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初中数学人教版九年级上册第二十三章 旋转综合与测试达标测试
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这是一份初中数学人教版九年级上册第二十三章 旋转综合与测试达标测试，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
旋转定义(三要素:旋转中心、旋转角和 )性质对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角旋转不改变图形的大小和 特殊的旋转中心对称定义(两个图形旋转 °后互相重合)性质对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分关于对称中心对称的两个图形是全等图形中心对称图形(一个图形旋转180°后与其自身重合)利用平移、轴对称、旋转进行图案设计
中考演练
一、选择题
1.[济南中考]古钱币是我国悠久的历史文化遗产,以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2.[黄石中考]在平面直角坐标系中,点G的坐标是(－2,1),连接OG,将线段OG绕原点O旋转180°,得到对应线段OG',则点G'的坐标为( )
A.(2,－1)B.(2,1)
C.(1,－2)D.(－2,－1)
3.[大连中考]如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,∠ABC＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC',使点C的对应点C'恰好落在边AB上,则∠CAA'的度数是( )
A.50°B.70°C.110°D.120°
第3题图 第4题图 第5题图
4.[海南中考]如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠ABC＝30°,AC＝1 cm,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C',使点C'落在AB边上,连接BB',则BB'的长度是( )
A.1 cmB.2 cm
C.3 cmD.23 cm
5.[孝感中考]如图,点E在正方形ABCD的边CD上,将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,连接EF,过点A作EF的垂线,垂足为H,与BC交于点G.若BG＝3,CG＝2,则CE的长为( )
A.54B.154
C.4D.92
二、填空题
6.[镇江中考]点O是正五边形ABCDE的中心,分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆,组成了一幅美丽的图案(如图).这个图案绕点O至少旋转 °后能与原来的图案互相重合.
第6题图 第7题图 第8题图
7.[烟台中考]如图,已知点A(2,0),B(0,4),C(2,4),D(6,6),连接AB,CD,将线段AB绕着某一点旋转一定角度,使其与线段CD重合(点A与点C重合,点B与点D重合),则这个旋转中心的坐标为 .
8.[益阳中考]在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中,△ABC的顶点都在格点上,将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C',使各顶点仍在格点上,则其旋转角的度数是 .
9.(巴中中考)如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP.若AP=6,BP=8,CP=10,则S△ABP+S△BPC= .
第9题图 第10题图 第11题图
10.(梧州中考)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转,对应得到菱形AEFG,点E在AC上,EF与CD交于点P,则DP的长是 .
11.[营口中考]如图,△ABC是等边三角形,D为BC边上一点,BD＝12DC＝2,以点D为顶点作正方形DEFG,且DE＝BC,连接AE,AG.若将正方形DEFG绕点D旋转一周,当AE取最小值时,AG的长为 .
12.(2020·眉山)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2.将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，则CC1的长为_______．
第12题图 第13题图
13.[滨州中考]如图,P是正方形ABCD内一点,且点P到点A,B,C的距离分别为23,2,4,则正方形ABCD的面积为 .
三、解答题
14.[武汉中考]在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系,四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(3,4),B(8,4),C(5,0).仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图,并回答问题:
(1)将线段CB绕点C逆时针旋转90°,画出对应线段CD;
(2)在线段AB上画点E,使∠BCE＝45°;(保留画图过程的痕迹)
(3)连接AC,画点E关于直线AC的对称点F,并简要说明画法.
15.(淮安中考)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点A,B都在格点上(两条网格线的交点叫格点).
(1)将线段AB向上平移两个单位长度,点A的对应点为点A1,点B的对应点为点B1,请画出平移后的线段A1B1;
(2)将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°,点B1的对应点为点B2,请画出旋转后的线段A1B2;
(3)连接AB2,BB2,求△ABB2的面积.
16.(日照中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC的中点为O,点G,H在对角线AC上,AG=CH,直线GH绕点O逆时针旋转α角,与边AB,CD分别相交于点E,F(点E不与点A,B重合).
(1)求证:四边形EHFG是平行四边形;
(2)若∠α=90°,AB=9,AD=3,求AE的长.
17.(福建中考)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC,点A,B的对应点分别是D,E.
(1)当点E恰好在AC上时,如图1,求∠ADE的大小;
(2)若α=60°时,F是边AC的中点,如图2,求证:四边形BEDF是平行四边形.
18.[临沂中考]将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),得到矩形AEFG.
(1)如图,当点E在BD上时.求证:FD＝CD.
(2)当α为何值时,GC＝GB?画出图形,并说明理由.
达标练习
一、选择题
1.[南通中考]以原点为中心,将点P(4,5)按逆时针方向旋转90°,得到的点Q所在的象限为( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
2.如图,在5×5的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,O都在格点上.若将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到△OA'B',点A,B的对应点分别为A',B',则点A,B'之间的距离为( )
A.5B.25
C.13D.10
3.下列四个图案中,是中心对称图形的是( )
4.(深圳中考)观察下列图形,其中既是轴对称又是中心对称图形的是( )
5.如图,在△ABC中,∠A=45°,将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△AB'C',连接CC'.若∠CC'B'=27.5°,则∠B的大小( )
A.27.5°B.30°C.40°D.62.5°
6.如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是( )
A.点A与点A′是对称点
B.BO＝B′O
C.AB∥A′B′
D.∠ACB＝∠C′A′B′
7.如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为(6，4)．若直线l经过点(1，0)，且将▱OABC分割成面积相等的两部分，则直线l对应的函数解析式是( )
A.y＝x＋1 B.y＝eq \f(1,3)x＋1
C.y＝3x－3 D.y＝x－1
二、填空题
8.已知A(2x＋1,3),B(－5,3y－3)关于原点对称,则x＋y＝ .
9.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(－2,0),B(1,2),C(1,－2).已知N(－1,0),作点N关于点A的对称点N1,点N1关于点B的对称点N2,点N2关于点C的对称点N3,点N3关于点A的对称点N4,点N4关于点B的对称点N5,…依此类推,则点N2021的坐标为 .
三、解答题
10.在一次数学社团活动上,小明设计了一个社团标识,如图所示,正方形ABCD与折线D-E-F-B构成了中心对称图形,且DE⊥EF,AD=50,DE比EF长25,求EF的长.
11.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,已知A(1,3),B(4,5),C(5,1).
(1)请在图中画出△A1B1C1,使它和△ABC关于原点O对称,点A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1;
(2)直接写出点A1,B1,C1的坐标.
