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【江苏徐州卷】2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷01（含解析）
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这是一份【江苏徐州卷】2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷01（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷01（江苏徐州卷）
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列垃圾分类的图标是中心对称图形的是（ ）
A． 厨余垃圾（绿色） B． 其他垃圾（黑色）
C． 可回收物（蓝色） D． 有害垃圾（红色）
2．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣3 B．2 C．3 D．0
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．若反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣2），则下列各点在该函数图象上的为（ ）
A．（2，3） B．（6，1） C．（﹣1，6） D．（﹣2，﹣3）
5．一个不透明的盒子中装有9个白球和1个黑球，它们除了颜色外都相同．从中任意摸出一球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到白球是必然事件 B．摸到黑球是必然事件
C．摸到白球是随机事件 D．摸到黑球是不可能事件
6．菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
7．如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
8．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF＝51°，则∠B的度数是（ ）°．
A．62 B．72 C．78 D．68
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．分式与的最简公分母是 ．
10．要使有意义，则x的取值范围是 ．
11．某市为了解学生的心理健康情况，在20000名学生中随机抽查了500名学生进行问卷调查，则这次调查的样本容量是 ．
12．如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BA，则∠DCE的度数为 ．
13．如图，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交BC于点E，连接AE，已知CD＝4，∠B＝60°，则△ABE的面积为 ．
14．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则a＝ ．
15．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数
100
300
500
1000
1600
2000
“有2个人同月过生日”的次数
80
229
392
779
1251
1562
“有2个人同月过生日”的频率
0.8
0.763
0.784
0.779
0.782
0.781
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是 （精确到0.01）．
16．意大利数学家斐波那契研究了一列非常奇妙的数，被称为斐波那契数列．斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．斐波那契数列中的第2个数可化简为 ．
17．如图，D是矩形AOBC的对称中心，A（0，4），B（6，0），若一个反比例函数的图象经过点D，交AC于点M，则点M的坐标为 ．
18．如图，将正方形ABCD沿MN对折，点M、N分别是AD、BC的中点，再将点C折至点H的位置，点H在MN上，折痕是BQ，则＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共64分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算．
（1）（+）（）；
（2）（）×+2．
20．（8分）（1）化简：（1+）（﹣1）；
（2）解方程：+＝．
21．（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）直接写出本次调查的学生总人数 ；
（2）补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（4）该校共有学生3000人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？
22．（6分）如图1、图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．已知点A，B，C均在格点上，要求作一个多边形使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在网格的顶点上．
（1）在图1中作一个三角形是轴对称图形；
（2）在图2中作一个四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
23．（6分）两个小组同时开始登一座450m高的山，第一组的速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15min到达顶峰．两个小组的速度各是多少？如果山高为hm，第一组的攀登速度是第二组的a倍，并比第二组早tmin达到顶峰，则两组的攀登速度各是多少？
