一轮复习专题2.5 二次函数与幂函数（解析版）教案

05二次函数与幂函数

一、必备知识

1．二次函数解析式的三种形式

(1)一般式：f(x)＝                  (a≠0)；

(2)顶点式：f(x)＝                  (a≠0)；

(3)零点式：f(x)＝                   (a≠0)．

2．二次函数的图象与性质:二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：

(1)对称轴：x＝    ；(2)顶点坐标：        ．

(3)开口方向：a＞0时，开口 　  ，a＜0时，开口       ；

(4)值域：a＞0时，y∈              ，a＜0时，y∈                ；

(5)单调性：

a＞0时，f(x)在          上是减函数，在          上是增函数；

a＜0时，f(x)在上是         ，在上是_____________．

3．二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系

二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的，也是一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0(或ax2＋bx＋c≤0)解集的         ．

4．二次函数在闭区间上的最值

二次函数在闭区间上必有最大值和最小值．

它只能在区间的             或二次函数的         处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值．

5．幂函数

(1)幂函数的定义：一般地，函数________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

(2)几个常用的幂函数的图象与性质

自查自纠：

1．(1)ax2＋bx＋c　(2)a(x－h)2＋k　(3)a(x－x1)(x－x2)

2．(1)－　(2)　(3)向上　向下(4)　

(5)　　增函数　减函数

3．根　端点值

4．端点　顶点

5.(1)y＝xα(2) (0，0)和(1，1)　(1，1)　增函数　减函数

二、题型训练

题组一

1．二次函数的图象上的顶点坐标是______________

【答案】

【解析】

2．二次函数的顶点坐标是_____________。

【答案】(－1,2)

【解析】

3．二次函数的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是    

【答案】（-4，-4）

【解析】

4．将二次函数的顶点移到后，得到的函数的解析式为______.

【答案】

【解析】

5．函数的图像向左平行移动4个单位，向上平行移动1个单位，所得图像对应的函数解析式是_______________．

【答案】

【解析】

6．二次函数的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数为，则

【答案】-6 , 6

【解析】

题组二

7．的单调减区间是             .

【答案】

【解析】

8．函数的单调递增区间是­­             。

【答案】（－∞ ，1 ]  

【解析】

9．已知二次函数在区间上是增函数，则实数的范围是__________.

【答案】

【解析】

10.若函数在上是增函数，则的取值范围是____________.

【答案】

【解析】当m=0时,显然y=x+5在上是增函数,当时,此函数在上是增函数;m<0时不成立.故m的取值范围为.

11．已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是     ．

【答案】

【解析】如果，则满足要求；如果，则对称轴；如果，则对称轴，综上可知，实数的取值范围是.

12．如果函数在区间上是增函数，那么的取值范围是__________.

【答案】

【解析】函数的对称轴是，开口向上。如果函数在区间上是增函数，那么对称轴一定在直线的左侧，即，所以，。所以，。

13．已知函数在上具有单调性,则实数的取值范围是         。

【答案】

【解析】

14．如果函数在区间(5,20)不是单调函数，那么实数k的取值范围是_________.

【答案】(40,160)

【解析】二次函数在给定区间不是单调函数，说明对称轴x=属于区间(5,20)，可知实数k的取值范围是(40,160)。故填写(40,160)

题组三

15．设函数，

（1）若的最大值为35，则；

【答案】或

【解析】

（2）若的最小值为-1则。

【答案】或

【解析】

16．设函数，

（1）若的最大值为8，则；

【答案】或

【解析】

（2）若的最小值为-15，则。

【答案】或

【解析】

17．设函数，

（1）若的最大值为4，则；

【答案】或

【解析】

（2）若的最小值为-12则。

【答案】或

【解析】

18．对一切实数，二次函数的值均为非负实数，则的最小值是       ．

【答案】-1

【解析】因为对一切实数，二次函数的值均为非负实数，所以，又要有意义，所以．由题意， ，所以，则

，所以的最小值是-1．

19．若二次函数（）的值域为，则的最大值是   ．

【答案】

【解析】分析：由题意可得,且,则,令,则,令,则,则,再令,则,当时, ,所以当且仅当时, 取最大值为.

题组四

20．设二次函数，如果 ，则=_________________

【答案】－2

【解析】由题意知，因为，

所以.

21．若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是     .

【答案】

【解析】配方可得:,当时,,当时,

22．已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间［0,m］上最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为      

【答案】

【解析】

23．若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是        .

【答案】.

【解析】函数的图象的对称轴为直线，且，令，即

，即，解得或，由于函数的值域为，故，则有，结合图象知，，故实数的取值范围是.

24．已知函数（），若的定义域和值域均是，则实数= 

【答案】2

【解析】函数的对称轴为且开口向上，所以函数在单调递减，

故

25．若函数的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b的取值为      ．

【答案】2；

【解析】函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴是x=2，∴函数在闭区间[2，2b]上是单调增函数，函数的定义域、值域都是闭区间[2，2b]∴x=2b时，函数有最大值2b，∴•4b2﹣2•2b+4=2b，∴b=1（舍去） 或b=2，∴b的取值为 2．

26．已知函数f （x）＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f（x）的最小值为f（a），则实数a的取值区间是_______．

【答案】

【解析】函数的对称轴为，要使时，最小值为，根据二次函数的图象可知，故实数a的取值区间是

27．已知函数的值域为，则的取值范围是     ．

【答案】

【解析】函数，令，解得显然当时；当时，所以.

28．已知若的定义域和值域都是，则        ．

【答案】5

【解析】该二次函数开口向上，对称轴为,最小值为,所以可分3种情况:

(1)当对称轴在区间的左侧时， ；

(2) 当对称轴在区间的右侧时；

(3) 当对称轴在区间内时， ,函数在区间内的最小1值为1,也是值域的最小值,所以,同时可知函数值域的最大值一定大于2.通过计算可知,所以可知函数在时取得最大值,即.所以.