12.[江西中考]如图,在正方形网格中,△ABC的顶点在格点上.请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)在图1中,作△ABC关于点O对称的△A1B1C1;
(2)在图2中,作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后,顶点仍在格点上的△AB2C2.
13.已知点M(4p,4q＋p)和点N(5－3q,2p－2)关于x轴对称,求p和q的值.若点M,N关于y轴对称
14.如图，分别以正方形ABCD的边AD和DC为直径画两个半圆交于点O.若正方形的边长为10 cm，求阴影部分的面积．
15.如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC.
(1)试猜想AE与BF有何关系，并说明理由．
(2)若△ABC的面积为3 cm2，求四边形ABFE的面积．
(3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．
16.(2019·绍兴)如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10.
(1)在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．
(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．
17.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F.
(1)作出△ABE关于点E成中心对称的图形；
(2)探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．
18.在平面直角坐标系中,对于平面内任意一点(m,n),规定以下三种变换:
①f(m,n)＝(m,－n);②g(m,n)＝(－m,n);③h(m,n)＝(－m,－n).
(1)请你根据以上规定的变换,求f[g(－3,2)]的值;
(2)请你以点(a,b)为例,探索以上三种变换之间的关系.
19.如图,将边长为4的正方形置于平面直角坐标系的第一象限,使AB边落在x轴正半轴上,且点A的坐标是(1,0).
(1)直线y=43x－83经过点C,且与x轴交于点E,求四边形AECD的面积;
(2)若直线l经过点E,且将正方形ABCD分成面积相等的两部分,求直线l的函数解析式.
20.阅读理解,并解答问题:
如图所示的8×8网格都是由边长为1的小正方形组成,图1中的图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.赵爽通过对这种图形切割、拼接,巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理,它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智,是我国数学史上的骄傲.
请用你所学的知识对“赵爽弦图”中的四个直角三角形进行图形变换,在图2、图3的方格纸中设计另外两个不同的图案,每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上,且四个三角形互不重叠.画图要求:
(1)图2中所设计的图案(不含方格纸)必须是轴对称图形但不是中心对称图形;
(2)图3中所设计的图案(不含方格纸)必须既是轴对称图形,又是中心对称图形.
参考答案
知识网络
旋转定义(三要素:旋转中心、旋转角和 旋转方向 )性质对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角旋转不改变图形的大小和 形状 特殊的旋转中心对称定义(两个图形旋转 180 °后互相重合)性质对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分关于对称中心对称的两个图形是全等图形中心对称图形(一个图形旋转180°后与其自身重合)利用平移、轴对称、旋转进行图案设计
中考演练
一、选择题
1.[济南中考]古钱币是我国悠久的历史文化遗产,以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(D)
2.[黄石中考]在平面直角坐标系中,点G的坐标是(－2,1),连接OG,将线段OG绕原点O旋转180°,得到对应线段OG',则点G'的坐标为(A)
A.(2,－1)B.(2,1)
C.(1,－2)D.(－2,－1)
3.[大连中考]如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,∠ABC＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC',使点C的对应点C'恰好落在边AB上,则∠CAA'的度数是(D)
A.50°B.70°C.110°D.120°
第3题图 第4题图 第5题图
4.[海南中考]如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠ABC＝30°,AC＝1 cm,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C',使点C'落在AB边上,连接BB',则BB'的长度是(B)
A.1 cmB.2 cm
C.3 cmD.23 cm
5.[孝感中考]如图,点E在正方形ABCD的边CD上,将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,连接EF,过点A作EF的垂线,垂足为H,与BC交于点G.若BG＝3,CG＝2,则CE的长为(B)
A.54B.154
C.4D.92
二、填空题
6.[镇江中考]点O是正五边形ABCDE的中心,分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆,组成了一幅美丽的图案(如图).这个图案绕点O至少旋转 72 °后能与原来的图案互相重合.
第6题图 第7题图 第8题图
7.[烟台中考]如图,已知点A(2,0),B(0,4),C(2,4),D(6,6),连接AB,CD,将线段AB绕着某一点旋转一定角度,使其与线段CD重合(点A与点C重合,点B与点D重合),则这个旋转中心的坐标为 (4,2) .
8.[益阳中考]在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中,△ABC的顶点都在格点上,将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C',使各顶点仍在格点上,则其旋转角的度数是 90° .
9.(巴中中考)如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP.若AP=6,BP=8,CP=10,则S△ABP+S△BPC= 24+163 .
第9题图 第10题图 第11题图
10.(梧州中考)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转,对应得到菱形AEFG,点E在AC上,EF与CD交于点P,则DP的长是 3-1 .
11.[营口中考]如图,△ABC是等边三角形,D为BC边上一点,BD＝12DC＝2,以点D为顶点作正方形DEFG,且DE＝BC,连接AE,AG.若将正方形DEFG绕点D旋转一周,当AE取最小值时,AG的长为 8 .
12.(2020·眉山)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2.将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，则CC1的长为__2eq \r(3)______．
第12题图 第13题图
13.[滨州中考]如图,P是正方形ABCD内一点,且点P到点A,B,C的距离分别为23,2,4,则正方形ABCD的面积为 14＋43 .
提示:如图,将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM,连接PM,过点B作BH⊥PM于点H.由旋转可得BM＝PB＝2,CM＝PA＝23,∠PBM＝90°,∴PM＝2PB＝2.∵PC＝4,∴PC2＝CM2＋PM2,即∠PMC＝90°,∴∠CMB＝∠APB＝135°,∴∠APB＋∠BPM＝180°,∴点A,P,M共线.∵BH⊥PM,∴PH＝HM,∴BH＝PH＝HM＝1,∴AH＝1＋23,∴AB2＝AH2＋BH2＝(23＋1)2＋12＝14＋43,∴正方形ABCD的面积为14＋43.
三、解答题
14.[武汉中考]在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系,四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(3,4),B(8,4),C(5,0).仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图,并回答问题:
(1)将线段CB绕点C逆时针旋转90°,画出对应线段CD;
(2)在线段AB上画点E,使∠BCE＝45°;(保留画图过程的痕迹)
(3)连接AC,画点E关于直线AC的对称点F,并简要说明画法.
解:(1)如图所示,线段CD即为所求.
(2)如图所示,∠BCE即为所求.(画法不唯一,找到BD中点即可)
(3)连接点(5,0)和点(0,5),与OA交于点F,点F即为所求,如图所示.(画法不唯一)
15.(淮安中考)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点A,B都在格点上(两条网格线的交点叫格点).