24．（10分）已知，点P是直角△ABC斜边AB上一点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的关系是 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，若AC＝BC，CE：AE＝1：3，△EFQ的面积等于4，求△AQE的面积；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，请画出符合条件的图形．若AC＝BC，AE：CE＝1：3，四边形AEFQ的面积等于4，请直接写出△BQF的面积．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+5的图象与函数y＝（x＜0）的图象相交于点A，并与x轴交于点C，S△AOC＝15．点D是线段AC上一点，CD：AC＝2：3．
（1）求k的值；
（2）直接写出不等式＞﹣x+5（x＜0）的解集；
（3）若将△ODC绕点O逆时针旋转，得到△OD′C′，其中D′落在x轴负半轴上，判断点C′是否落在函数y＝（x＜0）的图象上，并说明理由．
26．（10分）平面直角坐标系中，点A（x，y），且x2﹣8x+16+＝0，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形（点A、B、C逆时针排列）．
（1）直接写出点A的坐标是 ；
（2）如图1，已知点B（0，n）且0＜n＜4，连接OC．求四边形ABOC的面积；
（3）如图2，已知点B（m，n）且0＜m＜4，0＜n＜4，过点A作AD⊥y轴于D，连接OB，M为OB的中点，连接DM，CM．求证DM⊥CM．
2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷01（江苏徐州卷）
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列垃圾分类的图标是中心对称图形的是（ ）
A． 厨余垃圾（绿色） B． 其他垃圾（黑色）
C． 可回收物（蓝色） D． 有害垃圾（红色）
解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
答案：D．
2．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣3 B．2 C．3 D．0
解：∵分式的值为0，
∴x+3＝0，x﹣2≠0，
解得，x＝﹣3，
答案：A．
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、＝，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、＝2，不是最简二次根式，不符合题意；
D、＝2，不是最简二次根式，不符合题意；
答案：B．
4．若反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣2），则下列各点在该函数图象上的为（ ）
A．（2，3） B．（6，1） C．（﹣1，6） D．（﹣2，﹣3）
解：∵反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣2），
∴xy＝3﹣k＝﹣6，
A、（2，3），此时xy＝2×3＝6≠﹣6，不合题意；
B、（6，1），此时xy＝6×1＝6≠﹣6，不合题意；
C、（﹣1，6），此时xy＝﹣1×6＝﹣6，合题意；
D、（﹣2，﹣3），此时xy＝﹣2×（﹣3）＝6≠﹣6，不符合题意；
答案：C．
5．一个不透明的盒子中装有9个白球和1个黑球，它们除了颜色外都相同．从中任意摸出一球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到白球是必然事件 B．摸到黑球是必然事件
C．摸到白球是随机事件 D．摸到黑球是不可能事件
解：∵摸到白球是随机事件，不是必然事件，
∴选项A不符合题意，选项C符合题意；
∵摸到黑球是随机事件，
∴选项B、D不符合题意；
答案：C．
6．菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
解：由菱形的性质得，菱形相邻的两边相等，则与这条对角线组成等边三角形，则它的锐角等于60°，故选C．
7．如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
解：根据题意可知：S△AOB＝|k|＝3，
又反比例函数的图象位于第二象限，k＜0，
则k＝﹣6．
答案：A．
8．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF＝51°，则∠B的度数是（ ）°．
A．62 B．72 C．78 D．68
解：过F作FG∥AB∥CD，交BC于G；
则四边形ABGF是平行四边形，所以AF＝BG，即G是BC的中点；
∵BC＝2AB，为AD的中点，
∴BG＝AB＝FG＝AF，
连接EG，
在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，
∴BG＝GE＝FG＝BC；
∵AE∥FG，
∴∠EFG＝∠AEF＝∠FEG＝51°，
∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝102°，
∴∠B＝∠BEG＝180°﹣102°＝78°．
答案：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．分式与的最简公分母是 2a2b2c ．
解：题中两分式的最简公分母即求两分式分母的最小公倍数，即为2a2b2c．答案：2a2b2c．
10．要使有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
解：∵有意义，
∴x﹣2≥0，
∴x≥2．
答案：x≥2．
11．某市为了解学生的心理健康情况，在20000名学生中随机抽查了500名学生进行问卷调查，则这次调查的样本容量是 500 ．
解：某市为了解学生的心理健康情况，在20000名学生中随机抽查了500名学生进行问卷调查，则这次调查的样本容量是500．
答案：500．
12．如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BA，则∠DCE的度数为 22.5° ．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠DBC＝∠BDC＝45°，
