高中数学人教版新课标A必修41.1 任意角和弧度制教课内容课件ppt

这是一份高中数学人教版新课标A必修41.1 任意角和弧度制教课内容课件ppt，共30页。PPT课件主要包含了明目标知重点，填要点记疑点，探要点究所然，当堂测查疑缺，知重点，一条射线，填要点·记疑点，逆时针方向旋转，顺时针方向旋转，没有作任何旋转等内容，欢迎下载使用。

1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.
1.角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内 绕着 从一个位置 到另一个位置所成的图形.
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类
2.象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是 .如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.3.终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝ }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 的和.
α＋k·360°，k∈Z
过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实际问题中还会遇到其他角.如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体1080°”、“踺子后手翻转体180°接前直空翻540°”等这样的解说.因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广.
探究点一　角的概念的推广
思考1　我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形.这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量.那么，从“旋转”的角度，对角如何重新定义？正角、负角、零角是怎样规定的？答　一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫做角，射线OA叫角的始边，OB叫角的终边，O叫角的顶点.按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角.
思考2　如图，已知角α＝120°，根据角的定义，则β、－α、－β、γ分别等于多少度？答　－240°；－120°；240°；480°.
思考3　经过10小时，分别写出时针和分针各自旋转所形成的角.答　经过10小时，时针旋转形成的角是－300°，分针旋转形成的角是－3 600°.
探究点二　象限角与终边落在坐标轴上的角
思考1　象限角定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？答　 不行，因为始边包括端点(原点).
思考2　是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角，请完成下表.答　不是，因为一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.
{α|α＝k·360°，k∈Z}
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
思考3　下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.
{α|k·360°<α{α|k·360°＋90°<α{α|k·360°＋180°<α{α|k·360°－90°<α探究点三　终边相同的角
思考1　在同一直角坐标系中作出390°，－330°，30°的角，并观察这三个角终边之间的关系和角的大小关系.答　 终边相同，并相差360°的整数倍.思考2　对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？答　所有与α终边相同的角，连同α在内，可以构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
思考3　集合S＝{α|α＝k·360°－30°，k∈Z}表示与角－30°终边相同的角，其中最小的正角是多少度？已知集合S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}，则角α的终边落在坐标系中的什么位置？答　330°；第一或第三象限的角平分线上.
例1　在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解　(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.
反思与感悟　解答本题可先利用终边相同的角的关系β＝α＋k·360°，k∈Z，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角.
跟踪训练1　判断下列角的终边落在第几象限内：(1)1 400°；　(2)－2 016°.解　(1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角，∴1 400°也是第四象限角.(2)－2 016°＝－6×360°＋144°，∴－2 016°与144°终边相同.∴－2 016°是第二象限角.
例2　写出终边在y轴上的角的集合.解　所有与90°终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}.所有与270°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}.于是，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}.
反思与感悟　利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.
跟踪训练2　写出终边落在x轴上的角的集合S.解　S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.
例3　写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来.解　直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}.∴S中适合－360°≤β<720°的元素是：45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.
反思与感悟　当角的集合的表达式分两种或两种以上情形时，能合并的尽量合并，注意把最后角的集合化成最简的形式.
跟踪训练3　求终边在直线y＝－x上的角的集合S.解　由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～360°间所对应的两个角分别是135°和315°，从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}.
1.－361°的终边落在(　　)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
2.下列各角中与330°角终边相同的角是(　　)A.510° B.150° C.－150° D.－390°
3.若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.解析　由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°(k∈Z).又180°<α<360°，所以24.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解　终边落在x轴上的角的集合：S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}；∴终边落在坐标轴上的角的集合：S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}.
1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”.2.关于终边相同的角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.