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2020-2021学年第二十四章 圆综合与测试当堂达标检测题
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这是一份2020-2021学年第二十四章 圆综合与测试当堂达标检测题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第24章 圆
章末复习
知识网络
圆有关概念圆的两种概念弧:优弧、半圆、劣弧弦:弦与直径的关系基本性质对称性垂径定理及推论弧、弦、圆心角关系定理及推论圆周角定理及推论点与圆的位置关系点在圆内、圆上、圆外 的三个点确定一个圆三角形的外接圆直线与圆的位置关系位置关系:相离、相切、相交切线性质:①有唯一公共点;② ;③d＝r切线的判定:① ;②d＝r;③过半径外端点,垂直于半径切线长定理:①切线长的概念;②切线长定理;③三角形的内切圆正多边形与圆:①正多边形的有关计算;②正多边形的画法弧长与扇形面积弧长公式:l＝ ;扇形面积公式:S＝ ＝ 圆锥的侧面积和全面积
中考演练
一、选择题
1.(长沙中考)一个扇形的半径为6,圆心角为120°,则该扇形的面积是( )
A.2π B.4π C.12π D.24π
2.(阜新中考)如图,CB为☉O的切线,点B为切点,CO的延长线交☉O于点A,若∠A=25°,则∠C的度数是( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.[陕西中考]如图,△ABC内接于☉O,∠A＝50°,E是边BC的中点,连接OE并延长,交☉O于点D,连接BD,则∠D的大小为 ( )
A.55° B.65° C.60° D.75°
4.(柳州中考)如图,A,B,C,D是☉O上的点,则图中与∠A相等的角是( )
A.∠B B.∠C C.∠DEB D.∠D
5.(2020·青海)如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是( )
A．3.6 B．1.8 C．3 D．6
6.(2020·云南)如图,正方形ABCD的边长为4,以点A为圆心,AD为半径,画圆弧DE得到扇形DAE(阴影部分,点E在对角线AC上).若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的半径是 ( )
A.2 B.1 C.22 D.12
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
7.[巴中中考]如图,在☉O中,点A,B,C在圆上,∠ACB＝45°,AB＝22,则☉O的半径OA的长是 ( )
A.2 B.2 C.22 D.3
8.[济南中考]如图,在菱形ABCD中,E是BC的中点,以点C为圆心、CE为半径作弧,交CD于点F,连接AE,AF.若AB＝6,∠B＝60°,则阴影部分的面积为 ( )
A.93－3π B.93－2π C.183－9π D.183－6π
9.[临沂中考]如图,在☉O中,AB为直径,∠AOC＝80°,D为弦AC的中点,E为BC上任意一点,则∠CED的大小可能是 ( )
A.10° B.20° C.30° D.40°
10.(2020·湖北黄石)如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E.若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为 ( )
A.140° B.70° C.110° D.80°
第10题图 第11题图 第12题图
11.(2020·江苏徐州)如图,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,OC⊥OA,OC交AB于点P.若∠BPC=70°,则∠ABC的度数等于 ( )
A.75° B.70° C.65° D.60°
12.(中考·山西)如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为( )
A．4π－4 B．4π－8 C．8π－4 D．8π－8
二、填空题
13.(鞍山中考)如图,AC是☉O的直径,B,D是☉O上的点.若☉O的半径为3,∠ADB=30°,则BC的长为 .
第13题图 第14题图 第15题图 第17题图
14.(盘锦中考)如图,△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,OD⊥AC于点D,连接BD,半径OE⊥BC,连接EA,EA⊥BD于点F.若OD=2,则BC= .
15.(贵阳中考)如图,用等分圆的方法,在半径为OA的圆中,画出了如图所示的四叶幸运草,若OA=2,则四叶幸运草的周长是 .
16.(绥化中考)用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面,若这个圆锥的底面半径恰好等于4,则这个圆锥的母线长为 .
17.(福建中考)如图,边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的☉O的圆心重合,E,F分别是AD,BA的延长线与☉O的交点,则图中阴影部分的面积是 .(结果保留π)
18.[泰州中考]如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成,点A,B,C在平面直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(－3,3),(7,－2),则△ABC内心的坐标为 .
19.[牡丹江中考]AB是☉O的弦,OM⊥AB,垂足为M,连接OA.若△AOM中有一个角是30°,OM＝23,则弦AB的长为 .
第18题图 第20题图 第21题图 第22题图
20.[绥化中考]如图,正五边形ABCDE内接于☉O,P为DE上一点(点P与点D,E不重合),连接PC,PD,DG⊥PC,垂足为G,则∠PDG等于 .
21.[朝阳中考]如图,A,B,C是☉O上的点,连接AB,AC,BC,且∠ACB＝15°,过点O作OD∥AB交☉O于点D,连接AD,BD.已知☉O的半径为2,则图中阴影部分的面积为 .
22.[广东中考]如图,从一块半径为1 m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC,如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的底面圆的半径为 m.
23.(2019·安徽)如图,△ABC内接于☉O,∠CAB=30°,∠CBA=45°,CD⊥AB于点D.若☉O的半径为2,则CD的长为 .
第23题图 第24题图
24.(2020·江苏徐州)如图,A,B,C,D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心.若∠ADB=18°,则这个正多边形的边数为 .
三、解答题
25.(郴州中考)如图,已知AB是☉O的直径,CD与☉O相切于点D,且AD∥OC.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)延长CO交☉O于点E.若∠CEB=30°,☉O的半径为2,求BD的长.(结果保留π)
26.(济南中考)如图,AB,CD是☉O的两条直径,过点C的☉O的切线交AB的延长线于点E,连接AC,BD.
(1)求证:∠ABD=∠CAB;
(2)若B是OE的中点,AC=12,求☉O的半径.
27.[深圳中考]如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D.连接BC并延长,交AD的延长线于点E.
(1)求证:AE＝AB;
(2)若AB＝10,BC＝6,求CD的长.
28.[辽阳中考]如图,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,连接AE,AD,DE,过点A作射线交BE的延长线于点C,使∠EAC＝∠EDA.
(1)求证:AC是☉O的切线;
(2)若CE＝AE＝23,求阴影部分的面积.
29.[绵阳中考]如图,AB是☉O的直径,C为BD的中点,CF为☉O的弦,且CF⊥AB,垂足为E,连接BD交CF于点G,连接CD,AD,BF.
(1)求证:△BFG≌△CDG;
(2)若AD＝BE＝2,求BF的长.
达标练习
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．直径是弦，弦也是直径
B．半圆是弧，弧是半圆
C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径
D．在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍
2.已知圆锥底面圆的半径为2，母线长是4，则它的全面积为( )
A．4π B．8π C．12π D．16π
3.如图,已知CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,CE＝1,直径为10,则弦AB的长为 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
第3题图 第5题图 第6题图 第7题图
4.在数轴上,点A所表示的实数为2,点B所表示的实数为a,☉A的半径为3.若点B在☉A外,则a的值可能是( )
A.-1 B.0 C.5 D.6
5.如图,A,D,B,C是☉O上的四个点,连接AB,CD交于点E.若∠BOD＝40°,∠AOC＝120°,则∠AEC的度数为 ( )
A.70° B.75° C.80° D.85°
6.如图,MN是☉O的直径,A是半圆上的三等分点,B是劣弧AN的中点,P是直径MN上一动点.若MN＝22,AB＝a,则△PAB周长的最小值是( )
A.22＋a B.2＋a
C.1＋a D.2＋a
7.如图,△ABC的内切圆☉O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且AD＝2,BC＝5,则△ABC的周长为 ( )
A.16 B.14
C.12 D.10
8.如图,已知☉O是△ABC的外接圆,☉O的半径为3,∠B=120°,连接OA.若AO∥BC,则AB的长是( )
A.π2 B.π
C.3π2 D.2π
第8题图 第9题图 第10题图
9.如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB，BC，AC于点D，E，F，则AF的长为( )
A．5 B．10 C．7.5 D．4
10.如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为( )
A. π B．3π C. π D．2π
二、填空题
11.如图,☉O的半径为2,AB为☉O的直径,P为AB延长线上一点,过点P作☉O的切线,切点为C.若PC＝23,则BC的长为 .
第11题图 第12题图 第14题图
12.如图,等腰△ABC的底边BC的长为23,顶角∠BAC为120°,以点C为圆心、AC长为半径画弧,交底边BC于点D,则AD的长为 .(结果保留π)
13.同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为 .
14.(黄冈中考)如图，圆锥体的高h＝2cm，底面圆的半径r＝2cm，则圆锥体的全面积为 cm2.