∵BE＝BA＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝67.5°，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
答案：22.5°．
13．如图，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交BC于点E，连接AE，已知CD＝4，∠B＝60°，则△ABE的面积为 4 ．
解：如图，由作法得EF垂直平分AB，即AF＝BF＝AB，EF⊥AB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝4，BF＝2．
在直角△BEF中，∵∠BFE＝90°，∠B＝60°，
∴EF＝BF•tan∠B＝2，
∴△ABE的面积＝AB•EF＝×4×2＝4．
答案：4．
14．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则a＝ ﹣7 ．
解：∵是最简二次根式，且它与是同类二次根式，而＝4，
∴a+9＝2，
∴a＝﹣7，
答案：﹣7．
15．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数
100
300
500
1000
1600
2000
“有2个人同月过生日”的次数
80
229
392
779
1251
1562
“有2个人同月过生日”的频率
0.8
0.763
0.784
0.779
0.782
0.781
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是 0.78 （精确到0.01）．
解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78．
答案：0.78．
16．意大利数学家斐波那契研究了一列非常奇妙的数，被称为斐波那契数列．斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．斐波那契数列中的第2个数可化简为 1 ．
解：斐波那契数列中的第2个数可化简为
＝
＝
＝1．
答案：1．
17．如图，D是矩形AOBC的对称中心，A（0，4），B（6，0），若一个反比例函数的图象经过点D，交AC于点M，则点M的坐标为 （，4） ．
解：∵A（0，4），B（6，0），
∴C（6，4），
∵D是矩形AOBC的对称中心，
∴D（3，2），
设反比例函数的解析式为y＝，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把y＝4代入得4＝，解得x＝，
故M的坐标为（，4）．
答案：（，4）．
18．如图，将正方形ABCD沿MN对折，点M、N分别是AD、BC的中点，再将点C折至点H的位置，点H在MN上，折痕是BQ，则＝ ．
解：∵点M、N分别是AD、BC的中点，
∴MN∥CD，点R是BQ的中点，
∴RN是△BCQ的中位线，RQ＝BQ，
∴RN＝CQ．
根据折叠的性质知：BH＝BC，∠HBQ＝∠CBQ，
∴BN＝BC＝BH，
∵∠BNH＝90°，
∴∠BHN＝30°，
∴∠HBN＝90°﹣30°＝60°，
根据翻折不变性，∠QBC＝30°，
∴sin30°＝＝＝＝．
答案：．
三、解答题（本大题共8小题，共64分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算．
（1）（+）（）；
（2）（）×+2．
解：（1）原式＝2﹣3＝﹣1．
（2）原式＝3﹣6﹣3+4
＝4﹣6．
20．（1）化简：（1+）（﹣1）；
（2）解方程：+＝．
解：（1）（1+）（﹣1）
＝×
＝×[﹣]
＝﹣；
（2）+＝，
2（3x﹣1）+3x＝1，
6x﹣2+3x＝1，
解得x＝，
经检验，x＝是增根，原分式方程无解．
21．随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）直接写出本次调查的学生总人数 90 ；
（2）补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（4）该校共有学生3000人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？
解：（1）本次调查的学生总人数：18÷20%＝90，
答案：90；
（2）在线听课的学生有：90﹣24﹣18﹣12＝36（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是：360°×＝48°，
即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是48°；
（4）3000×＝800（人），
答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有800人．
22．如图1、图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．已知点A，B，C均在格点上，要求作一个多边形使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在网格的顶点上．
（1）在图1中作一个三角形是轴对称图形；
（2）在图2中作一个四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
解：（1）如图1所示；
（2）如图2所示．
23．两个小组同时开始登一座450m高的山，第一组的速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15min到达顶峰．两个小组的速度各是多少？如果山高为hm，第一组的攀登速度是第二组的a倍，并比第二组早tmin达到顶峰，则两组的攀登速度各是多少？
解：设第二组的速度为xm/min，则第一组的速度是1.2xm/min，由题意得
﹣＝15，
解得：x＝5，
经检验：x＝5是原分式方程的解，且符合题意，
则1.2x＝6．
答：第一组的攀登速度6m/min，第二组的攀登速度5m/min．
