FH＝2a，
∵∠AQC＝∠EQF＝90°，
∴∠AQE＝∠CQF，
在△AQE和△CQF中，
，
∴△AQE≌△CQF（SAS），
∴S四边形AEFQ＝S△QEF+S△CQF＝4，
∴×4a×2a+×a×2a＝4，
∴a2＝，
∴S△BQF＝S△QTF﹣S△QBT＝×4a×2a﹣×a×2a＝3a2＝．
27．（8分）问题发现：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D为AB上一点，且AD＝2DB，过点D作DE∥BC，填空：＝ ，＝ ；
类比探究：（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A逆时针旋转得到△AMN，连接DM，BM，EN，CN，请求出，的值；
拓展延伸：（3）如图3，△ABC和△DEF同为等边三角形，且AB＝3EF＝6，连接AD，BE，将△DEF绕AC（DF）的中点O逆时针自由旋转，请直接写出在旋转过程中BE﹣AD的最大值．
解：（1）如图1中，
在Rt△ABC中，，
∵AD＝2DB，
∴AB＝AD+DB＝3DB，
∵DE∥BC，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
答案：，．
（2）由旋转性质可知：AD＝AM，AE＝AN，∠BAM＝∠CAN，
∵，∠BAM＝∠CAN，
∴△ABM～△ACN，
∴，∠ABM＝∠ACN，
∵，∠ABM＝∠ACN，
∴△DBM～△ECN，
∴．
（3）如图3中，连接OB，OE，由三线合一性质可知∠BOC＝∠DOE＝90°，
∴∠BOD＝∠COE，
∴∠AOB+∠BOD＝∠BOC+∠COE，即∠AOD＝∠BOE，
∵，∠AOD＝∠BOE，
∴△AOD～△BOE，
∴，
∵AB＝3EF＝6，
∴，，
在△BOE中，由三边关系可得，BE＜BO+OE，
当B、O、E三点共线时，BE存在最大值为，
∵，
∴当BE存在最大值时，BE﹣AD的最大值＝．
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