15.已知在半径为1的⊙O中，弦AC＝，弦AB＝则∠CAB＝____________．
三、解答题
16.《九章算术》是中国传统数学的重要著作,奠定了中国传统数学的基本框架.《九章算术》中记载:今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,间径几何?(如图1)阅读完这段文字后,小天画出了一个圆柱截面示意图(如图2),其中OB⊥CD于点A,求间径就是要求☉O的直径,其中AB＝1寸,CD＝1尺(1尺等于10寸).请帮助小天求出☉O的直径.
17.如图,是一张盾构隧道断面结构图.隧道内部为以点O为圆心,AB为直径的圆.隧道内部共分为三层,上层为排烟道,中间为行车隧道,下层为服务层.点A到顶棚的距离为1.6 m,顶棚到路面的距离是6.4 m,点B到路面的距离为4.0 m.请求出路面CD的宽度.(精确到0.1 m)
18.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC＝40°，D是的中点．求∠ACD的度数．
19.如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上任意一点(不与点A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.
(1)弦长AB＝________(结果保留根号)；
(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数．
20.[南京中考]如图,在△ABC中,AC＝BC,D是AB上一点,☉O经过点A,C,D,交BC于点E,过点D作DF∥BC,交☉O于点F.
求证:(1)四边形DBCF是平行四边形;
(2)AF＝EF.
21.如图,在△ABC中,∠B＝60°,☉O是△ABC的外接圆,P是☉O的直径CD延长线上的一点,且AP＝AC.
(1)求证:PA是☉O的切线;
(2)求证:D是PO的中点.
22.如图,PA,PB是☉O的切线,CD切☉O于点E,△PCD的周长为12,∠APB＝60°,求:
(1)PA的长;
(2)∠COD的度数.
23.如图,☉O外接于正方形ABCD,P为AD上一点,且AP＝1,PC＝3,求正方形ABCD的边长和PB的长.
24.(2020·济宁)我们把方程(x－m)2＋(y－n)2＝r2称为圆心为(m，n)、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为(1，－2)、半径长为3的圆的标准方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝9.在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为(8，0)，与y轴相切于点D(0，4)，过点A，B，D的抛物线的顶点为点E.
(1)求⊙C的标准方程；
(2)试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．
25.如图,在平面直角坐标系中,以点A(3,0)为圆心、5为半径作☉A,与y轴的正半轴交于点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求△AOB的内切圆半径;
(3)将☉A在平面直角坐标系内平移,使其与x轴、y轴都相切,记平移后的圆的圆心为A1,求AA1的长.
参考答案
知识网络
圆有关概念圆的两种概念弧:优弧、半圆、劣弧弦:弦与直径的关系基本性质对称性垂径定理及推论弧、弦、圆心角关系定理及推论圆周角定理及推论点与圆的位置关系点在圆内、圆上、圆外 不在同一直线上 的三个点确定一个圆三角形的外接圆直线与圆的位置关系位置关系:相离、相切、相交切线性质:①有唯一公共点;② 垂直于半径 ;③d＝r切线的判定:① 有唯一公共点 ;②d＝r;③过半径外端点,垂直于半径切线长定理:①切线长的概念;②切线长定理;③三角形的内切圆正多边形与圆:①正多边形的有关计算;②正多边形的画法弧长与扇形面积弧长公式:l＝ nπR180 ;扇形面积公式:S＝ nπR2360 ＝ 12lR 圆锥的侧面积和全面积
中考演练
一、选择题
1.(长沙中考)一个扇形的半径为6,圆心角为120°,则该扇形的面积是( C )
A.2π B.4π C.12π D.24π
2.(阜新中考)如图,CB为☉O的切线,点B为切点,CO的延长线交☉O于点A,若∠A=25°,则∠C的度数是( D )
A.25° B.30° C.35° D.40°
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.[陕西中考]如图,△ABC内接于☉O,∠A＝50°,E是边BC的中点,连接OE并延长,交☉O于点D,连接BD,则∠D的大小为 (B)
A.55° B.65° C.60° D.75°
4.(柳州中考)如图,A,B,C,D是☉O上的点,则图中与∠A相等的角是( D )
A.∠B B.∠C C.∠DEB D.∠D
5.(2020·青海)如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是( A )
A．3.6 B．1.8 C．3 D．6
6.(2020·云南)如图,正方形ABCD的边长为4,以点A为圆心,AD为半径,画圆弧DE得到扇形DAE(阴影部分,点E在对角线AC上).若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的半径是 (D)
A.2 B.1 C.22 D.12
【解析】由题意知DE的长=45π×4180=π.设该圆锥底面圆的半径为r,则2πr=π,解得r=12.
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
7.[巴中中考]如图,在☉O中,点A,B,C在圆上,∠ACB＝45°,AB＝22,则☉O的半径OA的长是 (B)
A.2 B.2 C.22 D.3
8.[济南中考]如图,在菱形ABCD中,E是BC的中点,以点C为圆心、CE为半径作弧,交CD于点F,连接AE,AF.若AB＝6,∠B＝60°,则阴影部分的面积为 (A)
A.93－3π B.93－2π C.183－9π D.183－6π
9.[临沂中考]如图,在☉O中,AB为直径,∠AOC＝80°,D为弦AC的中点,E为BC上任意一点,则∠CED的大小可能是 (C)
A.10° B.20° C.30° D.40°
10.(2020·湖北黄石)如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E.若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为 ( )
A.140° B.70° C.110° D.80°
【解析】如图,在优弧AB上取一点P,连接AP,BP.∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90°.∵∠DCE=40°,∴∠AOB=140°,∴∠P=12∠AOB=70°.∵A,C,B,P四点共圆,∴∠P+∠ACB=180°,
∴∠ACB=110°.
【答案】 C
第10题图 第11题图 第12题图
11.(2020·江苏徐州)如图,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,OC⊥OA,OC交AB于点P.若∠BPC=70°,则∠ABC的度数等于 (B)
A.75° B.70° C.65° D.60°
【解析】∵∠BPC=70°,∴∠APO=70°.∵OC⊥OA,∴∠AOP=90°,∴∠A=20°.∵OA=OB,∴∠ABO=∠A=20°.∵BC为☉O的切线,∴∠OBC=90°,∴∠ABC=70°.
12.(中考·山西)如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为( )
A．4π－4 B．4π－8 C．8π－4 D．8π－8
【解析】利用对称性可知：
S阴影＝S扇形AEF－S△ABD＝－×2×2×2＝4π－4.
二、填空题
13.(鞍山中考)如图,AC是☉O的直径,B,D是☉O上的点.若☉O的半径为3,∠ADB=30°,则BC的长为 2π .
第13题图 第14题图 第15题图 第17题图
14.(盘锦中考)如图,△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,OD⊥AC于点D,连接BD,半径OE⊥BC,连接EA,EA⊥BD于点F.若OD=2,则BC= 45 .
15.(贵阳中考)如图,用等分圆的方法,在半径为OA的圆中,画出了如图所示的四叶幸运草,若OA=2,则四叶幸运草的周长是 42π .
16.(绥化中考)用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面,若这个圆锥的底面半径恰好等于4,则这个圆锥的母线长为 12 .
17.(福建中考)如图,边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的☉O的圆心重合,E,F分别是AD,BA的延长线与☉O的交点,则图中阴影部分的面积是 π-1 .(结果保留π)
18.[泰州中考]如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成,点A,B,C在平面直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(－3,3),(7,－2),则△ABC内心的坐标为 (2,3) .
19.[牡丹江中考]AB是☉O的弦,OM⊥AB,垂足为M,连接OA.若△AOM中有一个角是30°,OM＝23,则弦AB的长为 12或4 .
第18题图 第20题图 第21题图 第22题图
20.[绥化中考]如图,正五边形ABCDE内接于☉O,P为DE上一点(点P与点D,E不重合),连接PC,PD,DG⊥PC,垂足为G,则∠PDG等于 54° .
21.[朝阳中考]如图,A,B,C是☉O上的点,连接AB,AC,BC,且∠ACB＝15°,过点O作OD∥AB交☉O于点D,连接AD,BD.已知☉O的半径为2,则图中阴影部分的面积为 π3 .
22.[广东中考]如图,从一块半径为1 m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC,如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的底面圆的半径为 13 m.
23.(2019·安徽)如图,△ABC内接于☉O,∠CAB=30°,∠CBA=45°,CD⊥AB于点D.若☉O的半径为2,则CD的长为 2 .