设第二组的速度为ym/min，则第一组的速度是aym/min，由题意得
﹣＝t，
解得：y＝，
经检验：y＝是原分式方程的解，且符合题意，
则ay＝．
答：第一组的攀登速度是m/min，第二组的攀登速度m/min．
24．已知，点P是直角△ABC斜边AB上一点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的关系是 AE∥BF，QE＝QF ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，若AC＝BC，CE：AE＝1：3，△EFQ的面积等于4，求△AQE的面积；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，请画出符合条件的图形．若AC＝BC，AE：CE＝1：3，四边形AEFQ的面积等于4，请直接写出△BQF的面积．
解：（1）当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE＝BF，
理由：如图1中，
∵Q为AB的中点，
∴AQ＝BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ＝∠BFQ＝90°，
在△AEQ和△BFQ中，
，
∴△AEQ≌△BFQ（AAS），
∴QE＝QF，
答案：AE∥BF，QE＝QF．
（2）延长BF交EQ于T．
∵AE⊥CF，CF⊥BF，
∴∠AEC＝∠CFB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF，CE＝BF，
∵BF∥AE，
∴∠T＝∠AEQ，
在△AEQ和△BTQ中，
，
∴△AEQ≌△BTQ（AAS），
∴TQ＝QE，AE＝BT，
∵FT＝BT﹣BF＝CF﹣EC＝EF，
∴△ETF是等腰直角三角形，
∵TQ＝EQ，
∴FQ⊥QE，
∴FQ＝QE，
∵△EFQ的面积为4，
∴QF＝QE＝2，
∴EF＝QF＝4，
∵AE：EC＝3：1，
∴EF＝2EC，
∴EC＝2，CF＝AE＝6，
过点Q作QH⊥AE于H．
∵∠FEQ＝∠AEQ＝45°，
∴QH＝QE＝2，
∴S△AQE＝•AE•QH＝×6×2＝6．
（3）如图3中，延长EQ交FB的延长线于T，连接CQ，过点Q作QH⊥EF于H，设AE＝a，EC＝3a，
同法可证，△AQE≌△BQT，△AEC≌△CFB，
∴AE＝BT＝CF，QE＝TQ，CE＝BF，
∴EF＝FT，
∴△EFT是等腰直角三角形，
∵QE＝QT，
∴QF⊥ET，
∴QF＝QE＝TQ＝2a，
∵QH⊥EF，
∴EH＝FH＝2a，
∵∠AQC＝∠EQF＝90°，
∴∠AQE＝∠CQF，
在△AQE和△CQF中，
，
∴△AQE≌△CQF（SAS），
∴S四边形AEFQ＝S△QEF+S△CQF＝4，
∴×4a×2a+×a×2a＝4，
∴a2＝，
∴S△BQF＝S△QTF﹣S△QBT＝×4a×2a﹣×a×2a＝3a2＝．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+5的图象与函数y＝（x＜0）的图象相交于点A，并与x轴交于点C，S△AOC＝15．点D是线段AC上一点，CD：AC＝2：3．
（1）求k的值；
（2）直接写出不等式＞﹣x+5（x＜0）的解集；
（3）若将△ODC绕点O逆时针旋转，得到△OD′C′，其中D′落在x轴负半轴上，判断点C′是否落在函数y＝（x＜0）的图象上，并说明理由．
解：（1）y＝﹣x+5，
当y＝0时，x＝5，
即OC＝5，C点的坐标是（5，0），
过A作AN⊥x轴于N，如图1．
∵S△AOC＝15，
∴×5×AN＝15，
解得：AN＝6，
即A点的纵坐标是6，
把y＝6代入y＝﹣x+5得：x＝﹣1，
即A点的坐标是（﹣1，6），
把A点的坐标代入y＝得：k＝﹣6；
（2）不等式＞﹣x+5（x＜0）的解集是﹣1＜x＜0；
（3）点C'不在函数y＝﹣的图象上．
如图2，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，
∴DM∥AN，
∴＝＝，
又∵点A的坐标为（﹣1，6），
∴AN＝6，
∴DM＝4，即点D的纵坐标为4，
把y＝4代入y＝﹣x+5中，解得x＝1，
∴D（1，4）；
由题意可知，OD'＝OD＝＝＝，
如图3，过点C'作C'G⊥x轴，垂足为G，
∵S△ODC＝S△OD'C′，
∴OC•DM＝OD'•C'G，
即5×4＝C'G，
∴C'G＝，
在Rt△OC'G中，
∵OG＝＝＝，
∴C'的坐标为（﹣，），
∵（﹣）×≠﹣6，
∴点C'不在函数y＝﹣的图象上．
26．平面直角坐标系中，点A（x，y），且x2﹣8x+16+＝0，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形（点A、B、C逆时针排列）．
（1）直接写出点A的坐标是 （4，4） ；
（2）如图1，已知点B（0，n）且0＜n＜4，连接OC．求四边形ABOC的面积；
（3）如图2，已知点B（m，n）且0＜m＜4，0＜n＜4，过点A作AD⊥y轴于D，连接OB，M为OB的中点，连接DM，CM．求证DM⊥CM．
解：（1）∵x2﹣8x+16+＝0．
∴（x﹣4）2+＝0，
又∵（x﹣4）2≥0，y﹣4≥0，
∴x＝4，y＝4，
∴A（4，4）；
答案：（4，4）；
（2）过点A作AD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，CF⊥AD于点F，
∴∠CEB＝∠CFA＝90°，∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠BCF＝∠ACF，
在△CBE和△CAF中，
，
∴△CBE≌△CAF（AAS），
∴CE＝CF，BE＝AF，
设CE＝CF＝a，则BD＝a﹣（4﹣a）＝2a﹣4，
∴S四边形ABCO＝S四边形DOCF+S△ACF﹣S△ADB
＝×4×（2a﹣4）
＝﹣4a+8
＝8；
（3）证明：延长CM至点N，使NM＝CM，连接DC，DN，
∵M为OB的中点，
∴OM＝BM，
在△OMN和△BMC中，
，
∴△OMN≌△BMC（SAS），
∴ON＝BC＝AC，∠ONM＝∠BCM，
∴ON∥BC，
延长NO和AC的延长线交于点Q，
∵BC⊥AC，
∴NO⊥AC，
∴∠AQN＝90°＝∠ADO，