通过验证可知,函数在区间内的值域为.综上可知:.

题组五

29．已知函数，若对任意都有，则实数的取值范围为     .

【答案】

30．已知函数，若对任意都有，则实数的取值范围为    .

【答案】

31．已知函数，若对任意都有，则实数的取值范围为    .

【答案】

32．已知函数，若对任意都有，则实数的取值范围为      .

【答案】

33．若对任意实数x∈[2，4]，不等式x2-2x-2-m<0恒成立，则m的取值范围为         .

【答案】

34．若对任意实数x∈[2，4]，不等式x2-2mx-2-m0恒成立，则m的取值范围为       .

【答案】

35．已知函数，若对任意都有，则实数的取值范围为         .

【答案】

36．已知当恒成立，则m的取值范围是        .

【答案】

37.若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是        .

【答案】

【解析】原不等式化为：，令，则时，恒成立，所以只需即，所以的范围是.

38．已知当时， 恒成立，则实数的取值范围是_____________.

【答案】

【解析】设，由于恒成立，所以，因此，整理得，解得.

39．已知函数，若对于任意的，均有，则实数的取值范围是__________．

【答案】

40．已知，当时，恒成立，则m的取值范围是        .

【答案】

题组六

41．若关于的不等式恒成立，则实数＝       ．

【答案】2

42．一元二次不等式对一切实数成立，则的取值范围是________．

【答案】.

43．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是        .

【答案】

44．已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，则实数m的取值范围为              。

【答案】-4＜m≤0

45．已知函数在上满足恒成立，则的取值范围是              。

【答案】

46．若,恒成立，则得范围是       .

【答案】

47．若关于x的不等式ax2+4ax+3≤0的解集为空集，则实数a的取值范围是            ．

【答案】[0，）．

题组七

48．若存在实数x∈[2，4]，使不等式x2-2x-2-m<0成立，则m的取值范围为        .

【答案】.

49．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是(　　)

A.     B.     C.     D.

【答案】A

50.若关于的不等式的解集有实根，则实数的取值范围为                  .

【答案】.

【解析】设.则关于的不等式的解集有实根在上能成立,即解得.

51．已知函数，．当时，若存在，使得，则的取值范围为__________．

【答案】

【解析】，开口朝下，，若使，则，即，∴或，综上：．

归纳：若函数在区间上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：

①不等式在区间上有解；②不等式在区间上有解；

③不等式在区间上有解；④不等式在区间上有解；

题组八：

52. 若方程在 上有实根，则的取值范围为__________．

【答案】

53. 若在 上有解，则的取值范围为__________．

【答案】

54. 若在 上有解，则的取值范围为__________．

【答案】

55. 若关于的方程在 上有解，则的取值范围为__________．

【答案】

56. 若关于的方程有实根，则的取值范围为__________．

【答案】

【解析】

题组九

57．已知关于的方程的两个实数根满足，，则实数 的取值范围是（    ）

A.            B.            C.            D.

【答案】B

【解析】由题意可知：，∴，即，∴.

58．方程的两根分别为，且，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】令，由两个根的分布可知： ，应填答案。

59．若方程的两根，且， 则的取值范围________．

【答案】

【解析】设,根据题意可得,由此求得,即k的范围是.

60．已知关于的方程有两根，且，求实数的取值范围__________．

【答案】

【解析】令，为二次函数，开口向上，由于方程有两根，且，即，解得或，即实数的取值范围

61．若关于的二次方程的两个互异的实根都小于1，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】关于的二次方程的两个互异的实根都小于1，则，即求得，

即的取值范围是，故答案为.

62．已知关于的方程的两个实数根满足，，则实数 的取值范围是（    ）

A.            B.            C.            D.

【答案】B

【解析】由题意可知：，∴，即，∴.

63．关于的不等式的解集为，如果，则实数的取值范围为________.

【答案】

【解析】∵不等式 的解集为，如果 令 ，则 即 ，解得 故实数 的取值范围为

题组十

64．下面的函数中是幂函数的是（  ）．

① ；   ② ；    ③ ； ④；    ⑤．

A．①⑤      B．①②③     C．②④     D．②③⑤

【答案】C

【解析】形如的函数为幂函数，所以，为幂函数．

65．如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象．已知分别取，四个值，与曲线、、、相应的依次为（  ）．

A．  B．   C．   D．

【答案】A．

【解析】令时，则，由图像，得，故选A．

66．设，则使幂函数为奇函数且在上单调递增的a值的个数为(    )

A．0   B．1       C．2      D．3

【答案】C

【解析】若是幂函数为奇函数的取值可以为;,同时在上单调递增的，的取值可以为;，故答案为C.

67．若幂函数的图像经过点,则    ．

【答案】

【解析】设，代入点得

68．已知幂函数图像过点，则该幂函数的值域是_____________．

【答案】

69．幂函数的图象经过点，则的值为        

【答案】

70．已知幂函数的图像不过坐标原点，则的值是         ．

【答案】1或2

71．已知是幂函数，且在上为减函数，则实数的值为      ．

【答案】

72．幂函数在上为减函数，则实数的值是        .

【答案】3

73．幂函数在上是减函数，则实数m的值为（    ）

A、2      B、3     C、4      D、5

【答案】A

74．若幂函数在上为增函数，则实数（  ）

A.        B.           C.            D. 或

【答案】A

【解析】根据幂函数的定义可知，若是幂函数必有解得：或，所以幂函数为或，又因为所求幂函数为上的增函数，所以，所以，故选择A.

附:一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)

设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根，则x1，x2的分布范围与系数之间的关系如表所示.