【解析】如图,连接CO并延长交☉O于点E,连接AE,则∠E=∠B=45°.因为CE是☉O的直径,所以∠CAE=90°,所以AC=4×22=22.因为∠CAB=30°,CD⊥AB,所以CD=12AC=2.
第23题图 第24题图
24.(2020·江苏徐州)如图,A,B,C,D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心.若∠ADB=18°,则这个正多边形的边数为 .
【解析】连接OA,OB.∵A,B,C,D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心,∴点A,B,C,D在以点O为圆心,OA为半径的同一个圆上.∵∠ADB=18°,∴∠AOB=2∠ADB=36°,∴这个正多边形的边数=360°36°=10.
【答案】 10
三、解答题
25.(郴州中考)如图,已知AB是☉O的直径,CD与☉O相切于点D,且AD∥OC.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)延长CO交☉O于点E.若∠CEB=30°,☉O的半径为2,求BD的长.(结果保留π)
解:(1)连接OD,∵CD与☉O相切于点D,∴∠ODC=90°.
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.
∵AD∥OC,∴∠COB=∠OAD,∠COD=∠ODA,
∴∠COD=∠COB.
又∵OD=OB,OC=OC,∴△COD≌△COB(SAS),
∴∠ODC=∠OBC=90°,∴BC是☉O的切线.
(2)∵∠CEB=30°,∴∠COB=60°.
∵∠COB=∠COD,∴∠BOD=120°,∴BD的长=120π·2180=43π.
26.(济南中考)如图,AB,CD是☉O的两条直径,过点C的☉O的切线交AB的延长线于点E,连接AC,BD.
(1)求证:∠ABD=∠CAB;
(2)若B是OE的中点,AC=12,求☉O的半径.
解:(1)∵OB=OD,∴∠ABD=∠CDB.
∵∠CDB=∠CAB,∴∠ABD=∠CAB.
(2)连接BC.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵CE是☉O的切线,∴∠OCE=90°.
∵B是OE的中点,∴BC=OB,∴△OBC为等边三角形,
∴∠ABC=60°,∴∠A=30°,∴BC=33AC=43,
∴OB=43,即☉O的半径为43.
27.[深圳中考]如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D.连接BC并延长,交AD的延长线于点E.
(1)求证:AE＝AB;
(2)若AB＝10,BC＝6,求CD的长.
解:(1)连接AC,OC.
∵CD为切线,∴OC⊥CD.
∵CD⊥AD,∴OC∥AD,∴∠OCB＝∠E.
∵OB＝OC,∴∠OCB＝∠B,
∴∠B＝∠E,∴AE＝AB.
(2)∵AB为直径,∴∠ACB＝90°.
在Rt△ACB中,AB＝10,BC＝6,
∴AC＝AB2-BC2＝8.
∵AB＝AE＝10,∴CE＝BC＝6.
∵S△ACE＝12CD·AE＝12AC·CE,
∴CD＝245.
28.[辽阳中考]如图,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,连接AE,AD,DE,过点A作射线交BE的延长线于点C,使∠EAC＝∠EDA.
(1)求证:AC是☉O的切线;
(2)若CE＝AE＝23,求阴影部分的面积.
解:(1)连接OA,过点O作OF⊥AE于点F,
∴∠AFO＝90°,∴∠EAO＋∠AOF＝90°.
∵OA＝OE,∴∠EOF＝∠AOF＝12∠AOE.
∵∠EDA＝12∠AOE,∴∠EDA＝∠AOF.
∵∠EAC＝∠EDA,∴∠EAC＝∠AOF,
∴∠EAO＋∠EAC＝90°,即∠CAO＝90°,
∴OA⊥AC,∴AC是☉O的切线.
(2)∵CE＝AE＝23,∴∠C＝∠EAC,
∴∠AEO＝2∠EAC,∴∠EAO＝2∠EAC.
又∵∠EAO＋∠EAC＝90°,
∴∠EAC＝30°,∠EAO＝60°,
∴△OAE是等边三角形,
∴∠EOA＝60°,OA＝23,
∴S扇形AOE＝60·π×(23)2360＝2π,
S△AOE＝12×23×3＝33,
∴阴影部分的面积＝S扇形AOE－S△AOE＝2π－33.
29.[绵阳中考]如图,AB是☉O的直径,C为BD的中点,CF为☉O的弦,且CF⊥AB,垂足为E,连接BD交CF于点G,连接CD,AD,BF.
(1)求证:△BFG≌△CDG;
(2)若AD＝BE＝2,求BF的长.
解:(1)∵C为BD的中点,∴CD＝BC.
∵AB是☉O的直径,且CF⊥AB,∴BC＝BF,
∴CD＝BF,∴CD＝BF.
在△BFG和△CDG中,∠F＝∠CDG,∠FGB＝∠DGC,BF＝CD,
∴△BFG≌△CDG(AAS).
(2)连接OF,设☉O的半径为r,
在Rt△ADB中,BD2＝AB2－AD2,即BD2＝(2r)2－22,
在Rt△OEF中,OF2＝OE2＋EF2,即EF2＝r2－(r－2)2.
∵CD＝BC＝BF,∴BD＝CF,∴BD＝CF,
∴BD2＝CF2＝(2EF)2＝4EF2,
即(2r)2－22＝4[r2－(r－2)2],
解得r＝1(舍)或r＝3,
∴BF2＝EF2＋BE2＝32－(3－2)2＋22＝12,
∴BF＝23.
达标练习
一、选择题
1．下列说法正确的是( D )
A．直径是弦，弦也是直径
B．半圆是弧，弧是半圆
C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径
D．在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍
2.已知圆锥底面圆的半径为2，母线长是4，则它的全面积为( C )
A．4π B．8π C．12π D．16π
3.如图,已知CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,CE＝1,直径为10,则弦AB的长为 (A)
A.6 B.8 C.10 D.12
第3题图 第5题图 第6题图 第7题图
4.在数轴上,点A所表示的实数为2,点B所表示的实数为a,☉A的半径为3.若点B在☉A外,则a的值可能是( D )
A.-1 B.0 C.5 D.6
5.如图,A,D,B,C是☉O上的四个点,连接AB,CD交于点E.若∠BOD＝40°,∠AOC＝120°,则∠AEC的度数为 (C)
A.70° B.75° C.80° D.85°
6.如图,MN是☉O的直径,A是半圆上的三等分点,B是劣弧AN的中点,P是直径MN上一动点.若MN＝22,AB＝a,则△PAB周长的最小值是(D)
A.22＋a B.2＋a
C.1＋a D.2＋a
7.如图,△ABC的内切圆☉O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且AD＝2,BC＝5,则△ABC的周长为 (B)
A.16 B.14
C.12 D.10
8.如图,已知☉O是△ABC的外接圆,☉O的半径为3,∠B=120°,连接OA.若AO∥BC,则AB的长是( B )
A.π2 B.π
C.3π2 D.2π
第8题图 第9题图 第10题图
9.如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB，BC，AC于点D，E，F，则AF的长为( A )
A．5 B．10 C．7.5 D．4
10.如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为( )
A. π B．3π C. π D．2π
【点拨】本题运用，五个圆的空白部分的面积之和S＝＝π
,所以图中阴影部分的面积之和为5π×12－π＝π.
二、填空题
11.如图,☉O的半径为2,AB为☉O的直径,P为AB延长线上一点,过点P作☉O的切线,切点为C.若PC＝23,则BC的长为 2 .
第11题图 第12题图 第14题图
12.如图,等腰△ABC的底边BC的长为23,顶角∠BAC为120°,以点C为圆心、AC长为半径画弧,交底边BC于点D,则AD的长为 π3 .(结果保留π)
13.同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为 .
【答案】2:1
14.(黄冈中考)如图，圆锥体的高h＝2cm，底面圆的半径r＝2cm，则圆锥体的全面积为 cm2.
【答案】12π
15.已知在半径为1的⊙O中，弦AC＝，弦AB＝则∠CAB＝____________．
【点拨】利用对称性可知：如图，当圆心O在∠CAB的外部时，连接OA，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F. 由垂径定理和勾股定理可求得OE＝OA，OF＝FA，∴∠BAO＝30°，∠CAO＝45°.∴∠CAB＝15°.同理可得，当圆心O在∠CAB的内部时，∠CAB1＝75°.
【答案】15°或75°
三、解答题
16.《九章算术》是中国传统数学的重要著作,奠定了中国传统数学的基本框架.《九章算术》中记载:今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,间径几何?(如图1)阅读完这段文字后,小天画出了一个圆柱截面示意图(如图2),其中OB⊥CD于点A,求间径就是要求☉O的直径,其中AB＝1寸,CD＝1尺(1尺等于10寸).请帮助小天求出☉O的直径.