(1)将线段AB向上平移两个单位长度,点A的对应点为点A1,点B的对应点为点B1,请画出平移后的线段A1B1;
(2)将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°,点B1的对应点为点B2,请画出旋转后的线段A1B2;
(3)连接AB2,BB2,求△ABB2的面积.
解:(1)图略.
(2)图略.
(3)S△ABB2=4×4-12×2×2-12×2×4-12×2×4=6.
16.(日照中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC的中点为O,点G,H在对角线AC上,AG=CH,直线GH绕点O逆时针旋转α角,与边AB,CD分别相交于点E,F(点E不与点A,B重合).
(1)求证:四边形EHFG是平行四边形;
(2)若∠α=90°,AB=9,AD=3,求AE的长.
解:(1)∵对角线AC的中点为O,∴AO=CO,
又∵AG=CH,∴GO=HO.
∵四边形ABCD是矩形,∴CD∥AB,∴∠DCA=∠CAB.
又∵CO=AO,∠FOC=∠EOA,∴△COF≌△AOE(ASA),
∴FO=EO,且GO=HO,∴四边形EHFG是平行四边形.
(2)连接CE.∵∠α=90°,∴EF⊥AC.
又∵AO=CO,∴EF是AC的垂直平分线,∴AE=CE.
在Rt△BCE中,CE2=BC2+BE2,∴AE2=(9-AE)2+9,
∴AE=5.
17.(福建中考)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC,点A,B的对应点分别是D,E.
(1)当点E恰好在AC上时,如图1,求∠ADE的大小;
(2)若α=60°时,F是边AC的中点,如图2,求证:四边形BEDF是平行四边形.
解:(1)由旋转得∠CDE=∠CAB=60°,CA=CD,
∴∠CAD=∠CDA=12(180°-30°)=75°,∴∠ADE=75°-60°=15°.
(2)连接AD.∵∠ABC=90°,F是边AC的中点,∴BF=12AC.
∵∠ACB=30°,∴AB=12AC,∴BF=AB.
由旋转得∠BCE=∠ACD=60°,CB=CE,DE=AB,
∴DE=BF,△ACD和△BCE为等边三角形,∴BE=BC.
∵F是边AC的中点,∴DF⊥AC,易证得△CFD≌△ABC,
∴DF=BC,∴DF=BE,而BF=DE,∴四边形BEDF是平行四边形.
18.[临沂中考]将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),得到矩形AEFG.
(1)如图,当点E在BD上时.求证:FD＝CD.
(2)当α为何值时,GC＝GB?画出图形,并说明理由.
解:(1)由旋转的性质可知AE＝AB,∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°,EF＝BC＝AD,
∴∠AEB＝∠ABE.
又∵∠ABE＋∠EDA＝∠AEB＋∠DEF＝90°,
∴∠EDA＝∠DEF.
又∵DE＝ED,∴△AED≌△FDE(SAS),
∴DF＝AE.
又∵AE＝AB＝CD,∴CD＝DF.
(2)当α为60°或300°时,GC＝GB.
理由:如图,当GC＝GB时,点G在BC的垂直平分线上.
分两种情况讨论:①当点G在AD右侧时,取BC的中点H,连接GH交AD于点M,连接DG,如图1.
∵GC＝GB,∴GH⊥BC,
∴四边形ABHM是矩形,
∴AM＝BH＝12AD＝12AG,
∴GM垂直平分AD,
∴DG＝AG＝AD,∴△ADG是等边三角形,
∴∠DAG＝60°,即旋转角α为60°.
②当点G在AD左侧时,如图2,同理可得△ADG是等边三角形,
∴∠DAG＝60°,∴旋转角α＝360°－60°＝300°.
达标练习
一、选择题
1.[南通中考]以原点为中心,将点P(4,5)按逆时针方向旋转90°,得到的点Q所在的象限为(B)
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
2.如图,在5×5的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,O都在格点上.若将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到△OA'B',点A,B的对应点分别为A',B',则点A,B'之间的距离为(C)
A.5B.25
C.13D.10
3.下列四个图案中,是中心对称图形的是(D)
4.(深圳中考)观察下列图形,其中既是轴对称又是中心对称图形的是( D )
5.如图,在△ABC中,∠A=45°,将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△AB'C',连接CC'.若∠CC'B'=27.5°,则∠B的大小( C )
A.27.5°B.30°C.40°D.62.5°
6.如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是( D )
A.点A与点A′是对称点
B.BO＝B′O
C.AB∥A′B′
D.∠ACB＝∠C′A′B′
7.如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为(6，4)．若直线l经过点(1，0)，且将▱OABC分割成面积相等的两部分，则直线l对应的函数解析式是( D )
A.y＝x＋1 B.y＝eq \f(1,3)x＋1
C.y＝3x－3 D.y＝x－1
二、填空题
8.已知A(2x＋1,3),B(－5,3y－3)关于原点对称,则x＋y＝ 2 .
9.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(－2,0),B(1,2),C(1,－2).已知N(－1,0),作点N关于点A的对称点N1,点N1关于点B的对称点N2,点N2关于点C的对称点N3,点N3关于点A的对称点N4,点N4关于点B的对称点N5,…依此类推,则点N2021的坐标为 (3,－4) .
提示:如图,由题意得点N的坐标为(－1,0),则点N1的坐标为(－3,0),点N2的坐标为(5,4),点N3的坐标为(－3,－8),点N4的坐标为(－1,8),点N5的坐标为(3,－4),点N6的坐标为(－1,0),此时刚好回到最开始的点N处,∴其每6个点循环一次,∴2021÷6＝336……5,故点N2021的坐标与点N5的坐标相同,其坐标为(3,－4).
三、解答题
10.在一次数学社团活动上,小明设计了一个社团标识,如图所示,正方形ABCD与折线D-E-F-B构成了中心对称图形,且DE⊥EF,AD=50,DE比EF长25,求EF的长.
解:连接BD交EF于点O.
∵正方形ABCD与折线D-E-F-B构成了中心对称图形,
∴OE=12EF,OD=12BD.
∵AD=50,∴BD=502+502=502,OD=252.
设EF=2x,∴OE=x,DE=2x+25,
在Rt△DOE中,x2+(2x+25)2=(252)2,
解得x=5或x=-25(舍去),∴EF=5×2=10.
11.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,已知A(1,3),B(4,5),C(5,1).
(1)请在图中画出△A1B1C1,使它和△ABC关于原点O对称,点A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1;
(2)直接写出点A1,B1,C1的坐标.