∴∠DAC+∠DOQ＝180°，
又∵∠DON+∠DOQ＝180°，
∴∠DON＝∠DAC，
在△DON和△DAC中，
，
∴△DON≌△DAC（SAS），
∴DN＝DC，
又∵NM＝CM，
∴DM⊥CM．
2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷01（江苏徐州卷）
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列垃圾分类的图标是中心对称图形的是（ ）
A． 厨余垃圾（绿色） B． 其他垃圾（黑色）
C． 可回收物（蓝色） D． 有害垃圾（红色）
2．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣3 B．2 C．3 D．0
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．若反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣2），则下列各点在该函数图象上的为（ ）
A．（2，3） B．（6，1） C．（﹣1，6） D．（﹣2，﹣3）
5．一个不透明的盒子中装有9个白球和1个黑球，它们除了颜色外都相同．从中任意摸出一球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到白球是必然事件 B．摸到黑球是必然事件
C．摸到白球是随机事件 D．摸到黑球是不可能事件
6．菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
7．如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
8．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF＝51°，则∠B的度数是（ ）°．
A．62 B．72 C．78 D．68
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．分式与的最简公分母是 ．
10．要使有意义，则x的取值范围是 ．
11．某市为了解学生的心理健康情况，在20000名学生中随机抽查了500名学生进行问卷调查，则这次调查的样本容量是 ．
12．如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BA，则∠DCE的度数为 ．
13．如图，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交BC于点E，连接AE，已知CD＝4，∠B＝60°，则△ABE的面积为 ．
14．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则a＝ ．
15．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数
100
300
500
1000
1600
2000
“有2个人同月过生日”的次数
80
229
392
779
1251
1562
“有2个人同月过生日”的频率
0.8
0.763
0.784
0.779
0.782
0.781
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是 （精确到0.01）．
16．意大利数学家斐波那契研究了一列非常奇妙的数，被称为斐波那契数列．斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．斐波那契数列中的第2个数可化简为 ．
17．如图，D是矩形AOBC的对称中心，A（0，4），B（6，0），若一个反比例函数的图象经过点D，交AC于点M，则点M的坐标为 ．
18．如图，将正方形ABCD沿MN对折，点M、N分别是AD、BC的中点，再将点C折至点H的位置，点H在MN上，折痕是BQ，则＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共64分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算．
（1）（+）（）；
（2）（）×+2．
20．（8分）（1）化简：（1+）（﹣1）；
（2）解方程：+＝．
21．（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）直接写出本次调查的学生总人数 ；
（2）补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（4）该校共有学生3000人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？
22．（6分）如图1、图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．已知点A，B，C均在格点上，要求作一个多边形使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在网格的顶点上．
（1）在图1中作一个三角形是轴对称图形；
（2）在图2中作一个四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
23．（6分）两个小组同时开始登一座450m高的山，第一组的速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15min到达顶峰．两个小组的速度各是多少？如果山高为hm，第一组的攀登速度是第二组的a倍，并比第二组早tmin达到顶峰，则两组的攀登速度各是多少？
24．（10分）已知，点P是直角△ABC斜边AB上一点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的关系是 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，若AC＝BC，CE：AE＝1：3，△EFQ的面积等于4，求△AQE的面积；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，请画出符合条件的图形．若AC＝BC，AE：CE＝1：3，四边形AEFQ的面积等于4，请直接写出△BQF的面积．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+5的图象与函数y＝（x＜0）的图象相交于点A，并与x轴交于点C，S△AOC＝15．点D是线段AC上一点，CD：AC＝2：3．