解:连接OC.
∵OB⊥CD,CD＝10,∴AC＝AD＝12CD＝5.
设OC＝OB＝x,则OA＝x－1.
在Rt△AOC中,由OA2＋CA2＝OC2,得(x－1)2＋52＝x2,解得x＝13,
∴☉O的直径为26寸.
17.如图,是一张盾构隧道断面结构图.隧道内部为以点O为圆心,AB为直径的圆.隧道内部共分为三层,上层为排烟道,中间为行车隧道,下层为服务层.点A到顶棚的距离为1.6 m,顶棚到路面的距离是6.4 m,点B到路面的距离为4.0 m.请求出路面CD的宽度.(精确到0.1 m)
解:连接OC,AB交CD于点E.
由题意知AB＝1.6＋6.4＋4＝12,
∴OC＝OB＝12AB＝6,∴OE＝OB－BE＝2,
∴在Rt△OCE中,CE＝OC2-OE2＝42.
∵AB⊥CD,∴CD＝2CE＝82≈11.3.
答:路面CD的宽度为11.3 m.
18.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC＝40°，D是的中点．求∠ACD的度数．
解：∵∠AOC＝40°，OC＝OA，
∴∠BOC＝180°－40°＝140°，
∠CAO＝∠ACO＝(180°－40°)＝70°.
如图，连接OD.
∵D是BC的中点，
∴∠COD＝∠BOC＝70°.
又∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD＝＝55°.
∴∠ACD＝∠ACO＋∠OCD＝70°＋55°＝125°.
19.如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上任意一点(不与点A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.
(1)弦长AB＝________(结果保留根号)；
(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数．
解：如图，连接OA.
∵OA＝OB，OA＝OD，
∴∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D.
∴∠BAD＝∠BAO＋∠DAO＝∠B＋∠D.
又∵∠B＝30°，∠D＝20°，∴∠BAD＝50°.
∴∠BOD＝2∠BAD＝100°.
20.[南京中考]如图,在△ABC中,AC＝BC,D是AB上一点,☉O经过点A,C,D,交BC于点E,过点D作DF∥BC,交☉O于点F.
求证:(1)四边形DBCF是平行四边形;
(2)AF＝EF.
证明:(1)∵AC＝BC,∴∠BAC＝∠B.
∵DF∥BC,∴∠ADF＝∠B.
∵∠BAC＝∠CFD,
∴∠ADF＝∠CFD,∴BD∥CF.
∵DF∥BC,∴四边形DBCF是平行四边形.
(2)连接AE.
∵∠ADF＝∠B,∠ADF＝∠AEF,
∴∠AEF＝∠B.
∵四边形AECF是☉O的内接四边形,
∴∠ECF＋∠EAF＝180°.
∵BD∥CF,∴∠ECF＋∠B＝180°,
∴∠EAF＝∠B,∴∠AEF＝∠EAF,∴AF＝EF.
21.如图,在△ABC中,∠B＝60°,☉O是△ABC的外接圆,P是☉O的直径CD延长线上的一点,且AP＝AC.
(1)求证:PA是☉O的切线;
(2)求证:D是PO的中点.
证明:(1)连接OA,AD.
∵CD是☉O的直径,∴∠CAD＝90°.
∵∠ADC＝∠ABC＝60°,∴∠ACD＝30°.
∵AP＝AC,∴∠P＝∠ACD＝30°,
∴∠PAD＝∠ADC－∠P＝60°－30°＝30°.
∵OD＝OA,∴∠OAD＝∠ODA＝60°,
∴∠PAO＝∠PAD＋∠OAD＝30°＋60°＝90°,
∴PA是☉O的切线.
(2)由(1)知,∠P＝30°,∠PAD＝30°,∴AD＝PD.
在△OAD中,∠ADO＝60°,OD＝OA,∴△OAD是等边三角形,∴OD＝AD,∴PD＝OD,即D是PO的中点.
22.如图,PA,PB是☉O的切线,CD切☉O于点E,△PCD的周长为12,∠APB＝60°,求:
(1)PA的长;
(2)∠COD的度数.
解:(1)∵CA,CE都是☉O的切线,∴CA＝CE,
同理DE＝DB,PA＝PB,
∴△PCD的周长为PD＋CD＋PC＝PD＋PC＋CA＋BD＝PA＋PB＝2PA＝12,∴PA的长为6.
(2)∵∠P＝60°,∴∠PCE＋∠PDE＝120°,
∴∠ACD＋∠CDB＝360°－120°＝240°.
∵CA,CE是☉O的切线,
∴∠OCE＝∠OCA＝12∠ACD.
同理∠ODE＝12∠CDB,
∴∠OCE＋∠ODE＝12(∠ACD＋∠CDB)＝120°,
∴∠COD＝180°－120°＝60°.
23.如图,☉O外接于正方形ABCD,P为AD上一点,且AP＝1,PC＝3,求正方形ABCD的边长和PB的长.
解:连接AC,过点A作AE⊥PB于点E.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB＝BC＝CD＝AD,∠ABC＝∠D＝∠BCD＝90°,∠ACB＝45°,
∴AC是☉O的直径,△ABC是等腰直角三角形,
∴∠APC＝90°,AC＝2AB.
∵AP＝1,PC＝3,
∴在Rt△APC中,AC＝AP2＋PC2＝10,
∴AB＝22AC＝5.
∵∠APB＝∠ACB＝45°,AE⊥PB,
∴△APE是等腰直角三角形,
∴PE＝AE＝22AP＝22,
∴在Rt△ABE中,BE＝AB2-AE2＝322,
∴PB＝PE＋BE＝22.
24.(2020·济宁)我们把方程(x－m)2＋(y－n)2＝r2称为圆心为(m，n)、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为(1，－2)、半径长为3的圆的标准方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝9.在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为(8，0)，与y轴相切于点D(0，4)，过点A，B，D的抛物线的顶点为点E.
(1)求⊙C的标准方程；
解：如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于点M.
设⊙C的半径为r.
∵⊙C与y轴相切于点D(0，4)，
∴CD⊥OD，OD＝4.
∵∠CDO＝∠CMO＝∠DOM＝90°，
∴四边形ODCM是矩形．
∴CM＝OD＝4，CD＝OM＝r.
∵B(8，0)，∴OB＝8.
∴BM＝8－r.
在Rt△CMB中，∵BC2＝CM2＋BM2，
∴r2＝42＋(8－r)2，解得r＝5.
∴C(5，4)．
∴⊙C的标准方程为(x－5)2＋(y－4)2＝25.
(2)试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．
解：AE是⊙C的切线．
理由：如图，连接AC，CE.
易知C，M，E三点共线．
∵CM⊥AB，∴AM＝BM＝3.
∴OA＝2. ∴A(2，0)．
设抛物线的解析式为y＝a(x－2)(x－8)，
把点D(0，4)的坐标代入y＝a(x－2)(x－8)，解得a＝.
∴抛物线的解析式为
y＝(x－2)·(x－8)＝x2－x＋4＝(x－5)2－.
∴抛物线的顶点E.
∴ME＝.
∴AE＝＝，
CE＝4＋＝.
又∵AC＝5，
∴EC2＝AC2＋AE2.
∴∠CAE＝90°，即CA⊥AE.
∴AE是⊙C的切线．
25.如图,在平面直角坐标系中,以点A(3,0)为圆心、5为半径作☉A,与y轴的正半轴交于点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求△AOB的内切圆半径;
(3)将☉A在平面直角坐标系内平移,使其与x轴、y轴都相切,记平移后的圆的圆心为A1,求AA1的长.
解:(1)连接AB.
在Rt△OAB中,OB＝AB2-OA2＝52-32＝4,
∴点B的坐标为(0,4).
(2)设△AOB的内切圆半径为r.
∴3r2＋4r2＋5r2＝6,解得r＝1,
∴△AOB的内切圆半径为1.
(3)∵☉A1与x轴、y轴都相切,而☉A1的半径为5,
∴点A1的坐标为(5,5)或(－5,5)或(－5,－5)或(5,－5),
若点A1的坐标为(5,5),
则AA1＝(5-3)2＋52＝29;
若点A1的坐标为(－5,5),
则AA1＝(-5-3)2＋52＝89;
若点A1的坐标为(－5,－5),
则AA1＝(-5-3)2＋52＝89;
若点A1的坐标为(5,－5),
则AA1＝(5-3)2＋52＝29.