解:(1)图略.
(2)A1(-1,-3),B1(-4,-5),C1(-5,-1).
12.[江西中考]如图,在正方形网格中,△ABC的顶点在格点上.请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)在图1中,作△ABC关于点O对称的△A1B1C1;
(2)在图2中,作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后,顶点仍在格点上的△AB2C2.
解:(1)如图1所示,△A1B1C1即为所求.
(2)如图2所示,△AB2C2即为所求.
13.已知点M(4p,4q＋p)和点N(5－3q,2p－2)关于x轴对称,求p和q的值.若点M,N关于y轴对称呢?关于原点对称呢?
解:若关于x轴对称,则4p＝5−3q,4q＋p＝2−2p,
解得p＝2,q＝−1;
若关于y轴对称,则4p＝3q−5,4q＋p＝2p−2,
解得p＝−2,q＝−1;
若关于原点对称,则4p＝3q−5,4q＋p＝2−2p,
解得p＝−1425,q＝2325.
14.如图，分别以正方形ABCD的边AD和DC为直径画两个半圆交于点O.若正方形的边长为10 cm，求阴影部分的面积．
解：如图，连接BD，AC，把原阴影部分(Ⅰ)绕点O逆时针旋转90°至①处，把原阴影部分(Ⅱ)绕点O顺时针旋转90°至②处，使原阴影部分变为如图的阴影部分，故阴影部分的面积为eq \f(1,2)×10×10＝50(cm2)．
15.如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC.
(1)试猜想AE与BF有何关系，并说明理由．
解：AE与BF平行且相等．
理由：∵△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC，
∴△ABC与△FEC关于C点成中心对称．
∴AC＝CF，BC＝CE.
∴四边形ABFE是平行四边形．∴AE＝BF，AE∥BF.
(2)若△ABC的面积为3 cm2，求四边形ABFE的面积．
解：∵AC＝CF，
∴S△BCF＝S△ABC＝3 cm2.
又∵BC＝CE，
∴S△ABC＝S△ACE＝3 cm2.
又易知S△ECF＝S△ABC＝3 cm2.
∴S四边形ABFE＝4×3＝12(cm2)．
(3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．
解：当∠ACB＝60°时，四边形ABFE为矩形．理由如下：
∵AB＝AC，∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形．
∴AC＝BC.
由(1)知AC＝CF，BC＝CE，∴AF＝BE.
又∵四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE为矩形．
16.(2019·绍兴)如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10.
(1)在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
解：AM＝AD＋DM＝40或AM＝AD－DM＝20.
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．
解：显然∠MAD不能为直角．
当∠AMD为直角时，AM2＝AD2－DM2＝302－102＝800，
∴AM＝20eq \r(2)；
当∠ADM为直角时，AM2＝AD2＋DM2＝302＋102＝1 000，
∴AM＝10eq \r(10).
综上所述，AM的长为20eq \r(2)或10eq \r(10).
(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．
解：连接CD1.
由题意知∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，
∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30eq \r(2).
∵∠AD2C＝135°，∴∠CD2D1＝90°.
∴CD1＝eq \r(CDeq \\al(2,2)＋D1Deq \\al(2,2))＝eq \r(602＋（30\r(2)）2)＝30eq \r(6).
∵∠BAC＝∠D1AD2＝90°，
∴∠BAC－∠CAD2＝∠D1AD2－∠CAD2，即∠BAD2＝∠CAD1.
∵AB＝AC，AD2＝AD1，∴△BAD2≌△CAD1(SAS)．
∴BD2＝CD1＝30eq \r(6).
17.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F.
(1)作出△ABE关于点E成中心对称的图形；
解：如图，延长AE到点M，使EM＝AE.连接CM，△MCE即为所求．
(2)探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．
解：AB＝AF＋CF.证明如下：
∵△MCE为△ABE关于点E成中心对称的图形，
∴AB＝MC，∠BAE＝∠M. ∴AB∥MC.
又∵AB∥DC，∴D，C，F，M共线．
∵∠BAE＝∠EAF，∴∠EAF＝∠M.
∴MF＝AF.
∵MC＝MF＋CF，∴AB＝AF＋CF.
18.在平面直角坐标系中,对于平面内任意一点(m,n),规定以下三种变换:
①f(m,n)＝(m,－n);②g(m,n)＝(－m,n);③h(m,n)＝(－m,－n).
(1) 请你根据以上规定的变换,求f[g(－3,2)]的值;
(2) 请你以点(a,b)为例,探索以上三种变换之间的关系.
解: (1) 由题意得f[g(－3,2)]＝f(3,2)＝(3,－2).
(2)f[g(a,b)]＝f(－a,b)＝(－a,－b)＝h(a,b),所以fg＝h;
f[h(a,b)]＝f(－a,－b)＝(－a,b)＝g(a,b),
所以fh＝g;
g[h(a,b)]＝g(－a,－b)＝(a,－b)＝f(a,b),
所以gh＝f.
所以fg＝h,fh＝g,gh＝f.
19.如图,将边长为4的正方形置于平面直角坐标系的第一象限,使AB边落在x轴正半轴上,且点A的坐标是(1,0).
(1)直线y=43x－83经过点C,且与x轴交于点E,求四边形AECD的面积;
(2)若直线l经过点E,且将正方形ABCD分成面积相等的两部分,求直线l的函数解析式.
解:(1)由已知可得E(2,0),四边形AECD是直角梯形,所以四边形AECD的面积=(2-1+4)×4÷2=10.
(2)在DC上取一点G,使CG=AE=1,则S梯形AEGD=S梯形EBCG,易得点G的坐标为(4,4).
设直线l的解析式是y=kx+b,将点E(2,0),G(4,4)代入,
得2k+b=0,4k+b=4,解得k=2,b=-4,
所以直线l的函数解析式是y=2x－4.
20.阅读理解,并解答问题:
如图所示的8×8网格都是由边长为1的小正方形组成,图1中的图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.赵爽通过对这种图形切割、拼接,巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理,它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智,是我国数学史上的骄傲.
请用你所学的知识对“赵爽弦图”中的四个直角三角形进行图形变换,在图2、图3的方格纸中设计另外两个不同的图案,每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上,且四个三角形互不重叠.画图要求:
(1)图2中所设计的图案(不含方格纸)必须是轴对称图形但不是中心对称图形;
(2)图3中所设计的图案(不含方格纸)必须既是轴对称图形,又是中心对称图形.
