数学必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直优质第二课时学案

这是一份数学必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直优质第二课时学案，共11页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知平面α⊥平面β，则下列命题中真命题的个数是( )
①α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线；
②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；
③α内的任意一条直线必垂直于β；
④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α.
A.4 B.3
C.2 D.1
2.在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )
A.平行 B.EF⊂平面A1B1C1D1
C.相交但不垂直 D.相交且垂直
3.如图所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则( )
A.PD⊂平面ABCB.PD⊥平面ABC
C.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC
4.如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( )
A.一条线段B.一条直线
C.一个圆D.一个圆，但要去掉两个点
5.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为eq \f(π,4)和eq \f(π,6).过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′等于( )
A.2∶1 B.3∶1
C.3∶2 D.4∶3
6.(多选题)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出如下命题，其中正确的是( )
A.若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β
B.若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α
C.若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
D.若α⊥β，m∥α，则m⊥β
7.(多选题)如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系成立的有( )
A.SG⊥平面EFG B.SE⊥平面EFG
C.GF⊥SE D.EF⊥平面SEG
二、填空题
8.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈平面ABCD，F∈平面A1B1C1D1，且EF⊥平面ABCD，则EF与AA1的位置关系是________.
9.已知a，b为直线，α，β为平面.在下列四个命题中，正确的命题是________(填序号).
①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
④若α∥b，β∥b，则α∥β.
10.如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.
11.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________.
三、解答题
12.已知平面ABC⊥平面ACD，AB⊥平面BCD，BE⊥AC于点E.
(1)判断DC与BE的关系；
(2)求证：DC⊥BC.
13.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝eq \r(3)a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角.
求证：(1)AB⊥平面BCD；
(2)平面ACD⊥平面ABD.
14.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2.∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.
(1)求证：EF⊥平面BCG；
(2)求三棱锥D－BCG的体积.
参考答案及解析
1.答案：C
解析：①设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线，为真命题；②β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α，则它垂直于α内的任意直线，为真命题；③α内不与交线垂直的直线不垂直于β，为假命题；④垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直，为假命题.
2.答案：D
解析：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF⊂面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确.
3.答案：B
解析 ∵PA＝PB，AD＝DB，
∴PD⊥AB.
又∵平面ABC⊥平面PAB，
平面ABC∩平面PAB＝AB，PD⊂平面PAB，
∴PD⊥平面ABC.
4.答案：D
解析：∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，
∴AC⊥平面PBC.
又∵BC⊂平面PBC，
∴AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°.
∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.
5.答案：A
解析：由已知条件可知∠BAB′＝eq \f(π,4)，∠ABA′＝eq \f(π,6)，
设AB＝2a，则BB′＝2asin eq \f(π,4)＝eq \r(2)a，
A′B＝2acs eq \f(π,6)＝eq \r(3)a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，
∴AB∶A′B′＝2∶1.
6.答案：AC
解析：根据平面与平面垂直的性质知A正确；B中，m还可能在α内或m∥α或m与α斜交，不正确；C中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；D中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确.故选AC.
7.答案：AC
解析：由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，同理可证GF⊥平面GSE，所以平面EFG，SFG，SEG两两垂直，所以选项A，C正确；若SE⊥平面EFG，则SE⊥EG，这与SG⊥EG矛盾，同理可知EF⊥平面SEG不正确，所以B，D不正确.
8.答案：平行
解析：∵AA1⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，
∴AA1∥EF.
9.答案：①③
解析：由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；易知④假.
10.答案：eq \r(5)
解析：∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，PA⊂平面PAC，
∴PA⊥平面ABC，
又AB⊂平面ABC，
∴PA⊥AB，
∴PB＝eq \r(PA2＋AB2)＝eq \r(1＋4)＝eq \r(5).
11.答案：eq \r(6)
解析：取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝eq \r(2).
因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，MG⊂平面ABCD，
所以MG⊥平面DCEF，又NG⊂平面DCEF.
可得MG⊥NG，
所以MN＝eq \r(MG2＋NG2)＝eq \r(6).
12.(1)解：DC⊥BE，理由如下：
∵平面ABC⊥平面ACD，BE⊥AC于点E，平面ABC∩平面ACD＝AC，BE⊂平面ABC，
∴BE⊥平面ACD，又DC⊂平面ACD，∴BE⊥DC.
(2)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.
∵BE⊥CD，AB∩BE＝B，AB，BE⊂平面ABC，
∴CD⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，
∴CD⊥BC.
13.证明：(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝eq \r(3)a，
∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD.
又∵平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，
∴AB⊥平面BCD.
(2)∵折叠前四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BD，
∴CD⊥BD.∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.
∵AB∩BD＝B，AB，BD⊂平面ABD，
∴CD⊥平面ABD.
又∵CD⊂平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABD.
14.(1)证明：∵AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，
∴△ABC≌△DBC，
∴AC＝DC.
∵G为AD的中点，∴CG⊥AD.
同理BG⊥AD，
∵CG∩BG＝G，CG，BG⊂平面BGC，
∴AD⊥平面BGC.
又E，F分别是AC，CD的中点，
∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG.
(2)解：在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，
∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，平面ABC∩平面BCD＝BC，且AO⊂平面ABC，
∴AO⊥平面BCD.
∵G为AD的中点，
∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半.
在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝eq \r(3)，∴h＝eq \f(\r(3),2).
在△BCD中，BF＝BD·cs 60°＝2×eq \f(1,2)＝1，
DF＝BD·sin 60°＝eq \r(3)，∴DC＝2eq \r(3)，
故S△DCB＝eq \f(1,2)BF·DC＝eq \f(1,2)×1×2eq \r(3)＝eq \r(3).
∴VD－BCG＝VG－BCD＝eq \f(1,3)S△DCB·h＝eq \f(1,3)×eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,2).