综上所述,AA1的长为29或89.
第24章 圆
章末复习
知识网络
圆有关概念圆的两种概念弧:优弧、半圆、劣弧弦:弦与直径的关系基本性质对称性垂径定理及推论弧、弦、圆心角关系定理及推论圆周角定理及推论点与圆的位置关系点在圆内、圆上、圆外 的三个点确定一个圆三角形的外接圆直线与圆的位置关系位置关系:相离、相切、相交切线性质:①有唯一公共点;② ;③d＝r切线的判定:① ;②d＝r;③过半径外端点,垂直于半径切线长定理:①切线长的概念;②切线长定理;③三角形的内切圆正多边形与圆:①正多边形的有关计算;②正多边形的画法弧长与扇形面积弧长公式:l＝ ;扇形面积公式:S＝ ＝ 圆锥的侧面积和全面积
中考演练
一、选择题
1.(长沙中考)一个扇形的半径为6,圆心角为120°,则该扇形的面积是( )
A.2π B.4π C.12π D.24π
2.(阜新中考)如图,CB为☉O的切线,点B为切点,CO的延长线交☉O于点A,若∠A=25°,则∠C的度数是( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.[陕西中考]如图,△ABC内接于☉O,∠A＝50°,E是边BC的中点,连接OE并延长,交☉O于点D,连接BD,则∠D的大小为 ( )
A.55° B.65° C.60° D.75°
4.(柳州中考)如图,A,B,C,D是☉O上的点,则图中与∠A相等的角是( )
A.∠B B.∠C C.∠DEB D.∠D
5.(2020·青海)如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是( )
A．3.6 B．1.8 C．3 D．6
6.(2020·云南)如图,正方形ABCD的边长为4,以点A为圆心,AD为半径,画圆弧DE得到扇形DAE(阴影部分,点E在对角线AC上).若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的半径是 ( )
A.2 B.1 C.22 D.12
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
7.[巴中中考]如图,在☉O中,点A,B,C在圆上,∠ACB＝45°,AB＝22,则☉O的半径OA的长是 ( )
A.2 B.2 C.22 D.3
8.[济南中考]如图,在菱形ABCD中,E是BC的中点,以点C为圆心、CE为半径作弧,交CD于点F,连接AE,AF.若AB＝6,∠B＝60°,则阴影部分的面积为 ( )
A.93－3π B.93－2π C.183－9π D.183－6π
9.[临沂中考]如图,在☉O中,AB为直径,∠AOC＝80°,D为弦AC的中点,E为BC上任意一点,则∠CED的大小可能是 ( )
A.10° B.20° C.30° D.40°
10.(2020·湖北黄石)如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E.若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为 ( )
A.140° B.70° C.110° D.80°
第10题图 第11题图 第12题图
11.(2020·江苏徐州)如图,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,OC⊥OA,OC交AB于点P.若∠BPC=70°,则∠ABC的度数等于 ( )
A.75° B.70° C.65° D.60°
12.(中考·山西)如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为( )
A．4π－4 B．4π－8 C．8π－4 D．8π－8
二、填空题
13.(鞍山中考)如图,AC是☉O的直径,B,D是☉O上的点.若☉O的半径为3,∠ADB=30°,则BC的长为 .
第13题图 第14题图 第15题图 第17题图
14.(盘锦中考)如图,△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,OD⊥AC于点D,连接BD,半径OE⊥BC,连接EA,EA⊥BD于点F.若OD=2,则BC= .
15.(贵阳中考)如图,用等分圆的方法,在半径为OA的圆中,画出了如图所示的四叶幸运草,若OA=2,则四叶幸运草的周长是 .
16.(绥化中考)用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面,若这个圆锥的底面半径恰好等于4,则这个圆锥的母线长为 .
17.(福建中考)如图,边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的☉O的圆心重合,E,F分别是AD,BA的延长线与☉O的交点,则图中阴影部分的面积是 .(结果保留π)
18.[泰州中考]如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成,点A,B,C在平面直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(－3,3),(7,－2),则△ABC内心的坐标为 .
19.[牡丹江中考]AB是☉O的弦,OM⊥AB,垂足为M,连接OA.若△AOM中有一个角是30°,OM＝23,则弦AB的长为 .
第18题图 第20题图 第21题图 第22题图
20.[绥化中考]如图,正五边形ABCDE内接于☉O,P为DE上一点(点P与点D,E不重合),连接PC,PD,DG⊥PC,垂足为G,则∠PDG等于 .
21.[朝阳中考]如图,A,B,C是☉O上的点,连接AB,AC,BC,且∠ACB＝15°,过点O作OD∥AB交☉O于点D,连接AD,BD.已知☉O的半径为2,则图中阴影部分的面积为 .
22.[广东中考]如图,从一块半径为1 m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC,如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的底面圆的半径为 m.
23.(2019·安徽)如图,△ABC内接于☉O,∠CAB=30°,∠CBA=45°,CD⊥AB于点D.若☉O的半径为2,则CD的长为 .
第23题图 第24题图
24.(2020·江苏徐州)如图,A,B,C,D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心.若∠ADB=18°,则这个正多边形的边数为 .
三、解答题
25.(郴州中考)如图,已知AB是☉O的直径,CD与☉O相切于点D,且AD∥OC.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)延长CO交☉O于点E.若∠CEB=30°,☉O的半径为2,求BD的长.(结果保留π)
26.(济南中考)如图,AB,CD是☉O的两条直径,过点C的☉O的切线交AB的延长线于点E,连接AC,BD.
(1)求证:∠ABD=∠CAB;
(2)若B是OE的中点,AC=12,求☉O的半径.
27.[深圳中考]如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D.连接BC并延长,交AD的延长线于点E.
(1)求证:AE＝AB;
(2)若AB＝10,BC＝6,求CD的长.
28.[辽阳中考]如图,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,连接AE,AD,DE,过点A作射线交BE的延长线于点C,使∠EAC＝∠EDA.
(1)求证:AC是☉O的切线;
(2)若CE＝AE＝23,求阴影部分的面积.
29.[绵阳中考]如图,AB是☉O的直径,C为BD的中点,CF为☉O的弦,且CF⊥AB,垂足为E,连接BD交CF于点G,连接CD,AD,BF.
(1)求证:△BFG≌△CDG;
(2)若AD＝BE＝2,求BF的长.
达标练习
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．直径是弦，弦也是直径
B．半圆是弧，弧是半圆
C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径
D．在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍
2.已知圆锥底面圆的半径为2，母线长是4，则它的全面积为( )
A．4π B．8π C．12π D．16π
3.如图,已知CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,CE＝1,直径为10,则弦AB的长为 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
第3题图 第5题图 第6题图 第7题图
4.在数轴上,点A所表示的实数为2,点B所表示的实数为a,☉A的半径为3.若点B在☉A外,则a的值可能是( )
A.-1 B.0 C.5 D.6
5.如图,A,D,B,C是☉O上的四个点,连接AB,CD交于点E.若∠BOD＝40°,∠AOC＝120°,则∠AEC的度数为 ( )
A.70° B.75° C.80° D.85°
6.如图,MN是☉O的直径,A是半圆上的三等分点,B是劣弧AN的中点,P是直径MN上一动点.若MN＝22,AB＝a,则△PAB周长的最小值是( )
A.22＋a B.2＋a
C.1＋a D.2＋a
7.如图,△ABC的内切圆☉O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且AD＝2,BC＝5,则△ABC的周长为 ( )
A.16 B.14
C.12 D.10
8.如图,已知☉O是△ABC的外接圆,☉O的半径为3,∠B=120°,连接OA.若AO∥BC,则AB的长是( )
A.π2 B.π
C.3π2 D.2π
第8题图 第9题图 第10题图
9.如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB，BC，AC于点D，E，F，则AF的长为( )
A．5 B．10 C．7.5 D．4
10.如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为( )
A. π B．3π C. π D．2π
二、填空题
11.如图,☉O的半径为2,AB为☉O的直径,P为AB延长线上一点,过点P作☉O的切线,切点为C.若PC＝23,则BC的长为 .
第11题图 第12题图 第14题图
12.如图,等腰△ABC的底边BC的长为23,顶角∠BAC为120°,以点C为圆心、AC长为半径画弧,交底边BC于点D,则AD的长为 .(结果保留π)
13.同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为 .
14.(黄冈中考)如图，圆锥体的高h＝2cm，底面圆的半径r＝2cm，则圆锥体的全面积为 cm2.