解:(1)如图1所示.(答案不唯一)
(2)如图2所示.(答案不唯一)
旋转定义(三要素:旋转中心、旋转角和 )性质对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角旋转不改变图形的大小和 特殊的旋转中心对称定义(两个图形旋转 °后互相重合)性质对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分关于对称中心对称的两个图形是全等图形中心对称图形(一个图形旋转180°后与其自身重合)利用平移、轴对称、旋转进行图案设计
中考演练
一、选择题
1.[济南中考]古钱币是我国悠久的历史文化遗产,以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2.[黄石中考]在平面直角坐标系中,点G的坐标是(－2,1),连接OG,将线段OG绕原点O旋转180°,得到对应线段OG',则点G'的坐标为( )
A.(2,－1)B.(2,1)
C.(1,－2)D.(－2,－1)
3.[大连中考]如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,∠ABC＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC',使点C的对应点C'恰好落在边AB上,则∠CAA'的度数是( )
A.50°B.70°C.110°D.120°
第3题图 第4题图 第5题图
4.[海南中考]如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠ABC＝30°,AC＝1 cm,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C',使点C'落在AB边上,连接BB',则BB'的长度是( )
A.1 cmB.2 cm
C.3 cmD.23 cm
5.[孝感中考]如图,点E在正方形ABCD的边CD上,将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,连接EF,过点A作EF的垂线,垂足为H,与BC交于点G.若BG＝3,CG＝2,则CE的长为( )
A.54B.154
C.4D.92
二、填空题
6.[镇江中考]点O是正五边形ABCDE的中心,分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆,组成了一幅美丽的图案(如图).这个图案绕点O至少旋转 °后能与原来的图案互相重合.
第6题图 第7题图 第8题图
7.[烟台中考]如图,已知点A(2,0),B(0,4),C(2,4),D(6,6),连接AB,CD,将线段AB绕着某一点旋转一定角度,使其与线段CD重合(点A与点C重合,点B与点D重合),则这个旋转中心的坐标为 .
8.[益阳中考]在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中,△ABC的顶点都在格点上,将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C',使各顶点仍在格点上,则其旋转角的度数是 .
9.(巴中中考)如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP.若AP=6,BP=8,CP=10,则S△ABP+S△BPC= .
第9题图 第10题图 第11题图
10.(梧州中考)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转,对应得到菱形AEFG,点E在AC上,EF与CD交于点P,则DP的长是 .
11.[营口中考]如图,△ABC是等边三角形,D为BC边上一点,BD＝12DC＝2,以点D为顶点作正方形DEFG,且DE＝BC,连接AE,AG.若将正方形DEFG绕点D旋转一周,当AE取最小值时,AG的长为 .
12.(2020·眉山)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2.将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，则CC1的长为_______．
第12题图 第13题图
13.[滨州中考]如图,P是正方形ABCD内一点,且点P到点A,B,C的距离分别为23,2,4,则正方形ABCD的面积为 .
三、解答题
14.[武汉中考]在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系,四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(3,4),B(8,4),C(5,0).仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图,并回答问题:
(1)将线段CB绕点C逆时针旋转90°,画出对应线段CD;
(2)在线段AB上画点E,使∠BCE＝45°;(保留画图过程的痕迹)
(3)连接AC,画点E关于直线AC的对称点F,并简要说明画法.
15.(淮安中考)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点A,B都在格点上(两条网格线的交点叫格点).
(1)将线段AB向上平移两个单位长度,点A的对应点为点A1,点B的对应点为点B1,请画出平移后的线段A1B1;
(2)将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°,点B1的对应点为点B2,请画出旋转后的线段A1B2;
(3)连接AB2,BB2,求△ABB2的面积.
16.(日照中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC的中点为O,点G,H在对角线AC上,AG=CH,直线GH绕点O逆时针旋转α角,与边AB,CD分别相交于点E,F(点E不与点A,B重合).
(1)求证:四边形EHFG是平行四边形;
(2)若∠α=90°,AB=9,AD=3,求AE的长.
17.(福建中考)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC,点A,B的对应点分别是D,E.
(1)当点E恰好在AC上时,如图1,求∠ADE的大小;
(2)若α=60°时,F是边AC的中点,如图2,求证:四边形BEDF是平行四边形.
18.[临沂中考]将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),得到矩形AEFG.
(1)如图,当点E在BD上时.求证:FD＝CD.
(2)当α为何值时,GC＝GB?画出图形,并说明理由.
达标练习
一、选择题
1.[南通中考]以原点为中心,将点P(4,5)按逆时针方向旋转90°,得到的点Q所在的象限为( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
2.如图,在5×5的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,O都在格点上.若将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到△OA'B',点A,B的对应点分别为A',B',则点A,B'之间的距离为( )
A.5B.25
C.13D.10
3.下列四个图案中,是中心对称图形的是( )
4.(深圳中考)观察下列图形,其中既是轴对称又是中心对称图形的是( )
5.如图,在△ABC中,∠A=45°,将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△AB'C',连接CC'.若∠CC'B'=27.5°,则∠B的大小( )
A.27.5°B.30°C.40°D.62.5°
6.如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是( )
A.点A与点A′是对称点
B.BO＝B′O
C.AB∥A′B′
D.∠ACB＝∠C′A′B′
7.如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为(6，4)．若直线l经过点(1，0)，且将▱OABC分割成面积相等的两部分，则直线l对应的函数解析式是( )
A.y＝x＋1 B.y＝eq \f(1,3)x＋1
C.y＝3x－3 D.y＝x－1
二、填空题
8.已知A(2x＋1,3),B(－5,3y－3)关于原点对称,则x＋y＝ .
9.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(－2,0),B(1,2),C(1,－2).已知N(－1,0),作点N关于点A的对称点N1,点N1关于点B的对称点N2,点N2关于点C的对称点N3,点N3关于点A的对称点N4,点N4关于点B的对称点N5,…依此类推,则点N2021的坐标为 .
三、解答题
10.在一次数学社团活动上,小明设计了一个社团标识,如图所示,正方形ABCD与折线D-E-F-B构成了中心对称图形,且DE⊥EF,AD=50,DE比EF长25,求EF的长.
11.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,已知A(1,3),B(4,5),C(5,1).
(1)请在图中画出△A1B1C1,使它和△ABC关于原点O对称,点A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1;
(2)直接写出点A1,B1,C1的坐标.