（1）求k的值；
（2）直接写出不等式＞﹣x+5（x＜0）的解集；
（3）若将△ODC绕点O逆时针旋转，得到△OD′C′，其中D′落在x轴负半轴上，判断点C′是否落在函数y＝（x＜0）的图象上，并说明理由．
26．（10分）平面直角坐标系中，点A（x，y），且x2﹣8x+16+＝0，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形（点A、B、C逆时针排列）．
（1）直接写出点A的坐标是 ；
（2）如图1，已知点B（0，n）且0＜n＜4，连接OC．求四边形ABOC的面积；
（3）如图2，已知点B（m，n）且0＜m＜4，0＜n＜4，过点A作AD⊥y轴于D，连接OB，M为OB的中点，连接DM，CM．求证DM⊥CM．
2020-2021学年八年级数学下学期期末模拟测试卷01（江苏徐州卷）
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列垃圾分类的图标是中心对称图形的是（ ）
A． 厨余垃圾（绿色） B． 其他垃圾（黑色）
C． 可回收物（蓝色） D． 有害垃圾（红色）
解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
答案：D．
2．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣3 B．2 C．3 D．0
解：∵分式的值为0，
∴x+3＝0，x﹣2≠0，
解得，x＝﹣3，
答案：A．
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、＝，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、＝2，不是最简二次根式，不符合题意；
D、＝2，不是最简二次根式，不符合题意；
答案：B．
4．若反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣2），则下列各点在该函数图象上的为（ ）
A．（2，3） B．（6，1） C．（﹣1，6） D．（﹣2，﹣3）
解：∵反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣2），
∴xy＝3﹣k＝﹣6，
A、（2，3），此时xy＝2×3＝6≠﹣6，不合题意；
B、（6，1），此时xy＝6×1＝6≠﹣6，不合题意；
C、（﹣1，6），此时xy＝﹣1×6＝﹣6，合题意；
D、（﹣2，﹣3），此时xy＝﹣2×（﹣3）＝6≠﹣6，不符合题意；
答案：C．
5．一个不透明的盒子中装有9个白球和1个黑球，它们除了颜色外都相同．从中任意摸出一球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到白球是必然事件 B．摸到黑球是必然事件
C．摸到白球是随机事件 D．摸到黑球是不可能事件
解：∵摸到白球是随机事件，不是必然事件，
∴选项A不符合题意，选项C符合题意；
∵摸到黑球是随机事件，
∴选项B、D不符合题意；
答案：C．
6．菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
解：由菱形的性质得，菱形相邻的两边相等，则与这条对角线组成等边三角形，则它的锐角等于60°，故选C．
7．如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
解：根据题意可知：S△AOB＝|k|＝3，
又反比例函数的图象位于第二象限，k＜0，
则k＝﹣6．
答案：A．
8．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF＝51°，则∠B的度数是（ ）°．
A．62 B．72 C．78 D．68
解：过F作FG∥AB∥CD，交BC于G；
则四边形ABGF是平行四边形，所以AF＝BG，即G是BC的中点；
∵BC＝2AB，为AD的中点，
∴BG＝AB＝FG＝AF，
连接EG，
在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，
∴BG＝GE＝FG＝BC；
∵AE∥FG，
∴∠EFG＝∠AEF＝∠FEG＝51°，
∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝102°，
∴∠B＝∠BEG＝180°﹣102°＝78°．
答案：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．分式与的最简公分母是 2a2b2c ．
解：题中两分式的最简公分母即求两分式分母的最小公倍数，即为2a2b2c．答案：2a2b2c．
10．要使有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
解：∵有意义，
∴x﹣2≥0，
∴x≥2．
答案：x≥2．
11．某市为了解学生的心理健康情况，在20000名学生中随机抽查了500名学生进行问卷调查，则这次调查的样本容量是 500 ．
解：某市为了解学生的心理健康情况，在20000名学生中随机抽查了500名学生进行问卷调查，则这次调查的样本容量是500．
答案：500．
12．如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BA，则∠DCE的度数为 22.5° ．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠DBC＝∠BDC＝45°，
∵BE＝BA＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝67.5°，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