15.已知在半径为1的⊙O中，弦AC＝，弦AB＝则∠CAB＝____________．
三、解答题
16.《九章算术》是中国传统数学的重要著作,奠定了中国传统数学的基本框架.《九章算术》中记载:今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,间径几何?(如图1)阅读完这段文字后,小天画出了一个圆柱截面示意图(如图2),其中OB⊥CD于点A,求间径就是要求☉O的直径,其中AB＝1寸,CD＝1尺(1尺等于10寸).请帮助小天求出☉O的直径.
17.如图,是一张盾构隧道断面结构图.隧道内部为以点O为圆心,AB为直径的圆.隧道内部共分为三层,上层为排烟道,中间为行车隧道,下层为服务层.点A到顶棚的距离为1.6 m,顶棚到路面的距离是6.4 m,点B到路面的距离为4.0 m.请求出路面CD的宽度.(精确到0.1 m)
18.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC＝40°，D是的中点．求∠ACD的度数．
19.如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上任意一点(不与点A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.
(1)弦长AB＝________(结果保留根号)；
(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数．
20.[南京中考]如图,在△ABC中,AC＝BC,D是AB上一点,☉O经过点A,C,D,交BC于点E,过点D作DF∥BC,交☉O于点F.
求证:(1)四边形DBCF是平行四边形;
(2)AF＝EF.
21.如图,在△ABC中,∠B＝60°,☉O是△ABC的外接圆,P是☉O的直径CD延长线上的一点,且AP＝AC.
(1)求证:PA是☉O的切线;
(2)求证:D是PO的中点.
22.如图,PA,PB是☉O的切线,CD切☉O于点E,△PCD的周长为12,∠APB＝60°,求:
(1)PA的长;
(2)∠COD的度数.
23.如图,☉O外接于正方形ABCD,P为AD上一点,且AP＝1,PC＝3,求正方形ABCD的边长和PB的长.
24.(2020·济宁)我们把方程(x－m)2＋(y－n)2＝r2称为圆心为(m，n)、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为(1，－2)、半径长为3的圆的标准方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝9.在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为(8，0)，与y轴相切于点D(0，4)，过点A，B，D的抛物线的顶点为点E.
(1)求⊙C的标准方程；
(2)试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．
25.如图,在平面直角坐标系中,以点A(3,0)为圆心、5为半径作☉A,与y轴的正半轴交于点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求△AOB的内切圆半径;
(3)将☉A在平面直角坐标系内平移,使其与x轴、y轴都相切,记平移后的圆的圆心为A1,求AA1的长.
参考答案
知识网络
圆有关概念圆的两种概念弧:优弧、半圆、劣弧弦:弦与直径的关系基本性质对称性垂径定理及推论弧、弦、圆心角关系定理及推论圆周角定理及推论点与圆的位置关系点在圆内、圆上、圆外 不在同一直线上 的三个点确定一个圆三角形的外接圆直线与圆的位置关系位置关系:相离、相切、相交切线性质:①有唯一公共点;② 垂直于半径 ;③d＝r切线的判定:① 有唯一公共点 ;②d＝r;③过半径外端点,垂直于半径切线长定理:①切线长的概念;②切线长定理;③三角形的内切圆正多边形与圆:①正多边形的有关计算;②正多边形的画法弧长与扇形面积弧长公式:l＝ nπR180 ;扇形面积公式:S＝ nπR2360 ＝ 12lR 圆锥的侧面积和全面积
中考演练
一、选择题
1.(长沙中考)一个扇形的半径为6,圆心角为120°,则该扇形的面积是( C )
A.2π B.4π C.12π D.24π
2.(阜新中考)如图,CB为☉O的切线,点B为切点,CO的延长线交☉O于点A,若∠A=25°,则∠C的度数是( D )
A.25° B.30° C.35° D.40°
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.[陕西中考]如图,△ABC内接于☉O,∠A＝50°,E是边BC的中点,连接OE并延长,交☉O于点D,连接BD,则∠D的大小为 (B)
A.55° B.65° C.60° D.75°
4.(柳州中考)如图,A,B,C,D是☉O上的点,则图中与∠A相等的角是( D )
A.∠B B.∠C C.∠DEB D.∠D
5.(2020·青海)如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是( A )
A．3.6 B．1.8 C．3 D．6
6.(2020·云南)如图,正方形ABCD的边长为4,以点A为圆心,AD为半径,画圆弧DE得到扇形DAE(阴影部分,点E在对角线AC上).若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的半径是 (D)
A.2 B.1 C.22 D.12
【解析】由题意知DE的长=45π×4180=π.设该圆锥底面圆的半径为r,则2πr=π,解得r=12.
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
7.[巴中中考]如图,在☉O中,点A,B,C在圆上,∠ACB＝45°,AB＝22,则☉O的半径OA的长是 (B)
A.2 B.2 C.22 D.3
8.[济南中考]如图,在菱形ABCD中,E是BC的中点,以点C为圆心、CE为半径作弧,交CD于点F,连接AE,AF.若AB＝6,∠B＝60°,则阴影部分的面积为 (A)
A.93－3π B.93－2π C.183－9π D.183－6π
9.[临沂中考]如图,在☉O中,AB为直径,∠AOC＝80°,D为弦AC的中点,E为BC上任意一点,则∠CED的大小可能是 (C)
A.10° B.20° C.30° D.40°
10.(2020·湖北黄石)如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E.若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为 ( )
A.140° B.70° C.110° D.80°
【解析】如图,在优弧AB上取一点P,连接AP,BP.∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90°.∵∠DCE=40°,∴∠AOB=140°,∴∠P=12∠AOB=70°.∵A,C,B,P四点共圆,∴∠P+∠ACB=180°,
∴∠ACB=110°.
【答案】 C
第10题图 第11题图 第12题图
11.(2020·江苏徐州)如图,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,OC⊥OA,OC交AB于点P.若∠BPC=70°,则∠ABC的度数等于 (B)
A.75° B.70° C.65° D.60°
【解析】∵∠BPC=70°,∴∠APO=70°.∵OC⊥OA,∴∠AOP=90°,∴∠A=20°.∵OA=OB,∴∠ABO=∠A=20°.∵BC为☉O的切线,∴∠OBC=90°,∴∠ABC=70°.
12.(中考·山西)如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为( )
A．4π－4 B．4π－8 C．8π－4 D．8π－8
【解析】利用对称性可知：
S阴影＝S扇形AEF－S△ABD＝－×2×2×2＝4π－4.
二、填空题
13.(鞍山中考)如图,AC是☉O的直径,B,D是☉O上的点.若☉O的半径为3,∠ADB=30°,则BC的长为 2π .
第13题图 第14题图 第15题图 第17题图
14.(盘锦中考)如图,△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,OD⊥AC于点D,连接BD,半径OE⊥BC,连接EA,EA⊥BD于点F.若OD=2,则BC= 45 .
15.(贵阳中考)如图,用等分圆的方法,在半径为OA的圆中,画出了如图所示的四叶幸运草,若OA=2,则四叶幸运草的周长是 42π .
16.(绥化中考)用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面,若这个圆锥的底面半径恰好等于4,则这个圆锥的母线长为 12 .
17.(福建中考)如图,边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的☉O的圆心重合,E,F分别是AD,BA的延长线与☉O的交点,则图中阴影部分的面积是 π-1 .(结果保留π)
18.[泰州中考]如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成,点A,B,C在平面直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(－3,3),(7,－2),则△ABC内心的坐标为 (2,3) .
19.[牡丹江中考]AB是☉O的弦,OM⊥AB,垂足为M,连接OA.若△AOM中有一个角是30°,OM＝23,则弦AB的长为 12或4 .
第18题图 第20题图 第21题图 第22题图
20.[绥化中考]如图,正五边形ABCDE内接于☉O,P为DE上一点(点P与点D,E不重合),连接PC,PD,DG⊥PC,垂足为G,则∠PDG等于 54° .
21.[朝阳中考]如图,A,B,C是☉O上的点,连接AB,AC,BC,且∠ACB＝15°,过点O作OD∥AB交☉O于点D,连接AD,BD.已知☉O的半径为2,则图中阴影部分的面积为 π3 .
22.[广东中考]如图,从一块半径为1 m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC,如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的底面圆的半径为 13 m.
23.(2019·安徽)如图,△ABC内接于☉O,∠CAB=30°,∠CBA=45°,CD⊥AB于点D.若☉O的半径为2,则CD的长为 2 .