12.[江西中考]如图,在正方形网格中,△ABC的顶点在格点上.请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)在图1中,作△ABC关于点O对称的△A1B1C1;
(2)在图2中,作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后,顶点仍在格点上的△AB2C2.
13.已知点M(4p,4q＋p)和点N(5－3q,2p－2)关于x轴对称,求p和q的值.若点M,N关于y轴对称
14.如图，分别以正方形ABCD的边AD和DC为直径画两个半圆交于点O.若正方形的边长为10 cm，求阴影部分的面积．
15.如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC.
(1)试猜想AE与BF有何关系，并说明理由．
(2)若△ABC的面积为3 cm2，求四边形ABFE的面积．
(3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．
16.(2019·绍兴)如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10.
(1)在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．
(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．
17.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F.
(1)作出△ABE关于点E成中心对称的图形；
(2)探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．
18.在平面直角坐标系中,对于平面内任意一点(m,n),规定以下三种变换:
①f(m,n)＝(m,－n);②g(m,n)＝(－m,n);③h(m,n)＝(－m,－n).
(1)请你根据以上规定的变换,求f[g(－3,2)]的值;
(2)请你以点(a,b)为例,探索以上三种变换之间的关系.
19.如图,将边长为4的正方形置于平面直角坐标系的第一象限,使AB边落在x轴正半轴上,且点A的坐标是(1,0).
(1)直线y=43x－83经过点C,且与x轴交于点E,求四边形AECD的面积;
(2)若直线l经过点E,且将正方形ABCD分成面积相等的两部分,求直线l的函数解析式.
20.阅读理解,并解答问题:
如图所示的8×8网格都是由边长为1的小正方形组成,图1中的图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.赵爽通过对这种图形切割、拼接,巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理,它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智,是我国数学史上的骄傲.
请用你所学的知识对“赵爽弦图”中的四个直角三角形进行图形变换,在图2、图3的方格纸中设计另外两个不同的图案,每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上,且四个三角形互不重叠.画图要求:
(1)图2中所设计的图案(不含方格纸)必须是轴对称图形但不是中心对称图形;
(2)图3中所设计的图案(不含方格纸)必须既是轴对称图形,又是中心对称图形.
参考答案
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旋转定义(三要素:旋转中心、旋转角和 旋转方向 )性质对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角旋转不改变图形的大小和 形状 特殊的旋转中心对称定义(两个图形旋转 180 °后互相重合)性质对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分关于对称中心对称的两个图形是全等图形中心对称图形(一个图形旋转180°后与其自身重合)利用平移、轴对称、旋转进行图案设计
中考演练
一、选择题
1.[济南中考]古钱币是我国悠久的历史文化遗产,以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(D)
2.[黄石中考]在平面直角坐标系中,点G的坐标是(－2,1),连接OG,将线段OG绕原点O旋转180°,得到对应线段OG',则点G'的坐标为(A)
A.(2,－1)B.(2,1)
C.(1,－2)D.(－2,－1)
3.[大连中考]如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,∠ABC＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC',使点C的对应点C'恰好落在边AB上,则∠CAA'的度数是(D)
A.50°B.70°C.110°D.120°
第3题图 第4题图 第5题图
4.[海南中考]如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠ABC＝30°,AC＝1 cm,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C',使点C'落在AB边上,连接BB',则BB'的长度是(B)
A.1 cmB.2 cm
C.3 cmD.23 cm
5.[孝感中考]如图,点E在正方形ABCD的边CD上,将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,连接EF,过点A作EF的垂线,垂足为H,与BC交于点G.若BG＝3,CG＝2,则CE的长为(B)
A.54B.154
C.4D.92
二、填空题
6.[镇江中考]点O是正五边形ABCDE的中心,分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆,组成了一幅美丽的图案(如图).这个图案绕点O至少旋转 72 °后能与原来的图案互相重合.
第6题图 第7题图 第8题图
7.[烟台中考]如图,已知点A(2,0),B(0,4),C(2,4),D(6,6),连接AB,CD,将线段AB绕着某一点旋转一定角度,使其与线段CD重合(点A与点C重合,点B与点D重合),则这个旋转中心的坐标为 (4,2) .
8.[益阳中考]在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中,△ABC的顶点都在格点上,将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C',使各顶点仍在格点上,则其旋转角的度数是 90° .
9.(巴中中考)如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP.若AP=6,BP=8,CP=10,则S△ABP+S△BPC= 24+163 .
第9题图 第10题图 第11题图
10.(梧州中考)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转,对应得到菱形AEFG,点E在AC上,EF与CD交于点P,则DP的长是 3-1 .
11.[营口中考]如图,△ABC是等边三角形,D为BC边上一点,BD＝12DC＝2,以点D为顶点作正方形DEFG,且DE＝BC,连接AE,AG.若将正方形DEFG绕点D旋转一周,当AE取最小值时,AG的长为 8 .
12.(2020·眉山)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2.将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，则CC1的长为__2eq \r(3)______．
第12题图 第13题图
13.[滨州中考]如图,P是正方形ABCD内一点,且点P到点A,B,C的距离分别为23,2,4,则正方形ABCD的面积为 14＋43 .
提示:如图,将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM,连接PM,过点B作BH⊥PM于点H.由旋转可得BM＝PB＝2,CM＝PA＝23,∠PBM＝90°,∴PM＝2PB＝2.∵PC＝4,∴PC2＝CM2＋PM2,即∠PMC＝90°,∴∠CMB＝∠APB＝135°,∴∠APB＋∠BPM＝180°,∴点A,P,M共线.∵BH⊥PM,∴PH＝HM,∴BH＝PH＝HM＝1,∴AH＝1＋23,∴AB2＝AH2＋BH2＝(23＋1)2＋12＝14＋43,∴正方形ABCD的面积为14＋43.
三、解答题
14.[武汉中考]在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系,四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(3,4),B(8,4),C(5,0).仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图,并回答问题:
(1)将线段CB绕点C逆时针旋转90°,画出对应线段CD;
(2)在线段AB上画点E,使∠BCE＝45°;(保留画图过程的痕迹)
(3)连接AC,画点E关于直线AC的对称点F,并简要说明画法.
解:(1)如图所示,线段CD即为所求.
(2)如图所示,∠BCE即为所求.(画法不唯一,找到BD中点即可)
(3)连接点(5,0)和点(0,5),与OA交于点F,点F即为所求,如图所示.(画法不唯一)
15.(淮安中考)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点A,B都在格点上(两条网格线的交点叫格点).