答案：22.5°．
13．如图，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交BC于点E，连接AE，已知CD＝4，∠B＝60°，则△ABE的面积为 4 ．
解：如图，由作法得EF垂直平分AB，即AF＝BF＝AB，EF⊥AB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝4，BF＝2．
在直角△BEF中，∵∠BFE＝90°，∠B＝60°，
∴EF＝BF•tan∠B＝2，
∴△ABE的面积＝AB•EF＝×4×2＝4．
答案：4．
14．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则a＝ ﹣7 ．
解：∵是最简二次根式，且它与是同类二次根式，而＝4，
∴a+9＝2，
∴a＝﹣7，
答案：﹣7．
15．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数
100
300
500
1000
1600
2000
“有2个人同月过生日”的次数
80
229
392
779
1251
1562
“有2个人同月过生日”的频率
0.8
0.763
0.784
0.779
0.782
0.781
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是 0.78 （精确到0.01）．
解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78．
答案：0.78．
16．意大利数学家斐波那契研究了一列非常奇妙的数，被称为斐波那契数列．斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．斐波那契数列中的第2个数可化简为 1 ．
解：斐波那契数列中的第2个数可化简为
＝
＝
＝1．
答案：1．
17．如图，D是矩形AOBC的对称中心，A（0，4），B（6，0），若一个反比例函数的图象经过点D，交AC于点M，则点M的坐标为 （，4） ．
解：∵A（0，4），B（6，0），
∴C（6，4），
∵D是矩形AOBC的对称中心，
∴D（3，2），
设反比例函数的解析式为y＝，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把y＝4代入得4＝，解得x＝，
故M的坐标为（，4）．
答案：（，4）．
18．如图，将正方形ABCD沿MN对折，点M、N分别是AD、BC的中点，再将点C折至点H的位置，点H在MN上，折痕是BQ，则＝ ．
解：∵点M、N分别是AD、BC的中点，
∴MN∥CD，点R是BQ的中点，
∴RN是△BCQ的中位线，RQ＝BQ，
∴RN＝CQ．
根据折叠的性质知：BH＝BC，∠HBQ＝∠CBQ，
∴BN＝BC＝BH，
∵∠BNH＝90°，
∴∠BHN＝30°，
∴∠HBN＝90°﹣30°＝60°，
根据翻折不变性，∠QBC＝30°，
∴sin30°＝＝＝＝．
答案：．
三、解答题（本大题共8小题，共64分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算．
（1）（+）（）；
（2）（）×+2．
解：（1）原式＝2﹣3＝﹣1．
（2）原式＝3﹣6﹣3+4
＝4﹣6．
20．（1）化简：（1+）（﹣1）；
（2）解方程：+＝．
解：（1）（1+）（﹣1）
＝×
＝×[﹣]
＝﹣；
（2）+＝，
2（3x﹣1）+3x＝1，
6x﹣2+3x＝1，
解得x＝，
经检验，x＝是增根，原分式方程无解．
21．随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）直接写出本次调查的学生总人数 90 ；
（2）补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（4）该校共有学生3000人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？
解：（1）本次调查的学生总人数：18÷20%＝90，
答案：90；
（2）在线听课的学生有：90﹣24﹣18﹣12＝36（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是：360°×＝48°，
即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是48°；
（4）3000×＝800（人），
答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有800人．
22．如图1、图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．已知点A，B，C均在格点上，要求作一个多边形使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在网格的顶点上．
（1）在图1中作一个三角形是轴对称图形；
（2）在图2中作一个四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
解：（1）如图1所示；
（2）如图2所示．
23．两个小组同时开始登一座450m高的山，第一组的速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15min到达顶峰．两个小组的速度各是多少？如果山高为hm，第一组的攀登速度是第二组的a倍，并比第二组早tmin达到顶峰，则两组的攀登速度各是多少？
解：设第二组的速度为xm/min，则第一组的速度是1.2xm/min，由题意得
﹣＝15，
解得：x＝5，
经检验：x＝5是原分式方程的解，且符合题意，
则1.2x＝6．
答：第一组的攀登速度6m/min，第二组的攀登速度5m/min．
设第二组的速度为ym/min，则第一组的速度是aym/min，由题意得
﹣＝t，
解得：y＝，
经检验：y＝是原分式方程的解，且符合题意，
则ay＝．
答：第一组的攀登速度是m/min，第二组的攀登速度m/min．