【解析】如图,连接CO并延长交☉O于点E,连接AE,则∠E=∠B=45°.因为CE是☉O的直径,所以∠CAE=90°,所以AC=4×22=22.因为∠CAB=30°,CD⊥AB,所以CD=12AC=2.
第23题图 第24题图
24.(2020·江苏徐州)如图,A,B,C,D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心.若∠ADB=18°,则这个正多边形的边数为 .
【解析】连接OA,OB.∵A,B,C,D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心,∴点A,B,C,D在以点O为圆心,OA为半径的同一个圆上.∵∠ADB=18°,∴∠AOB=2∠ADB=36°,∴这个正多边形的边数=360°36°=10.
【答案】 10
三、解答题
25.(郴州中考)如图,已知AB是☉O的直径,CD与☉O相切于点D,且AD∥OC.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)延长CO交☉O于点E.若∠CEB=30°,☉O的半径为2,求BD的长.(结果保留π)
解:(1)连接OD,∵CD与☉O相切于点D,∴∠ODC=90°.
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.
∵AD∥OC,∴∠COB=∠OAD,∠COD=∠ODA,
∴∠COD=∠COB.
又∵OD=OB,OC=OC,∴△COD≌△COB(SAS),
∴∠ODC=∠OBC=90°,∴BC是☉O的切线.
(2)∵∠CEB=30°,∴∠COB=60°.
∵∠COB=∠COD,∴∠BOD=120°,∴BD的长=120π·2180=43π.
26.(济南中考)如图,AB,CD是☉O的两条直径,过点C的☉O的切线交AB的延长线于点E,连接AC,BD.
(1)求证:∠ABD=∠CAB;
(2)若B是OE的中点,AC=12,求☉O的半径.
解:(1)∵OB=OD,∴∠ABD=∠CDB.
∵∠CDB=∠CAB,∴∠ABD=∠CAB.
(2)连接BC.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵CE是☉O的切线,∴∠OCE=90°.
∵B是OE的中点,∴BC=OB,∴△OBC为等边三角形,
∴∠ABC=60°,∴∠A=30°,∴BC=33AC=43,
∴OB=43,即☉O的半径为43.
27.[深圳中考]如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D.连接BC并延长,交AD的延长线于点E.
(1)求证:AE＝AB;
(2)若AB＝10,BC＝6,求CD的长.
解:(1)连接AC,OC.
∵CD为切线,∴OC⊥CD.
∵CD⊥AD,∴OC∥AD,∴∠OCB＝∠E.
∵OB＝OC,∴∠OCB＝∠B,
∴∠B＝∠E,∴AE＝AB.
(2)∵AB为直径,∴∠ACB＝90°.
在Rt△ACB中,AB＝10,BC＝6,
∴AC＝AB2-BC2＝8.
∵AB＝AE＝10,∴CE＝BC＝6.
∵S△ACE＝12CD·AE＝12AC·CE,
∴CD＝245.
28.[辽阳中考]如图,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,连接AE,AD,DE,过点A作射线交BE的延长线于点C,使∠EAC＝∠EDA.
(1)求证:AC是☉O的切线;
(2)若CE＝AE＝23,求阴影部分的面积.
解:(1)连接OA,过点O作OF⊥AE于点F,
∴∠AFO＝90°,∴∠EAO＋∠AOF＝90°.
∵OA＝OE,∴∠EOF＝∠AOF＝12∠AOE.
∵∠EDA＝12∠AOE,∴∠EDA＝∠AOF.
∵∠EAC＝∠EDA,∴∠EAC＝∠AOF,
∴∠EAO＋∠EAC＝90°,即∠CAO＝90°,
∴OA⊥AC,∴AC是☉O的切线.
(2)∵CE＝AE＝23,∴∠C＝∠EAC,
∴∠AEO＝2∠EAC,∴∠EAO＝2∠EAC.
又∵∠EAO＋∠EAC＝90°,
∴∠EAC＝30°,∠EAO＝60°,
∴△OAE是等边三角形,
∴∠EOA＝60°,OA＝23,
∴S扇形AOE＝60·π×(23)2360＝2π,
S△AOE＝12×23×3＝33,
∴阴影部分的面积＝S扇形AOE－S△AOE＝2π－33.
29.[绵阳中考]如图,AB是☉O的直径,C为BD的中点,CF为☉O的弦,且CF⊥AB,垂足为E,连接BD交CF于点G,连接CD,AD,BF.
(1)求证:△BFG≌△CDG;
(2)若AD＝BE＝2,求BF的长.
解:(1)∵C为BD的中点,∴CD＝BC.
∵AB是☉O的直径,且CF⊥AB,∴BC＝BF,
∴CD＝BF,∴CD＝BF.
在△BFG和△CDG中,∠F＝∠CDG,∠FGB＝∠DGC,BF＝CD,
∴△BFG≌△CDG(AAS).
(2)连接OF,设☉O的半径为r,
在Rt△ADB中,BD2＝AB2－AD2,即BD2＝(2r)2－22,
在Rt△OEF中,OF2＝OE2＋EF2,即EF2＝r2－(r－2)2.
∵CD＝BC＝BF,∴BD＝CF,∴BD＝CF,
∴BD2＝CF2＝(2EF)2＝4EF2,
即(2r)2－22＝4[r2－(r－2)2],
解得r＝1(舍)或r＝3,
∴BF2＝EF2＋BE2＝32－(3－2)2＋22＝12,
∴BF＝23.
达标练习
一、选择题
1．下列说法正确的是( D )
A．直径是弦，弦也是直径
B．半圆是弧，弧是半圆
C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径
D．在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍
2.已知圆锥底面圆的半径为2，母线长是4，则它的全面积为( C )
A．4π B．8π C．12π D．16π
3.如图,已知CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,CE＝1,直径为10,则弦AB的长为 (A)
A.6 B.8 C.10 D.12
第3题图 第5题图 第6题图 第7题图
4.在数轴上,点A所表示的实数为2,点B所表示的实数为a,☉A的半径为3.若点B在☉A外,则a的值可能是( D )
A.-1 B.0 C.5 D.6
5.如图,A,D,B,C是☉O上的四个点,连接AB,CD交于点E.若∠BOD＝40°,∠AOC＝120°,则∠AEC的度数为 (C)
A.70° B.75° C.80° D.85°
6.如图,MN是☉O的直径,A是半圆上的三等分点,B是劣弧AN的中点,P是直径MN上一动点.若MN＝22,AB＝a,则△PAB周长的最小值是(D)
A.22＋a B.2＋a
C.1＋a D.2＋a
7.如图,△ABC的内切圆☉O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且AD＝2,BC＝5,则△ABC的周长为 (B)
A.16 B.14
C.12 D.10
8.如图,已知☉O是△ABC的外接圆,☉O的半径为3,∠B=120°,连接OA.若AO∥BC,则AB的长是( B )
A.π2 B.π
C.3π2 D.2π
第8题图 第9题图 第10题图
9.如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB，BC，AC于点D，E，F，则AF的长为( A )
A．5 B．10 C．7.5 D．4
10.如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为( )
A. π B．3π C. π D．2π
【点拨】本题运用，五个圆的空白部分的面积之和S＝＝π
,所以图中阴影部分的面积之和为5π×12－π＝π.
二、填空题
11.如图,☉O的半径为2,AB为☉O的直径,P为AB延长线上一点,过点P作☉O的切线,切点为C.若PC＝23,则BC的长为 2 .
第11题图 第12题图 第14题图
12.如图,等腰△ABC的底边BC的长为23,顶角∠BAC为120°,以点C为圆心、AC长为半径画弧,交底边BC于点D,则AD的长为 π3 .(结果保留π)
13.同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为 .
【答案】2:1
14.(黄冈中考)如图，圆锥体的高h＝2cm，底面圆的半径r＝2cm，则圆锥体的全面积为 cm2.
【答案】12π
15.已知在半径为1的⊙O中，弦AC＝，弦AB＝则∠CAB＝____________．
【点拨】利用对称性可知：如图，当圆心O在∠CAB的外部时，连接OA，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F. 由垂径定理和勾股定理可求得OE＝OA，OF＝FA，∴∠BAO＝30°，∠CAO＝45°.∴∠CAB＝15°.同理可得，当圆心O在∠CAB的内部时，∠CAB1＝75°.
【答案】15°或75°
三、解答题
16.《九章算术》是中国传统数学的重要著作,奠定了中国传统数学的基本框架.《九章算术》中记载:今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,间径几何?(如图1)阅读完这段文字后,小天画出了一个圆柱截面示意图(如图2),其中OB⊥CD于点A,求间径就是要求☉O的直径,其中AB＝1寸,CD＝1尺(1尺等于10寸).请帮助小天求出☉O的直径.