(1)将线段AB向上平移两个单位长度,点A的对应点为点A1,点B的对应点为点B1,请画出平移后的线段A1B1;
(2)将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°,点B1的对应点为点B2,请画出旋转后的线段A1B2;
(3)连接AB2,BB2,求△ABB2的面积.
解:(1)图略.
(2)图略.
(3)S△ABB2=4×4-12×2×2-12×2×4-12×2×4=6.
16.(日照中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC的中点为O,点G,H在对角线AC上,AG=CH,直线GH绕点O逆时针旋转α角,与边AB,CD分别相交于点E,F(点E不与点A,B重合).
(1)求证:四边形EHFG是平行四边形;
(2)若∠α=90°,AB=9,AD=3,求AE的长.
解:(1)∵对角线AC的中点为O,∴AO=CO,
又∵AG=CH,∴GO=HO.
∵四边形ABCD是矩形,∴CD∥AB,∴∠DCA=∠CAB.
又∵CO=AO,∠FOC=∠EOA,∴△COF≌△AOE(ASA),
∴FO=EO,且GO=HO,∴四边形EHFG是平行四边形.
(2)连接CE.∵∠α=90°,∴EF⊥AC.
又∵AO=CO,∴EF是AC的垂直平分线,∴AE=CE.
在Rt△BCE中,CE2=BC2+BE2,∴AE2=(9-AE)2+9,
∴AE=5.
17.(福建中考)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC,点A,B的对应点分别是D,E.
(1)当点E恰好在AC上时,如图1,求∠ADE的大小;
(2)若α=60°时,F是边AC的中点,如图2,求证:四边形BEDF是平行四边形.
解:(1)由旋转得∠CDE=∠CAB=60°,CA=CD,
∴∠CAD=∠CDA=12(180°-30°)=75°,∴∠ADE=75°-60°=15°.
(2)连接AD.∵∠ABC=90°,F是边AC的中点,∴BF=12AC.
∵∠ACB=30°,∴AB=12AC,∴BF=AB.
由旋转得∠BCE=∠ACD=60°,CB=CE,DE=AB,
∴DE=BF,△ACD和△BCE为等边三角形,∴BE=BC.
∵F是边AC的中点,∴DF⊥AC,易证得△CFD≌△ABC,
∴DF=BC,∴DF=BE,而BF=DE,∴四边形BEDF是平行四边形.
18.[临沂中考]将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),得到矩形AEFG.
(1)如图,当点E在BD上时.求证:FD＝CD.
(2)当α为何值时,GC＝GB?画出图形,并说明理由.
解:(1)由旋转的性质可知AE＝AB,∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°,EF＝BC＝AD,
∴∠AEB＝∠ABE.
又∵∠ABE＋∠EDA＝∠AEB＋∠DEF＝90°,
∴∠EDA＝∠DEF.
又∵DE＝ED,∴△AED≌△FDE(SAS),
∴DF＝AE.
又∵AE＝AB＝CD,∴CD＝DF.
(2)当α为60°或300°时,GC＝GB.
理由:如图,当GC＝GB时,点G在BC的垂直平分线上.
分两种情况讨论:①当点G在AD右侧时,取BC的中点H,连接GH交AD于点M,连接DG,如图1.
∵GC＝GB,∴GH⊥BC,
∴四边形ABHM是矩形,
∴AM＝BH＝12AD＝12AG,
∴GM垂直平分AD,
∴DG＝AG＝AD,∴△ADG是等边三角形,
∴∠DAG＝60°,即旋转角α为60°.
②当点G在AD左侧时,如图2,同理可得△ADG是等边三角形,
∴∠DAG＝60°,∴旋转角α＝360°－60°＝300°.
达标练习
一、选择题
1.[南通中考]以原点为中心,将点P(4,5)按逆时针方向旋转90°,得到的点Q所在的象限为(B)
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
2.如图,在5×5的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,O都在格点上.若将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到△OA'B',点A,B的对应点分别为A',B',则点A,B'之间的距离为(C)
A.5B.25
C.13D.10
3.下列四个图案中,是中心对称图形的是(D)
4.(深圳中考)观察下列图形,其中既是轴对称又是中心对称图形的是( D )
5.如图,在△ABC中,∠A=45°,将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△AB'C',连接CC'.若∠CC'B'=27.5°,则∠B的大小( C )
A.27.5°B.30°C.40°D.62.5°
6.如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是( D )
A.点A与点A′是对称点
B.BO＝B′O
C.AB∥A′B′
D.∠ACB＝∠C′A′B′
7.如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为(6，4)．若直线l经过点(1，0)，且将▱OABC分割成面积相等的两部分，则直线l对应的函数解析式是( D )
A.y＝x＋1 B.y＝eq \f(1,3)x＋1
C.y＝3x－3 D.y＝x－1
二、填空题
8.已知A(2x＋1,3),B(－5,3y－3)关于原点对称,则x＋y＝ 2 .
9.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(－2,0),B(1,2),C(1,－2).已知N(－1,0),作点N关于点A的对称点N1,点N1关于点B的对称点N2,点N2关于点C的对称点N3,点N3关于点A的对称点N4,点N4关于点B的对称点N5,…依此类推,则点N2021的坐标为 (3,－4) .
提示:如图,由题意得点N的坐标为(－1,0),则点N1的坐标为(－3,0),点N2的坐标为(5,4),点N3的坐标为(－3,－8),点N4的坐标为(－1,8),点N5的坐标为(3,－4),点N6的坐标为(－1,0),此时刚好回到最开始的点N处,∴其每6个点循环一次,∴2021÷6＝336……5,故点N2021的坐标与点N5的坐标相同,其坐标为(3,－4).
三、解答题
10.在一次数学社团活动上,小明设计了一个社团标识,如图所示,正方形ABCD与折线D-E-F-B构成了中心对称图形,且DE⊥EF,AD=50,DE比EF长25,求EF的长.
解:连接BD交EF于点O.
∵正方形ABCD与折线D-E-F-B构成了中心对称图形,
∴OE=12EF,OD=12BD.
∵AD=50,∴BD=502+502=502,OD=252.
设EF=2x,∴OE=x,DE=2x+25,
在Rt△DOE中,x2+(2x+25)2=(252)2,
解得x=5或x=-25(舍去),∴EF=5×2=10.
11.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,已知A(1,3),B(4,5),C(5,1).
(1)请在图中画出△A1B1C1,使它和△ABC关于原点O对称,点A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1;
(2)直接写出点A1,B1,C1的坐标.
解:(1)图略.
