2020-2021学年21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学案

第二十一章  一元二次方程

21.2 解一元二次方程

21.2.4  一元二次方程的根与系数的关系

学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.

2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.

重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.

难点：利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.

一、知识链接

1.一元二次方程的求根公式是什么？

2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？

二、要点探究

探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系

算一算  解下列方程并完成填空.

(1)x2+3x－4=0；     (2)x2－5x+6=0；    (3)2x2+3x+1=0.

想一想 方程的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？

猜一猜

1. 若一元二次方程的两根为x1，x2，则有x－x1=0，且x－x2=0，那么方程(x－x1)(x－x2)=0(x1，x2为已知数)的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？

2.通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？

要点归纳：一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)

如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么，.(前提条件是b2－4ac≥0)

探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用

典例精析

例1  (教材P16例4)利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.

(1) x2–6x–15 = 0；    (2) 3x2+7x－9 = 0；     (3) 5x–1 = 4x2.

方法总结：在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可.

例2  已知方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.

变式题  已知方程3x2－18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.

例3  不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.

练一练   设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则：

(1)         ，      (2)        ，

(3)         ，     (4)        .

方法总结：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.

例4  设x1，x2是方程 x2 －2(k － 1)x + k2 =0 的两个实数根，且4，求k的值.

方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母应该满足△≥0.

三、课堂小结

1已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p =    ， q=    .

2.如果－1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是    ，m =    .

3.已知方程 3x2－19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.

4.已知x1，x2是方程2x2+2kx+k－1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4；

  (1)求k的值；  (2)求(x1－x2)2的值.

5.设x1，x2是方程3x2+4x－3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值.

 (1) (x1 + 1)(x2 + 1)；      (2)

拓展提升

6. 当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根差为1.

7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m -2=0

 (1)若方程有实数根,求实数m的取值范围.

 (2)若方程两根x1，x2满足|x1-x2|= 1 求m的值.

1.当≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为.

2.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根.

课堂探究

二、要点探究

探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系

想一想

猜一猜

1.方程(x－x1)(x－x2)=0(x1，x2为已知数)的两根是x=x1或x=x2.

(x－x1)(x－x2)=x2-(x1+x2)x+x1x2=0,x1+x2=-p，x1x2=q.

2.x1+x2=，x1x2=.

探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用

典例精析

例1 解：（1）这里 a=1 , b= – 6 , c= – 15 .Δ = b2- 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1 + x2 = –( – 6 ) =6，x1 x2 = – 15 .

（2）这里a = 3 , b =7, c = -9.Δ=b2  - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0，∴方程有两个实数根.

设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1 + x2 =，  x1 x2 =.

（3）方程可化为4x2 – 5x +1 =0，这里 a =4， b = – 5，c = 1.Δ = b2  - 4ac =(– 5)2 – 4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1， x2，那么x1 + x2 =，  x1 x2 =

例2 解：设方程的两个根分别是x1，x2，其中x1=2 . 所以x1 x2 =2x2=即x2 =由于x1 + x2=2+ = 得k=－7.答：方程的另一个根是k=－7.

变式题  解：设方程的两个根分别是x1，x2，，其中x1=1.所以x1 + x2=1+ x2=6，即 x2=5 .                 

由于x1 x2=1×5= 得m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.

例3  解：根据根与系数的关系可知：   

（1）∵∴

（2）

练一练  （1）4  （2）1  （3）14  （4）12

例4 解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0，即 -8k + 4 ≥ 0.由根与系数的关系得x1 + x2 = 2(k -1) ,  x1 x2 =k 2.∴ = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.由 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4，解得 k1= 0， k2 = 4 .经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.所以k=0.

当堂检测

1.1  -2   2.  -3   

3.解：将x = 1代入方程中3 -19 + m = 0.解得m =  16，设另一个根为x1，则

4.解：(1)根据根与系数的关系得

所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得k=-7；

(2)因为k=-7,所以则

5.   解：根据根与系数的关系得

（1）(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=

（2）

拓展提升

6.解：设方程两根分别为x1，x2（x1＞x2），则x1-x2=1.由根与系数的关系，得

7.解：（1）方程有实数根，所以Δ=b2-4ac=(-2m)2-4·m·（m-2）=4m2-4m2+8m=8m≥0.∵m≠0，∴m的取值范围为m＞0.

（2）∵方程有实数根x1，x2，

解得m=8.经检验，m=8是方程的解.