解:连接OC.
∵OB⊥CD,CD＝10,∴AC＝AD＝12CD＝5.
设OC＝OB＝x,则OA＝x－1.
在Rt△AOC中,由OA2＋CA2＝OC2,得(x－1)2＋52＝x2,解得x＝13,
∴☉O的直径为26寸.
17.如图,是一张盾构隧道断面结构图.隧道内部为以点O为圆心,AB为直径的圆.隧道内部共分为三层,上层为排烟道,中间为行车隧道,下层为服务层.点A到顶棚的距离为1.6 m,顶棚到路面的距离是6.4 m,点B到路面的距离为4.0 m.请求出路面CD的宽度.(精确到0.1 m)
解:连接OC,AB交CD于点E.
由题意知AB＝1.6＋6.4＋4＝12,
∴OC＝OB＝12AB＝6,∴OE＝OB－BE＝2,
∴在Rt△OCE中,CE＝OC2-OE2＝42.
∵AB⊥CD,∴CD＝2CE＝82≈11.3.
答:路面CD的宽度为11.3 m.
18.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC＝40°，D是的中点．求∠ACD的度数．
解：∵∠AOC＝40°，OC＝OA，
∴∠BOC＝180°－40°＝140°，
∠CAO＝∠ACO＝(180°－40°)＝70°.
如图，连接OD.
∵D是BC的中点，
∴∠COD＝∠BOC＝70°.
又∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD＝＝55°.
∴∠ACD＝∠ACO＋∠OCD＝70°＋55°＝125°.
19.如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上任意一点(不与点A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.
(1)弦长AB＝________(结果保留根号)；
(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数．
解：如图，连接OA.
∵OA＝OB，OA＝OD，
∴∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D.
∴∠BAD＝∠BAO＋∠DAO＝∠B＋∠D.
又∵∠B＝30°，∠D＝20°，∴∠BAD＝50°.
∴∠BOD＝2∠BAD＝100°.
20.[南京中考]如图,在△ABC中,AC＝BC,D是AB上一点,☉O经过点A,C,D,交BC于点E,过点D作DF∥BC,交☉O于点F.
求证:(1)四边形DBCF是平行四边形;
(2)AF＝EF.
证明:(1)∵AC＝BC,∴∠BAC＝∠B.
∵DF∥BC,∴∠ADF＝∠B.
∵∠BAC＝∠CFD,
∴∠ADF＝∠CFD,∴BD∥CF.
∵DF∥BC,∴四边形DBCF是平行四边形.
(2)连接AE.
∵∠ADF＝∠B,∠ADF＝∠AEF,
∴∠AEF＝∠B.
∵四边形AECF是☉O的内接四边形,
∴∠ECF＋∠EAF＝180°.
∵BD∥CF,∴∠ECF＋∠B＝180°,
∴∠EAF＝∠B,∴∠AEF＝∠EAF,∴AF＝EF.
21.如图,在△ABC中,∠B＝60°,☉O是△ABC的外接圆,P是☉O的直径CD延长线上的一点,且AP＝AC.
(1)求证:PA是☉O的切线;
(2)求证:D是PO的中点.
证明:(1)连接OA,AD.
∵CD是☉O的直径,∴∠CAD＝90°.
∵∠ADC＝∠ABC＝60°,∴∠ACD＝30°.
∵AP＝AC,∴∠P＝∠ACD＝30°,
∴∠PAD＝∠ADC－∠P＝60°－30°＝30°.
∵OD＝OA,∴∠OAD＝∠ODA＝60°,
∴∠PAO＝∠PAD＋∠OAD＝30°＋60°＝90°,
∴PA是☉O的切线.
(2)由(1)知,∠P＝30°,∠PAD＝30°,∴AD＝PD.
在△OAD中,∠ADO＝60°,OD＝OA,∴△OAD是等边三角形,∴OD＝AD,∴PD＝OD,即D是PO的中点.
22.如图,PA,PB是☉O的切线,CD切☉O于点E,△PCD的周长为12,∠APB＝60°,求:
(1)PA的长;
(2)∠COD的度数.
解:(1)∵CA,CE都是☉O的切线,∴CA＝CE,
同理DE＝DB,PA＝PB,
∴△PCD的周长为PD＋CD＋PC＝PD＋PC＋CA＋BD＝PA＋PB＝2PA＝12,∴PA的长为6.
(2)∵∠P＝60°,∴∠PCE＋∠PDE＝120°,
∴∠ACD＋∠CDB＝360°－120°＝240°.
∵CA,CE是☉O的切线,
∴∠OCE＝∠OCA＝12∠ACD.
同理∠ODE＝12∠CDB,
∴∠OCE＋∠ODE＝12(∠ACD＋∠CDB)＝120°,
∴∠COD＝180°－120°＝60°.
23.如图,☉O外接于正方形ABCD,P为AD上一点,且AP＝1,PC＝3,求正方形ABCD的边长和PB的长.
解:连接AC,过点A作AE⊥PB于点E.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB＝BC＝CD＝AD,∠ABC＝∠D＝∠BCD＝90°,∠ACB＝45°,
∴AC是☉O的直径,△ABC是等腰直角三角形,
∴∠APC＝90°,AC＝2AB.
∵AP＝1,PC＝3,
∴在Rt△APC中,AC＝AP2＋PC2＝10,
∴AB＝22AC＝5.
∵∠APB＝∠ACB＝45°,AE⊥PB,
∴△APE是等腰直角三角形,
∴PE＝AE＝22AP＝22,
∴在Rt△ABE中,BE＝AB2-AE2＝322,
∴PB＝PE＋BE＝22.
24.(2020·济宁)我们把方程(x－m)2＋(y－n)2＝r2称为圆心为(m，n)、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为(1，－2)、半径长为3的圆的标准方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝9.在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为(8，0)，与y轴相切于点D(0，4)，过点A，B，D的抛物线的顶点为点E.
(1)求⊙C的标准方程；
解：如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于点M.
设⊙C的半径为r.
∵⊙C与y轴相切于点D(0，4)，
∴CD⊥OD，OD＝4.
∵∠CDO＝∠CMO＝∠DOM＝90°，
∴四边形ODCM是矩形．
∴CM＝OD＝4，CD＝OM＝r.
∵B(8，0)，∴OB＝8.
∴BM＝8－r.
在Rt△CMB中，∵BC2＝CM2＋BM2，
∴r2＝42＋(8－r)2，解得r＝5.
∴C(5，4)．
∴⊙C的标准方程为(x－5)2＋(y－4)2＝25.
(2)试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．
解：AE是⊙C的切线．
理由：如图，连接AC，CE.
易知C，M，E三点共线．
∵CM⊥AB，∴AM＝BM＝3.
∴OA＝2. ∴A(2，0)．
设抛物线的解析式为y＝a(x－2)(x－8)，
把点D(0，4)的坐标代入y＝a(x－2)(x－8)，解得a＝.
∴抛物线的解析式为
y＝(x－2)·(x－8)＝x2－x＋4＝(x－5)2－.
∴抛物线的顶点E.
∴ME＝.
∴AE＝＝，
CE＝4＋＝.
又∵AC＝5，
∴EC2＝AC2＋AE2.
∴∠CAE＝90°，即CA⊥AE.
∴AE是⊙C的切线．
25.如图,在平面直角坐标系中,以点A(3,0)为圆心、5为半径作☉A,与y轴的正半轴交于点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求△AOB的内切圆半径;
(3)将☉A在平面直角坐标系内平移,使其与x轴、y轴都相切,记平移后的圆的圆心为A1,求AA1的长.
解:(1)连接AB.
在Rt△OAB中,OB＝AB2-OA2＝52-32＝4,
∴点B的坐标为(0,4).
(2)设△AOB的内切圆半径为r.
∴3r2＋4r2＋5r2＝6,解得r＝1,
∴△AOB的内切圆半径为1.
(3)∵☉A1与x轴、y轴都相切,而☉A1的半径为5,
∴点A1的坐标为(5,5)或(－5,5)或(－5,－5)或(5,－5),
若点A1的坐标为(5,5),
则AA1＝(5-3)2＋52＝29;
若点A1的坐标为(－5,5),
则AA1＝(-5-3)2＋52＝89;
若点A1的坐标为(－5,－5),
则AA1＝(-5-3)2＋52＝89;
若点A1的坐标为(5,－5),
则AA1＝(5-3)2＋52＝29.
综上所述,AA1的长为29或89.
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