(2)A1(-1,-3),B1(-4,-5),C1(-5,-1).
12.[江西中考]如图,在正方形网格中,△ABC的顶点在格点上.请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)在图1中,作△ABC关于点O对称的△A1B1C1;
(2)在图2中,作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后,顶点仍在格点上的△AB2C2.
解:(1)如图1所示,△A1B1C1即为所求.
(2)如图2所示,△AB2C2即为所求.
13.已知点M(4p,4q＋p)和点N(5－3q,2p－2)关于x轴对称,求p和q的值.若点M,N关于y轴对称呢?关于原点对称呢?
解:若关于x轴对称,则4p＝5−3q,4q＋p＝2−2p,
解得p＝2,q＝−1;
若关于y轴对称,则4p＝3q−5,4q＋p＝2p−2,
解得p＝−2,q＝−1;
若关于原点对称,则4p＝3q−5,4q＋p＝2−2p,
解得p＝−1425,q＝2325.
14.如图，分别以正方形ABCD的边AD和DC为直径画两个半圆交于点O.若正方形的边长为10 cm，求阴影部分的面积．
解：如图，连接BD，AC，把原阴影部分(Ⅰ)绕点O逆时针旋转90°至①处，把原阴影部分(Ⅱ)绕点O顺时针旋转90°至②处，使原阴影部分变为如图的阴影部分，故阴影部分的面积为eq \f(1,2)×10×10＝50(cm2)．
15.如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC.
(1)试猜想AE与BF有何关系，并说明理由．
解：AE与BF平行且相等．
理由：∵△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC，
∴△ABC与△FEC关于C点成中心对称．
∴AC＝CF，BC＝CE.
∴四边形ABFE是平行四边形．∴AE＝BF，AE∥BF.
(2)若△ABC的面积为3 cm2，求四边形ABFE的面积．
解：∵AC＝CF，
∴S△BCF＝S△ABC＝3 cm2.
又∵BC＝CE，
∴S△ABC＝S△ACE＝3 cm2.
又易知S△ECF＝S△ABC＝3 cm2.
∴S四边形ABFE＝4×3＝12(cm2)．
(3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．
解：当∠ACB＝60°时，四边形ABFE为矩形．理由如下：
∵AB＝AC，∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形．
∴AC＝BC.
由(1)知AC＝CF，BC＝CE，∴AF＝BE.
又∵四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE为矩形．
16.(2019·绍兴)如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10.
(1)在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
解：AM＝AD＋DM＝40或AM＝AD－DM＝20.
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．
解：显然∠MAD不能为直角．
当∠AMD为直角时，AM2＝AD2－DM2＝302－102＝800，
∴AM＝20eq \r(2)；
当∠ADM为直角时，AM2＝AD2＋DM2＝302＋102＝1 000，
∴AM＝10eq \r(10).
综上所述，AM的长为20eq \r(2)或10eq \r(10).
(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．
解：连接CD1.
由题意知∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，
∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30eq \r(2).
∵∠AD2C＝135°，∴∠CD2D1＝90°.
∴CD1＝eq \r(CDeq \\al(2,2)＋D1Deq \\al(2,2))＝eq \r(602＋（30\r(2)）2)＝30eq \r(6).
∵∠BAC＝∠D1AD2＝90°，
∴∠BAC－∠CAD2＝∠D1AD2－∠CAD2，即∠BAD2＝∠CAD1.
∵AB＝AC，AD2＝AD1，∴△BAD2≌△CAD1(SAS)．
∴BD2＝CD1＝30eq \r(6).
17.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F.
(1)作出△ABE关于点E成中心对称的图形；
解：如图，延长AE到点M，使EM＝AE.连接CM，△MCE即为所求．
(2)探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．
解：AB＝AF＋CF.证明如下：
∵△MCE为△ABE关于点E成中心对称的图形，
∴AB＝MC，∠BAE＝∠M. ∴AB∥MC.
又∵AB∥DC，∴D，C，F，M共线．
∵∠BAE＝∠EAF，∴∠EAF＝∠M.
∴MF＝AF.
∵MC＝MF＋CF，∴AB＝AF＋CF.
18.在平面直角坐标系中,对于平面内任意一点(m,n),规定以下三种变换:
①f(m,n)＝(m,－n);②g(m,n)＝(－m,n);③h(m,n)＝(－m,－n).
(1) 请你根据以上规定的变换,求f[g(－3,2)]的值;
(2) 请你以点(a,b)为例,探索以上三种变换之间的关系.
解: (1) 由题意得f[g(－3,2)]＝f(3,2)＝(3,－2).
(2)f[g(a,b)]＝f(－a,b)＝(－a,－b)＝h(a,b),所以fg＝h;
f[h(a,b)]＝f(－a,－b)＝(－a,b)＝g(a,b),
所以fh＝g;
g[h(a,b)]＝g(－a,－b)＝(a,－b)＝f(a,b),
所以gh＝f.
所以fg＝h,fh＝g,gh＝f.
19.如图,将边长为4的正方形置于平面直角坐标系的第一象限,使AB边落在x轴正半轴上,且点A的坐标是(1,0).
(1)直线y=43x－83经过点C,且与x轴交于点E,求四边形AECD的面积;
(2)若直线l经过点E,且将正方形ABCD分成面积相等的两部分,求直线l的函数解析式.
解:(1)由已知可得E(2,0),四边形AECD是直角梯形,所以四边形AECD的面积=(2-1+4)×4÷2=10.
(2)在DC上取一点G,使CG=AE=1,则S梯形AEGD=S梯形EBCG,易得点G的坐标为(4,4).
设直线l的解析式是y=kx+b,将点E(2,0),G(4,4)代入,
得2k+b=0,4k+b=4,解得k=2,b=-4,
所以直线l的函数解析式是y=2x－4.
20.阅读理解,并解答问题:
如图所示的8×8网格都是由边长为1的小正方形组成,图1中的图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.赵爽通过对这种图形切割、拼接,巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理,它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智,是我国数学史上的骄傲.
请用你所学的知识对“赵爽弦图”中的四个直角三角形进行图形变换,在图2、图3的方格纸中设计另外两个不同的图案,每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上,且四个三角形互不重叠.画图要求:
(1)图2中所设计的图案(不含方格纸)必须是轴对称图形但不是中心对称图形;
(2)图3中所设计的图案(不含方格纸)必须既是轴对称图形,又是中心对称图形.
解:(1)如图1所示.(答案不唯一)
(2)如图2所示.(答案不唯一)
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