24．已知，点P是直角△ABC斜边AB上一点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的关系是 AE∥BF，QE＝QF ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，若AC＝BC，CE：AE＝1：3，△EFQ的面积等于4，求△AQE的面积；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，请画出符合条件的图形．若AC＝BC，AE：CE＝1：3，四边形AEFQ的面积等于4，请直接写出△BQF的面积．
解：（1）当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE＝BF，
理由：如图1中，
∵Q为AB的中点，
∴AQ＝BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ＝∠BFQ＝90°，
在△AEQ和△BFQ中，
，
∴△AEQ≌△BFQ（AAS），
∴QE＝QF，
答案：AE∥BF，QE＝QF．
（2）延长BF交EQ于T．
∵AE⊥CF，CF⊥BF，
∴∠AEC＝∠CFB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF，CE＝BF，
∵BF∥AE，
∴∠T＝∠AEQ，
在△AEQ和△BTQ中，
，
∴△AEQ≌△BTQ（AAS），
∴TQ＝QE，AE＝BT，
∵FT＝BT﹣BF＝CF﹣EC＝EF，
∴△ETF是等腰直角三角形，
∵TQ＝EQ，
∴FQ⊥QE，
∴FQ＝QE，
∵△EFQ的面积为4，
∴QF＝QE＝2，
∴EF＝QF＝4，
∵AE：EC＝3：1，
∴EF＝2EC，
∴EC＝2，CF＝AE＝6，
过点Q作QH⊥AE于H．
∵∠FEQ＝∠AEQ＝45°，
∴QH＝QE＝2，
∴S△AQE＝•AE•QH＝×6×2＝6．
（3）如图3中，延长EQ交FB的延长线于T，连接CQ，过点Q作QH⊥EF于H，设AE＝a，EC＝3a，
同法可证，△AQE≌△BQT，△AEC≌△CFB，
∴AE＝BT＝CF，QE＝TQ，CE＝BF，
∴EF＝FT，
∴△EFT是等腰直角三角形，
∵QE＝QT，
∴QF⊥ET，
∴QF＝QE＝TQ＝2a，
∵QH⊥EF，
∴EH＝FH＝2a，
∵∠AQC＝∠EQF＝90°，
∴∠AQE＝∠CQF，
在△AQE和△CQF中，
，
∴△AQE≌△CQF（SAS），
∴S四边形AEFQ＝S△QEF+S△CQF＝4，
∴×4a×2a+×a×2a＝4，
∴a2＝，
∴S△BQF＝S△QTF﹣S△QBT＝×4a×2a﹣×a×2a＝3a2＝．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+5的图象与函数y＝（x＜0）的图象相交于点A，并与x轴交于点C，S△AOC＝15．点D是线段AC上一点，CD：AC＝2：3．
（1）求k的值；
（2）直接写出不等式＞﹣x+5（x＜0）的解集；
（3）若将△ODC绕点O逆时针旋转，得到△OD′C′，其中D′落在x轴负半轴上，判断点C′是否落在函数y＝（x＜0）的图象上，并说明理由．
解：（1）y＝﹣x+5，
当y＝0时，x＝5，
即OC＝5，C点的坐标是（5，0），
过A作AN⊥x轴于N，如图1．
∵S△AOC＝15，
∴×5×AN＝15，
解得：AN＝6，
即A点的纵坐标是6，
把y＝6代入y＝﹣x+5得：x＝﹣1，
即A点的坐标是（﹣1，6），
把A点的坐标代入y＝得：k＝﹣6；
（2）不等式＞﹣x+5（x＜0）的解集是﹣1＜x＜0；
（3）点C'不在函数y＝﹣的图象上．
如图2，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，
∴DM∥AN，
∴＝＝，
又∵点A的坐标为（﹣1，6），
∴AN＝6，
∴DM＝4，即点D的纵坐标为4，
把y＝4代入y＝﹣x+5中，解得x＝1，
∴D（1，4）；
由题意可知，OD'＝OD＝＝＝，
如图3，过点C'作C'G⊥x轴，垂足为G，
∵S△ODC＝S△OD'C′，
∴OC•DM＝OD'•C'G，
即5×4＝C'G，
∴C'G＝，
在Rt△OC'G中，
∵OG＝＝＝，
∴C'的坐标为（﹣，），
∵（﹣）×≠﹣6，
∴点C'不在函数y＝﹣的图象上．
26．平面直角坐标系中，点A（x，y），且x2﹣8x+16+＝0，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形（点A、B、C逆时针排列）．
（1）直接写出点A的坐标是 （4，4） ；
（2）如图1，已知点B（0，n）且0＜n＜4，连接OC．求四边形ABOC的面积；
（3）如图2，已知点B（m，n）且0＜m＜4，0＜n＜4，过点A作AD⊥y轴于D，连接OB，M为OB的中点，连接DM，CM．求证DM⊥CM．
解：（1）∵x2﹣8x+16+＝0．
∴（x﹣4）2+＝0，
又∵（x﹣4）2≥0，y﹣4≥0，
∴x＝4，y＝4，
∴A（4，4）；
答案：（4，4）；
（2）过点A作AD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，CF⊥AD于点F，
∴∠CEB＝∠CFA＝90°，∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠BCF＝∠ACF，
在△CBE和△CAF中，
，
∴△CBE≌△CAF（AAS），
∴CE＝CF，BE＝AF，
设CE＝CF＝a，则BD＝a﹣（4﹣a）＝2a﹣4，
∴S四边形ABCO＝S四边形DOCF+S△ACF﹣S△ADB
＝×4×（2a﹣4）
＝﹣4a+8
＝8；
（3）证明：延长CM至点N，使NM＝CM，连接DC，DN，
∵M为OB的中点，
∴OM＝BM，
在△OMN和△BMC中，
，
∴△OMN≌△BMC（SAS），
∴ON＝BC＝AC，∠ONM＝∠BCM，
∴ON∥BC，
延长NO和AC的延长线交于点Q，
∵BC⊥AC，
∴NO⊥AC，
∴∠AQN＝90°＝∠ADO，
∴∠DAC+∠DOQ＝180°，
又∵∠DON+∠DOQ＝180°，
∴∠DON＝∠DAC，
在△DON和△DAC中，
，
∴△DON≌△DAC（SAS），
∴DN＝DC，
又∵NM＝CM，
∴DM⊥CM．
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